Leggi della dinamica
Primo principio della dinamica
La dinamica è una parte della meccanica che si occupa dello studio delle cause del moto. Il filosofo greco Aristotele nel
IV secolo a.C. diede una prima spiegazione delle cause del moto: per mantenere una velocità costante un corpo deve
essere sottoposto a una forza costante. Ad esempio, per spostare un tavolo attraverso una stanza dobbiamo applicare
una forza costante al tavolo. Quindi, secondo Aristotele, una forza costante applicata a un corpo permette di mantenere
costante la sua velocità.
Grazie alla plausibilità di questa descrizione del moto e all'autorità degli scritti di Aristotele, questa descrizione delle
cause del moto è rimasta inalterata per circa 2000 anni fino ai tempi di Galileo Galilei che non aveva certo timori nello
sfidare l'ipse dixit aristotelico:
Nelle questioni scientifiche l'autorità di mille non vale quanto l'umile ragionamento di un singolo uomo.
Galileo partiva spesso nei suoi ragionamenti da alcuni esperimenti ideali che vogliamo andare a riproporre in questa
sezione: supponiamo di considerare un corpo che si sta muovendo verso l'alto su un piano inclinato. Il corpo subisce una
decelerazione, ossia la sua velocità diminuisce. Se invece il corpo scende lungo un piano inclinato subisce una
accelerazione, ossia aumenta la sua velocità. Pertanto se consideriamo un corpo che si muove a una certa velocità su
un piano orizzontale il ragionamento ci porta a concludere che il corpo non accelera e non decelera, ossia si muove a
velocità costante, di moto rettilineo uniforme.
Tramite questi esperimenti ideali Galileo arrivò ad enunciare il primo principio della dinamica: Un corpo persevera nel
suo stato di quiete o moto rettilineo uniforme, a meno che non intervenga una causa esterna a modificarne lo stato. Il
primo principio della dinamica è anche detto principio d'inerzia. L'inerzia è la proprietà che un corpo possiede di
opporsi al cambiamento del suo stato di moto: è tanto maggiore quanto maggiore è la massa del corpo.
Da quanto abbiamo appena visto, il primo principio della dinamica ci dice che, quando nessuna forza agisce su un corpo,
il corpo mantiene la sua velocità: se il corpo è fermo rimane fermo, se si muove a una certa velocità continua a muoversi
con la stessa velocità. Nella realtà gli esperimenti ideali di Galileo sono difficili da realizzare a causa delle forze d'attrito.
Esistono però certi dispositivi, come il ghiaccio secco o la rotaia a cuscino d'aria, tramite i quali è possibile ridurre al
massimo gli attriti e riprodurre con buona approssimazione gli esperimenti ideali di Galileo.
Secondo principio della dinamica
Nella precedente sezione abbiamo visto che, se nessuna forza agisce su un corpo, tale corpo mantiene invariata la sua
velocità. Cosa succede invece quando applichiamo una forza costante ad un corpo? Una forza costante F produce
un'accelerazione costante a. In particolare, forza ed accelerazione sono direttamente proporzionali e la costante di
proporzionalità coincide con la massa m del corpo. Possiamo pertanto scrivere che F = m · a.
Non dobbiamo però dimenticarci che sia la forza che l'accelerazione sono due grandezze vettoriali. Il secondo principio
della dinamica ci dice che la forza e l'accelerazione hanno la stessa direzione e lo stesso verso. In termini vettoriali
possiamo perciò scrivere il secondo principio della dinamica come:
. La grandezza fisica m è detta massa
inerziale ed è una misura dell'inerzia del corpo.
Il secondo principio della dinamica è la legge fondamentale che regola il moto degli oggetti che ci circondano.
Applicando questa legge fisica l'uomo è riuscito ad andare sulla Luna. L'importante è riuscire a identificare tutte le forze
che agiscono su un corpo per poi ricavare dal secondo principio della dinamica l'accelerazione del corpo via la formula: a
= F / m. Da questa relazione vediamo subito come accelera di più un corpo dotato di massa minore.
Il secondo principio della dinamica è una legge di portata generale che include il primo principio della dinamica come
caso particolare. Infatti se sul corpo non agisce alcuna forza abbiamo che F = 0. Il secondo principio della dinamica ci
dice che anche il prodotto m · a deve essere uguale a zero. Quando il prodotto di due numeri è uguale a zero vuol dire
che uno dei due fattori è uguale a zero. Siccome la massa m del corpo è un numero finito diverso da zero, possiamo
concludere che deve essere a = 0, ossia si deve annullare l'accelerazione del corpo. Pertanto se la forza totale che
agisce su un corpo è uguale a zero, il corpo continua a mantenere la sua velocità iniziale, che è esattamente il contenuto
del primo principio della dinamica.
