SUCCESSIONI NUMERICHE
Definizione analitica di successione:
Si chiama successione numerica una funzione il cui dominio è l’insieme N 0; 1; 2; 3; 4;...... dei
numeri naturali o un suo sottoinsieme, di solito infinito.
I valori che assume tale funzione, cioè i termini della successione sono detti elementi della
successione o termini della successione e vengono indicati nel seguente modo:
a0 , a1 , a2 , .........., an , .......
e si legge a con 0 , a con 1,……a con n.
an si chiama termine generale della successione.
Una successione si dice definita analiticamente se è possibile specificare un’espressione analitica
del tipo an f n che consenta con un numero finito di operazioni matematiche di calcolare un
qualsiasi termine an della successione a partire da un valore di n.
1
1
Es : la funzione f : n definisce una successione il cui termine generale an
n
n
1
1
In questo caso a1 1 ; a2 ; a3 ………
2
3
Una successione può essere definita anche in modo ricorsivo:
si definisce il primo termine e si stabilisce una regola che permetta, dato un termine di una
a0 1
successione, di calcolarne il successivo. Es.
a n 1 2 a n
Una stessa successione può essere definita sia analiticamente che ricorsivamente, perciò non è la
successione a essere analitica o ricorsiva, ma il modo in cui la successione è definita.
La rappresentazione grafica di una
successione può essere fatta nel
piano cartesiano nel seguente
modo:
Di solito si preferisce
rappresentare graficamente la successione solo su una retta orientata dove si
visualizzano gli elementi stessi della successione
|
0
| |
|
1/4 1/3 1/2
|
1
an
1
Nella retta è rappresentata la successione i cui termine generale è an
a2
1
n
ossia
a1 1 ;
1
1
; a3 ……..
2
3
ESERCIZI:
Trovare il termine generale delle seguenti successioni:
1 1 1 1
1 1; ; ; ; ;......
2 4 8 16
1 2 3 4
; ; ; ;......
2
2 3 4 5
2
3
4
5
;
;
;
;......
3
1 3 2 4 3 5 4 6
2; 0,2; 0,02; 0,002;.....
4
1 1 1 1
1; ; ; ; ;......
5
2 4 8 16
5 10 17
; ; ;......
6
3 8 15
Scrivere i primi sei termini delle seguenti successioni definite ricorsivamente:
a 0 2
a 0 1
a 0 1
7
8
9
an
a n 1 1 a n
a n 1 3a n
a n 1 a 1
n
LIMITI DI SUCCESSIONI
a0 , a1 , a2 , .........., an , ....... è una particolare
Considerato che la successione di elementi
funzione da N si può parlare di limite di una successione per n .
(Il limite ha senso solo per n avendo N solo come punto di accumulazione).
Ci possono essere tre possibilità:
1.
2.
lim an l
in tal caso la successione si dice convergente.
n
lim an o
n
lim an
in tal caso la successione si dice divergente
n
positivamente o negativamente.
3.
lim an
in tal caso la successione si dice indeterminata
n
o oscillante
N.B. Esempio di successione indeterminata o oscillante è la successione di termine generale
n
an 1 detta anche successione di Wallis il cui termine generale vale 1 per n pari
e –1 per n dispari. In tal caso il lim an non ha limite perché
n
lim an 1 se n è pari
n
e
lim an 1 se n è dispari
n
2
