TEOREMA DI SOSTITUZIONE
AMBITO DI APPLICAZIONE, SCOPI E OBIETTIVI
Il teorema di sostituzione può essere applicato a reti qualsiasi, lineari e non lineari,
tempo varianti e tempo invarianti, purchè univocamente risolubili.
Questo teorema permette di sostituire qualsiasi lato della rete con un generatore
indipendente, convenientemente scelto di tensione o di corrente, senza che alcuna
corrente e tensione nei lati rimanenti venga ad essere alterata.
Obiettivo fondamentale della sostituzione è che la rete modificata è più agevolmente
risolvibile di quella originale.
ENUNCIATO
Si consideri una rete arbitraria contenente elementi qualsiasi inclusi generatori
indipendenti. Si consideri un lato particolare, per esempio il lato K che non sia
accoppiato ad altri lati della rete, cioè, il lato K non può essere un lato di induttore
accoppiato e nemmeno un lato di un generatore dipendente. Si supponga che per le
eccitazioni date, la rete ammetta soluzione unica per tutte le tensioni e le correnti dei
lati.Siano iK(t) e vK(t) le forme d’onda della corrente e della tensione di lato K.
Si supponga che il lato K sia sostituito da un generatore di corrente indipendente con
forma d’onda iK(t), uguale a quella del lato sostituito, o da un generatore di tensione
indipendente con forma d’onda vK(t), uguale a quella del lato sostituito. Se la rete
modificata ammette ancora soluzione unica per ogni corrente e tensione di lato, allora
tutte le correnti e le tensioni della rete modificata risultano identiche a quelle della
rete originale.
DIMOSTRAZIONE
Siano v1, v2, …, vb e i1, i2, …, ib le tensioni e le correnti dei lati della rete originale;
siccome la rete ammette per ipotesi soluzione unica, questo significa che le predette
tensioni e correnti sono le sole che soddisfano le relazioni LKT e LKC, le condizioni
iniziali e le equazioni di lato della rete data. La rete modificata si ottiene sostituendo
il lato K-esimo con un generatore di tensione vK o di corrente iK, come discusso
nell’enunciato. Siccome per ipotesi la rete modificata ammette ancora soluzione
unica, poiché la topologia della rete data e della rete modificata è la stessa, le LKC e
le LKT coincidono per le due reti, le condizioni iniziali sono le stesse per entrambe le
reti, tutte le equazioni di lato sono le stesse eccetto quelle del lato k-esimo, ma per
tale lato è stato scelto un generatore avente come grandezza impressa proprio v K o iK.
In virtù dell’unicità della soluzione le v1, v2, …, vb e i1, i2, …, ib della rete originaria e
modificata coincidono.
COMMENTI ED ESEMPI
Il teorema di sostituzione richiede che la rete modificata abbia soluzione unica, cioè
che le condizioni iniziali specificate e gli ingressi determinino tutte le tensioni e le
correnti dei lati in modo univoco. Ciò è sempre verificato per reti lineari RLCM
(tempo invarianti e tempo varianti) eccetto che per alcuni casi degeneri; lo stesso non
può dirsi per reti non lineari.
Si consideri il circuito in fig.1(a). Il problema consiste nel trovare la tensione V e la
corrente I del diodo tunnel dati E, R, e la caratteristica del diodo tunnel (fig.1(b)).
Nella fig.1(b) la soluzione è ottenuta graficamente.
Fig.1
Essendo verificate le ipotesi del teorema di sostituzione si può tranquillamente
sostituire il diodo tunnel con un generatore di corrente I o con un generatore di
tensione V (fig.2). Si vede facilmente che in entrambi i casi le soluzioni sono le stesse
di quelle originariamente ottenute.
Fig.2
Per chiarire l’importanza della condizione di unicità della soluzione per la rete
modificata, si supponga invece di applicare il teorema al lato costituito dal generatore
E in serie al resistore R. Lo si sostituisca con un generatore di corrente (fig3). Se si
immagina di applicare il teorema di si verifica facilmente che la rete modificata (non
lineare) ammette soluzioni multiple (tre):
(V1, I), (V2, I) e (V3, I), di cui una coincide con quella della rete originale. Pertanto Il
teorema non può essere applicato non essendo verificata l’ipotesi di unicità della
soluzione della rete modificata.
Fig.3
TEOREMA DI SOVRAPPOSIZIONE
Nota: Il teorema di sovrapposizione indica che, per una rete lineare, la risposta con
stato zero dovuta ai vari generatori indipendenti è la somma delle risposte con stato
zero dovute a ciascun generatore indipendente quando agisce da solo.
Sia N una rete lineare, eventualmente tempo-variante, univocamente risolubile,
pilotata per t t 0 da
generatori indipendenti di tensione
v g1,...,v g e da
generatori indipendenti di corrente ig1 (t ),...,igh (t ) .