Notiamo come la relazione tra massa e forza-peso giustifichi il perché tutti i corpi in caduta libera e in assenza di attrito,
subiscono la stessa accelerazione g = 9.8 m / s 2, indipendentemente dalla loro massa. Infatti la forza-peso P di un corpo
è data da P = m · g, dove g = 9.8 m / s 2. Se ora nel secondo principio della dinamica sostituiamo al posto della forza F il
peso m · g otteniamo che m · g = m · a. Dividendo la precedente uguaglianza a destra e a sinistra per la massa m del
corpo otteniamo che l'accelerazione del corpo in caduta libera è a = g = 9.8 m / s 2, indipendentemente dalla massa m.
Un discorso analogo vale per l'accelerazione di un corpo posto su un piano inclinato: se il piano ha altezza h e
lunghezza l, allora la forza che agisce su un corpo di massa m posto sul piano è la componente parallela della forza-
1
peso: F = mgh / l. Di conseguenza, applicando il secondo principio della dinamica avremo che ma = mgh / l. Anche in
questo caso la massa m si può semplificare e l'accelerazione del corpo diventa a = gh / l. Il fatto che in caduta libera e su
un piano inclinato senza attriti l'accelerazione sia indipendente dalla massa del corpo è una prerogativa della forza-peso
e delle sue componenti, che sono direttamente proporzionali alla massa del corpo in movimento.
Terzo principio della dinamica
Prima di passare al terzo principio della dinamica, vogliamo fare alcune precisazioni relativamente al secondo principio.
In particolare abbiamo più volte detto che l'unità di misura della forza nel Sistema Internazionale è il newton. Il secondo
principio della dinamica ci consente di legare il newton alle altre unità di misura del Sistema Internazionale. Infatti, in
base al secondo principio della dinamica, abbiamo che F = m · a, da cui, ricordando che l'unità di misura della massa è il
kilogrammo e dell'accelerazione il metro al secondo quadro (m / s 2), avremo che 1 N = 1 kg · 1 m / s2.
Il terzo principio della dinamica afferma che se un corpo A esercita su un corpo B una certa forza allora il corpo B
esercita su A una forza uguale ed opposta - . Nell'esempio in figura la Terra esercita su un gesso posto sulla sua
superficie una forza-peso. Come conseguenza, anche il gesso esercita sulla Terra una forza
uguale ed opposta:
Perché vediamo gli effetti della forza che la Terra esercita sul gesso mentre, viceversa, non
vediamo alcun effetto da parte del gesso sulla Terra? La ragione risiede nel fatto che la Terra
ha una massa enorme, pari a M = 6 · 1024 kg. La forza-peso su un gesso di 20 g è pari a circa
P = 0.2 N. Tale forza-peso produce sulla Terra un'accelerazione a = P / m = 0.2 N / (6 · 10 24
kg) = 0.3 · 10-25 m / s2. Non esiste alcuno strumento in grado di misurare una simile
accelerazione, pertanto possiamo concludere che, pur essendoci una forza che agisce sulla
Terra dovuta al gesso, l'accelerazione della Terra è a tutti gli effetti uguale a zero.
Molti esempi di applicazioni del terzo principio della dinamica possono essere tratti dalla
nostra vita di tutti i giorni. Per citarne solo uno, quando nuotiamo a stile libero, spingiamo
indietro l'acqua con le nostre mani. Come conseguenza del terzo principio della dinamica, l'acqua esercita una forza sul
nostro corpo e ci consente di avanzare.
Lavoro di una forza
Nel corso della storia gli uomini hanno inventato diversi tipi di macchine per sollevare, spostare e mettere in movimento
gli oggetti. In tutte queste macchine vi sono delle forze che producono spostamenti. Una nuova grandezza fisica, il lavoro
di una forza, misura l’effetto utile della combinazione di una forza con uno spostamento. Il lavoro non è nient’altro che
una misura sull’efficacia di una forza nel muovere certi oggetti.
Dato che forza e spostamento sono due vettori, possiamo avere diversi casi.
Forza e spostamento concordi (paralleli)
Questo è il caso più semplice, in cui vettori forza e spostamento hanno stessa direzione e stesso verso
F
s
In questo caso il lavoro è definito come:
L=F·s
Nel sistema internazionale l’unità di misura del lavoro è il joule (J), definito come il lavoro compiuto da una forza di un
newton quando il suo punto di applicazione si sposta di un metro (nella direzione del verso della forza). 1 J = 1 N · 1 m
Quando i vettori forza e spostamento sono concordi, la forza mette o mantiene in movimento il corpo su cui è applicata.
