Università Carlo Cattaneo

Università Carlo Cattaneo
Corso di laurea in Economia Aziendale
STATISTICA II
1 prova parziale (modalità A) --SOLUZIONI
(1 aprile 2004)
a
ESERCIZIO 1 (6 punti)
Al termine di un anno scolastico, il 7% degli studenti di una scuola media è risultato insufficiente in una data materia.
Sia X la variabile che assume valore 1 se lo studente è insufficiente e valore 0 se è sufficiente. Si estrae casualmente
(con reimmissione) un campione (X1 ,…, Xn) di n studenti.
a) Supponendo n = 5, si calcoli la seguente probabilità: Pr  X1  X 2  X 3  0, X 4  1, X 5  1 .
b) Supponendo n = 200 ed indicato con X 
1 n
 X i , si calcolino E( X ) e Var( X ); si calcoli quindi
n i 1
Pr( X  0.08) .
a) Poiché le variabili che costituiscono il campione sono indipendenti ed identicamente distribuite secondo una distribuzione
Bernoulliana di parametro 0.07, si ha Pr  X1  X 2  X 3  0, X 4  1, X 5  1 =0.93*0.93*0.93*0.07*0.07=0.004.
1 n
 X i è approssimativamente N(0.07, 0.0003) (in base al teorema
n i 1
centrale del limite). Quindi E( X )=0.07, Var( X )=0.0003 e
Pr( X  0.08) = Pr( Z  (0.08  0.07) / 0.018)  Pr( Z  0.555)  0.291.
b) Essendo n elevato, la distribuzione di X 
ESERCIZIO 2 (6 punti)
n
Siano (X1 ,…, Xn) n variabili aleatorie con E(Xi)=μ e Var(Xi)= σ2 (i=1,…n) . Posto T=
a X
i 1
i
i
,si dica cosa valgono
E(T) e Var(T) (in funzione di μ e σ2 ) ; si dica inoltre se è possibile fare affermazioni intorno alla legge di distribuzione
di T. Si esplicitino chiaramente le ipotesi utilizzate per ottenere i risultati forniti.
Per le proprietà di valore atteso e varianza di trasformazioni lineari, si ha:
n
E(T)= E (
a X
i 1
i
i
)   ai E ( X i )    ai senza ulteriori condizioni e
n
Var(T)= Var (
a X
i 1
i
i
)   ai2Var ( X i )   2  ai2 a condizione che le variabili siano indipendenti (o almeno non
correlate).
Si può affermare che la distribuzione di T è normale se le variabili di partenza sono normali.
1
ESERCIZIO 3 ( 4 punti)
In una classe di 100 studenti, di cui 30 maschi e 70 femmine, in ciascuna delle ultime 5 lezioni di un corso viene estratto
uno studente al quale viene chiesto di svolgere un esercizio alla lavagna; ciascuno studente può essere estratto più di
una volta.
a) Si calcoli la probabilità che lo studente estratto l’ultima lezione sia una femmina.
b) Si calcoli la probabilità che, dei cinque studenti estratti, almeno 2 siano femmine.
a) La probabilità cercata è 0.7.
b) Utilizzando la distribuzione binomiale di parametri 5 e 0.7, si ha che la probabilità cercata è
1
5!
5!
0.7 0 0.35 
0.710.3 4  0.97.
0!5!
1!4!
ESERCIZIO 4 (4 punti)
Si assume che la redditività di un cliente per un’azienda abbia distribuzione normale con valore atteso =4 e scarto
quadratico medio  = 2.
a) Qual è la probabilità che un cliente estratto a caso assicuri all’azienda una redditività compresa tra 3 e 5?
b) Qual è il livello di redditività che separa il 90% dei clienti meno redditizi dal rimanente 10%?
a) Detta X la redditività, si ha: P(3  X  5)  P((3  4) / 2  Z  (5  4) / 2)  P(0.5  Z  0.5)  0.383.
b) Si tratta del quantile di ordine 0.9 della distribuzione normale di parametri 4 e 4, ovvero 6.546.
ESERCIZIO 5 ( 5 punti)
Si consideri una variabile aleatoria (continua) X con funzione di densità
kx(2  x) x  (0,2)
f ( x)  
.
0
altrove

a) Si determini il valore della costante k.
b) Si determini la funzione di ripartizione di X.
c) Si calcoli la probabilità che X si compreso tra 1/4 e 3.
 kx(2  x)dx  (2kx  kx )dx kx
2
a)
2
2
0
2

2
 kx3 / 3 0  4k  8k / 3  1, da cui k=3/4. Essendo f non negativa per
0
k=3/4, questa è la soluzione cercata.
2

0
 x 3
3 2 1 3
b) Si ha F ( x)   t (2  t )dt  x  x
4
4
0 4

1
2
c)
P(1 / 3  X  3) 
3
x0
0 x2
x2
98
 4 x(2  x)dx  108 .
1/ 3
ESERCIZIO 6 ( 5 punti)
x  2
0
0.4  2  x  0

Si consideri la variabile aleatoria (discreta) X con funzione di ripartizione F ( x)  
.
0.7 0  x  2

x2
1
a) Si determini la funzione di probabilità di X.
b) Si calcoli il valore atteso di X (se il punto a) non è stato svolto, per i punti b) e c) si consideri la seguente funzione
di probabilità: p(-1)=p(1)=0.4, p(4)=0.2 e p(x)=0 altrove).
c)
Si determini la funzione di probabilità di
Y  X 2 1.
0.4 x  2
0.3 x  0

a) p ( x)  
0.3 x  2
 0 altrove
b) E(X)=-0.8+0+0.6=-0.2. (nell’altro caso, E(X)=0.8).
0.3 x  1

c) p( x)  0.7
x  5 (nell’altro caso, p(2)=0.8, p(17)=0.2 e p(x)=0 altrove).
 0 altrove

3