Se y(t) è la risposta con stato zero di N dovuta agli generatori, yvk (t ) è la
risposta dovuta a v gk agente da solo e
y ik
la risposta dovuta a i gk agente da solo
(sempre con stato zero) allora t t 0 vale:
y(t ) y (t ) y (t )
k 1
vk
h 1
ih
COROLLARIO DEL TEOREMA DI SOVRAPPOSIZIONE
Sia N una rete lineare, eventualmente tempo-variante, univocamente risolubile.
Sia dato un certo stato iniziale all'istante
t0,
definito dall'insieme di condizioni
iniziali i L (t 0),...,i L (t 0), vc (t 0),...,vc (t 0)
1
nl
1
nc
La rete N sia pilotata da un insieme assegnato di generatori indipendenti.
Sia yc (t ) la risposta "completa" del circuito.
Siano y zs (t ) la risposta con stato zero ai generatori indipendenti, y zi (t ) la risposta
con ingresso zero alle condizioni iniziali;
Allora:
yc (t ) y zs (t ) y zi (t )
t t0
DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI SOVRAPPOSIZIONE
Si basa sul fatto che la relazione ingessi/uscita che si ottiene per reti lineari a stato
zero è una relazione lineare rispetto agli ingressi; ciò dipende esclusivamente dalla
natura delle leggi topologiche e delle relazioni di lato, infatti
1)
LKT è espressa da relazioni lineari (equazioni algebriche lineari e omogenee)
nelle tensioni di lato.
2)
LKC è espressa da relazioni lineari (equazioni algebriche lineari e omogenee)
nelle correnti di lato.
3)
Gli elementi della rete sono lineari e quindi le correnti e le tensioni di lato sono
legate da una relazione lineare.
4)
Le condizioni iniziali che corrispondono allo stato zero sono espresse da
equazioni lineari ed omogenee.
OSSERVAZIONE
Per reti contenenti elementi lineari e non lineari il teorema di sovrapposizione non è
valido per qualsiasi scelta della topologia della rete e del tipo di risposta considerata.
D’altra parte se una particolare rete ha ha tutti gli elementi lineari eccetto pochi non
lineari, può verificarsi il caso che la sovrapposizione sia valida per una scelta
opportuna dei valori dei componenti e della posizione dei generatori e della risposta.
Chiaramente per tali reti non si può garantire la sovrapposizione per qualsiasi
topologia e per qualsiasi risposta.
TEOREMA DI THEVENIN-NORTON
Sia N una rete lineare collegata attraverso due morsetti ad un carico arbitrario (anche
lineare e tempo variante). Si supponga che la sola interazione tra N e il carico
avvenga tramite le variabili v(t ) e i(t ) di porta (non esistono accoppiamenti); si
supponga inoltre che N abbia una soluzione univoca quando è collegata al carico e
anche quando il carico è sostituito da un generatore indipendente (di corrente
Thevenin, di tensione Norton).
In tali condizioni la rete N è equivalente agli effetti esterni alla rete di Thevenin
(Norton). Ciò significa che le forme d'onda di porta v(t ) e i(t ) rimangono immutate
se la rete N è sostituita con la rete equivalente di Thevenin (Norton).
vth (t ) è la tensione a circuito aperto (i (t ) 0) ai capi di AB vth v AB |i 0 ;
i N (t ) è la corrente di corto-circuito (v(t ) 0) in AB iN i AB |v 0 entrambe sono
dovute a tutti i generatori indipendenti di N ed alle condizioni iniziali degli elementi a
memoria di N (stato iniziale). N0 è la rete N con ingresso nullo e stato zero, cioè si
ottiene dalla rete N ponendo a zero tutti i suoi generatori indipendenti e tutte le
condizioni iniziali.
DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI THEVENIN
Si sostituiscono nella rete N tutte le condizioni iniziali con generatori indipendenti
equivalenti; in questo modo
v( t )
e
i( t )
interpretate in termini di risposta con stato zero.
ai capi del carico possono essere
1) Si applica il teorema di sostituzione
La rete risultante è lineare ed inoltre la sua soluzione è unica per ipotesi.
2) Si applica il teorema di sovrapposizione in cui v(t) è la risposta con stato zero a
due insiemi di generatori: i generatori interni ad N ed il generatore esterno
i( t ) .
agisce solo i(t); tutti
gli altri generatori
agiscono tutti gli altri
interni sono posti a
generatori interni ad
zero
N;
i(t) è posto a zero
Allora vale, in definitiva:
v(t ) v' (t ) v' ' (t )
Se si considera la rete equivalente di Thevenin
v(t ) v' (t ) vth (t )
in cui: vth (t ) v' ' (t ) per
definizione di vth (t )
e v' (t ) è identico nei due casi essendo la risposta di una rete lineare ad una stessa
eccitazione i(t ) .
