CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prima prova in itinere di FISICA -- 29 Aprile 2010 1) Una palla viene lanciata dal suolo verso l’alto, con velocità di 10 m/s inclinata di 60° rispetto al pavimento, in una una palestra alta 5m. Si determini: a) le componenti x e y ed il modulo dei vettori posizione, velocità ed accelerazione, all’istante t = 0.5 s e l’equazione della traiettoria della palla. Si scelga un sistema d’assi (x,y) con origine nel punto di lancio e asse y parallelo alla verticale terrestre, positivo verso l’alto. b) se nel suo moto la palla toccherà il soffitto della palestra. 2) Un corpo di massa m=500 g poggia nel punto A su un piano inclinato di 300. Il piano è scabro ed i coefficienti di attrito statico e dinamico sono uguali e pari a = 0.2. a) Calcolare la reazione normale N esercitata dal piano sul corpo e la forza Fapp (modulo, direzione e verso) che deve essere applicata per mantenere il corpo in equilibrio e fermo; b) Supponendo ora di rimuovere tale forza, calcolare l’accelerazione di cui risente il corpo e lo spazio percorso lungo il piano, partendo da fermo, dopo un tempo t = 1 s. 3) Una particella di massa m = 100 g viene lasciata libera di muoversi nel punto A, sulla sommità di un pendio perfettamente liscio, ad una quota h = 10 m rispetto alla base del pendio (vedi figura). Raggiunta la base del pendio (punto B) percorre un tratto orizzontale scabro BC, che ha lunghezza d1 = 5m e coefficiente di attrito dinamico = 0.1, ed un tratto orizzontale perfettamente liscio CD, di lunghezza d2 = 2m. In D urta una molla orizzontale, che ha costante elastica k, e si arresta comprimendo la molla di un tratto x =10 cm. Si determini : a) l’ energia cinetica della particella in B, C e D. b) la costante elastica k della molla SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE BREVEMENTE PROCEDIMENTI SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE SENZA DIMENTICARE LE UNITA` DI MISURA. Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega/ (AD), fisbio.webhop.net (EN), www.mi.infn.it/~sleoni (OZ). SOLUZIONE ESERCIZIO 1 a) Le componenti dei vettori accelerazione, velocità, e posizione sono rispettivamente: ax = 0; a y = -g = -9.8 m/s 2 , costanti nel tempo. Il modulo dell’accelerazione a, costante nel tempo, è /a/=(ax 2 + ay 2) ½ = 9.8 m/s2 . vx = vox = /vo/ cos 60° =10 /2 = 5 m/s, costante nel tempo; v y = -g t + voy = -g t + /vo/ sen 60° = -g t + 8.66. All’istante t = 0.5 s, vy = 3.76 m/s ed il modulo del vettore velocità è /v / = (vx 2 +vy 2 )½ = 6.26 m/s. x =voxt = 5t ; y = - ½ g t 2 + voy t = - 4.9 t 2 +8.66 t. All’istante t = 0.5 s, x = 2.5 m ; y = 3.1 m ed il modulo del vettore posizione è /r/ = (x2 +y2)½ = 3.98 m. L’equazione della traiettoria si ottiene dalle relazioni x = 5t e y = - 4.9 t 2 +8.66 t , eliminando il tempo: y = - 4.9 (x/5) 2 +8.66 (x/5) = - 0.196 x2 +1.732 x b) La palla raggiunge la massima quota all’istante in cui vy = 0 , cioè per t = 8.66/g = 0.88 s. La massima quota è pertanto y = - 4.9 (0.88)2 + 8.66(0.88)=3.8m, minore dell’altezza della palestra. Pertanto la palla non raggiungerà il soffitto. SOLUZIONE ESERCIZIO 2 a) Per calcolare la reazione N e la forza da applicare per mantenere il corpo in equilibrio utilizziamo la seconda legge di Newton, proiettandola sugli assi x ed y, secondo lo schema mostrato in figura: F Fg N Fs Fapp 0 Fx mg sin Fapp Fs 0 Fy mg cos N 0 da cui si ottiene N = mg cos (0.5 kg)(9.8m/s2) cos(300) Fapp = mg sin - N = mg (sin - cos = (0.5 kg)(9.8m/s2) (sin(300) – 0.2 cos(300)) = 1.6 N La forza Fapp ha modulo 1.6 N, è diretta parallela al piano inclinato ed in verso opposto all’asse x, come indicato in figura. b) Se si rimuove la forza Fapp il corpo è soggetto alla forza peso, alla forza normale ed alla forza di attrito dinamico. Per calcolare l’accelerazione a cui è soggetto il corpo applichiamo di nuovo l’equazione della dinamica: F Fg N Fs ma Fx mg sin Fs ma Fy mg cos N 0 da cui si ottiene mg sin mg cos ma a g (sin cos ) Fapp / m 3.2 m / s 2 Dopo t = 1 s il corpo ha percorso una distanza d = ½ a t2 = ½ × 3.2 × (1)2 m = 1.6 m SOLUZIONE ESERCIZIO 3 a) L’energia cinetica nel punto B può essere ricavata facilmente applicando il teorema di conservazione dell’energia meccanica ai punti A e B in quanto l’unica forza agente che compie lavoro durante la discesa della particella lungo il pendio, è la forza Peso, conservativa. Si ha pertanto : EcinB = mgh = 9.8 J Nel tratto BC , l’unica forza che compie lavoro è la forza d’attrito F = - mg i, dove i è il versore dell’asse x , scelto coincidente con la direzione e verso del moto. Per il teorema lavoroenergia cinetica , il lavoro LBC compiuto dalla risultante delle forze agenti ( in questo caso la forza d’attrito) uguaglia la variazione dell’energia cinetica EcinC - EcinB . Si ha pertanto : LBC = - mg d1= EcinC - EcinB da cui si ricava EcinC = LBC + EcinB = - 0.49 +9.8 = 9.31 J Nel punto D l’energia cinetica è uguale a quella del punto C , EcinD = 9.31 J. b) Quando il corpo si è arrestato e la molla risulta compressa di 10 cm, tutta l’energia cinetica del sistema è diventata energia potenziale associata al campo della forza elastica esercitata dalla molla (la forza elastica è una forza conservativa). Si ha quindi EcinD = ½ k (x) 2 , da cui si ricava k = 2 EcinD / (x) 2 = 1862 N/m