In questo caso il lavoro della forza è positivo ed è detto lavoro motore.
2
Forza e spostamento discordi (antiparalleli)
In questo caso i vettori forza e spostamento hanno la stessa direzione, ma verso opposto.
s
F
F
In questo caso il lavoro è definito come:
L=-F·s
Il segno meno è introdotto per descrivere il fatto che, quando forza e spostamento hanno versi opposti, la forza agisce in
modo da opporsi al moto del corpo. Si dice che la forza compie un lavoro resistente.
Forza e spostamento perpendicolari
Consideriamo un carrello che si muove senza attrito su un binario orizzontale. Sul carrello agisce la forza-peso
è rivolta verso il basso e, quindi, risulta perpendicolare allo spostamento (orizzontale)
del carrello. In questa
F
P la forza non influenza in alcun modo lo spostamento.
situazione
, che
s
s
FP
In questo caso il lavoro è nullo:
L=0
Forza e spostamento direzioni qualunque
L’ultimo caso si ha quando le direzioni sono qualunque
s
F
F
F//
F//
F
In questo caso si scompone
la forza
perpendicolare
alloFspostamento
.
in due vettori componenti, uno parallelo
s
allo spostamento
s
e uno
In questo caso il lavoro è dato solo dalla componente parallela allo spostamento:
L = F// · s
3
Rappresentazione grafica del lavoro
F (N)
L = F·Δs
Graficamente il lavoro è
rappresentato dall’area in
celeste. Questo è del tutto
generale, il lavoro sarà
sempre visto come un area
in un diagramma che porta
in ascissa lo spostamento e
in ordinata la forza.
F
L
0
s1
s2
Δs
s (m)
Potenza
Uno stesso lavoro può essere compiuto più o meno rapidamente.
Esempio: devo sollevare un carico dal piano terra fino al terzo piano di un edificio, posso farlo in due modi, o sollevando
il carico con una fune a mano, oppure con un montacarichi elettrico.
s
F
H
FP
Il lavoro in entrambi i casi è lo stesso, infatti per sollevare il carico devo vincere la forza peso. Il materiale sale a velocità
costante, quindi la forza motrice sarà uguale e contraria alla forza peso. Inoltre la forza motrice è concorde allo
spostamento che in questo caso coincide con l’altezza H.
Quindi il lavoro sarà:
L = F · s = (m·g) · H
Però il montacarichi compie lo stesso lavoro più rapidamente rispetto alla forza dell’uomo, cioè la velocità di salita è
maggiore, si dice che il montacarichi è più potente.
Per misurare la rapidità con cui una forza compie lavoro, si utilizza una nuova grandezza, la potenza.
La potenza di un sistema fisico è uguale al rapporto tra il lavoro compiuto dal sistema e l’intervallo di tempo necessario
per eseguire tale lavoro.
P
L
t
In generale il valore della potenza indica il lavoro che una macchina o un sistema fisico è in grado di eseguire in un
secondo.
Nel sistema internazionale l’unità di misura della potenza è il watt (W). 1 W = 1 J / 1 s
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Energia
Abbiamo visto che per compiere un lavoro è necessaria una forza che produce un certo spostamento, si può anche dire
che il sistema che compie lavoro possiede una certa quantità di energia che trasferisce mediante un lavoro ad un altro
sistema. Ma che cos’è l’energia?
L’energia è la capacità di un sistema fisico di compiere lavoro.
Esistono diverse forme di energia:
Energia cinetica, che rappresenta l’energia di un corpo in movimento;
Energia potenziale gravitazionale, rappresenta l’energia posseduta da un corpo che si trova ad una certa
altezza rispetto al suolo;
Energia potenziale elastica, rappresenta l’energia accumulata all’interno di una molla
Energia elettrica, rappresenta l’energia accumulata ad esempio in una batteria;
Energia interna di un corpo, rappresenta l’energia disordinata degli atomi all’interno di un corpo;
Energia elettromagnetica, rappresenta l’energia trasportata dalle onde elettromagnetiche, es l’energia solare
è una di queste;
Energia nucleare, rappresenta l’energia accumulata all’interno del nucleo di un atomo.
Quindi da questi brevi esempi si nota che l’energia è qualcosa che viene immagazzinata e che può essere utilizzata in
un secondo momento, ad esempio per produrre del lavoro.
Uno dei principi fisici più noti è che l’energia non si crea e non si distrugge, ma si trasforma sempre da una forma ad
un’altra. Il lavoro misura proprio quanta energia passa da una forma ad un’altra.
Quello che in realtà avviene è che l’energia si trasferisce mediante lavoro da una forma di energia ad un’altra, quindi il
lavoro è un energia in transito.
L’unità di misura dell’energia è il joule ( J ).
Veniamo adesso al dettaglio delle diverse forme di energia.
Energia cinetica
Un oggetto in movimento possiede una certa quantità di energia chiamata energia cinetica. Esso è quindi in grado di
compiere lavoro, cioè trasferire (o trasformare) la sua energia cinetica in un’altra forma di energia.
La relazione fisica che regola il valore dell’energia cinetica posseduta da un corpo in movimento è data:
EC
1
m v2
2
Dove m è la massa del corpo e v la sua velocità.
Per arrivare a questa relazione si parte dal lavoro che una forza deve compiere per portare un corpo di massa m,
inizialmente fermo, fino alla velocità v.
Su questo corpo agirà una forza F costante.
v
F
s
Il lavoro è dato da:
L=F·s
(1)
5
Ma dal secondo principio abbiamo che:
F=m·a
(2)
Una forza costante produce un accelerazione costante, quindi il moto è uniformemente accelerato
v=a·t t=v/a
2
1
1
1
v
s a t 2 a a v2
2
2
2
a
(3)
Sostituendo la (2) e la (3) nella (1) otteniamo
1
1
L F s (m a) ( a v 2 ) m v 2
2
2
Questa uguaglianza tra energia cinetica e lavoro è una proprietà del tutto denerale e va sotto il nome di teorema
dell’energia cinetica.
Teorema dell’energia cinetica
Se un corpo possiede un’energia cinetica iniziale Ec,i e una forza agisce su di esso effettuando un lavoro L, l’energia
cinetica finale Ec,f del corpo è uguale alla somma di Ec,i e L, o più specificatamente che la variazione dell’energia cinetica
(finale meno iniziale) è uguale al lavoro.
ΔEC = (Ec,f - Ec,i ) = L
Energia potenziale gravitazionale
Un corpo che si trova in alto è in grado di compiere lavoro quando scende. Quindi un oggetto fermo può possedere
un’energia per il semplice fatto di occupare una certa posizione rispetto al suolo. Questo tipo di energia è detta energia
potenziale gravitazionale, perché dovuta all’attrazione gravitazionale della Terra.
Vediamo come si ricava la relazione dell’energia potenziale gravitazionale, partendo dal lavoro della forza-peso. Un
oggetto di massa m è lasciato cadere da una certa altezza h.
FP = m·g
h
La forza che agisce sul corpo è la sola forza-peso e il lavoro di questa forza è dato da:
L = FP · h = m·g·h
In definitiva l’energia potenziale gravitazionale è espressa da:
EP = m·g·h
Possiamo misurare h rispetto al suolo o da qualsiasi altro riferimento. Il livello zero può essere scelto in modo arbitrario.
L’energia potenziale gravitazionale di un corpo è uguale al lavoro compiuto dalla forza-peso quando il corpo stesso si
sposta dalla posizione iniziale a quella di riferimento (livello zero).
6
Anche per l’energia potenziale gravitazionale posso scrivere:
ΔEP = L
Conservazione dell’energia meccanica
La somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale gravitazionale rappresenta l’energia meccanica. Partendo da
F ma
si può dimostrare, se non ci sono attriti, che la loro somma si mantiene sempre costante.
L’enunciato della conservazione dell’energia meccanica diviene:
“In assenza di attriti, l’energia meccanica totale di un sistema (energia cinetica + energia potenziale) si conserva, cioè
rimane sempre uguale.”
Emecc= Ec+EP = costante
Oppure si può anche dire che:
dato un qualunque processo di trasformazione di energia meccanica, l’energia meccanica iniziale è uguale all’energia
meccanica finale.
(Emecc)iniz.= (Emecc)fin.
(Ec)iniz.+ (EP)iniz..= (Ec)fin.+ (EP)fin.
ΔEmecc = (Emecc)fin.- (Emecc)fin. = 0
conservazione dell’energia meccanica
ΔEmecc= ΔEc+ΔEP
ΔEmecc= [(Ec)fin.- (Ec)iniz.]+[ (EP)fin.- (EP)iniz.]
ΔEmecc=
1
m (v 2f vi2 ) m g (h f hi )
2
=0
Energia
Sistema ad
energia maggiore
Sistema ad
energia minore
Lavoro
7
