Esercizi 19 Marzo 2013 1.Un sasso, legato ad una fune inestensibile lunga L = 0.5 m, ruota in un piano verticale. Il centro dei cerchi descritti è ad altezza H = 2.5 m dal suolo. La corda si spezza quando il sasso si trova nel punto più alto della sua traiettoria e il sasso tocca suolo avendo percorso, orizzontalmente, un tratto Dx = 11m. Si determini l’accelerazione centripeta del sasso nel momento in cui la fune si spezza. (g = 9.8 m s-2 ) 2.Un corpo si muove lungo una circonferenza con velocità costante in modulo e compie 5.67 giri in 18 s. Il modulo dell’accelerazione centripeta è |ac| = 7 m s-2 . Determinare la velocità del corpo e la sua accelerazione (periferica ed angolare) 3.Un sasso (A) è lasciato cadere, con velocità iniziale nulla, dall’altezza HA = 45 m. Contemporaneamente è lanciato verso l’alto, lungo la verticale di caduta del sasso A e dalla quota HB = 21 m, un altro sasso (B) con velocità iniziale V0B. Sapendo che i due sassi si urtano a quota H = 40 m, determinare: la velocità iniziale del sasso B e le velocità di ciascuno dei sassi nel momento in cui si urtano. (g = 10.0 m s-2 ) 4.Calcolare modulo e componenti di : C=A+B , D=AXB Sapendo che A = 3 i – 4 k e che B e’ un vettore di modulo 12, posto nel piano XY, che forma un angolo di 30° con l’ asse X SOLUZIONI: 1. L’accelerazione centripeta, nel momento in cui la fune si spezza, e’ : ac = Vi2 /L dove Vi e’ la corrispondente velocita’ del sasso; Vi = i Vi Per determinare Vi studiamo il moto del sasso successivamente alla rottura della fune. Il sasso sara’ soggetto alla forza di gravita’ lungo l’ asse verticale mentre si muovera’ a velocita’ costante lungo l’ asse orizzontale: (1) x(t) = x0 + Vi t (2) y(t) = (H+L) - .5 g t2 Il sasso tocca il suolo al tempo t = T : (1) Dx = Vi T (2) H+L = .5 g T2 da cui : Vi = Dx √ (g / 2(H+L)) = 14.06 m/s ac = Vi2 /L = 395.37 m s-2 2. Per percorrere 1 giro il corpo impiega 18/5.37 = 3.17 s e questo e’ il periodo T con cui il corpo ruota. (1) T = 2 π R /V ( V = velocita’ periferica del corpo; R = raggio della circonferenza) (2) ac = V2/R (R = raggio della circonferenza) Da (2) abbiamo : R = V2 / ac e sostituendo in (1) otteniamo: V = ac T /2 π = 3.53 m/s Il corpo si muove con velocita’ costante in modulo Accelerazione periferica = 0, Accelerazione angolare = 0 3. Poiche’ i sassi si urtano arrivano alla stessa quota allo stesso tempo (T) Scriviamo le equazioni del moto per ciascuno dei sassi : Sasso A : H-HA =-.5 g T2 T = 1s (poiche’ il sasso A ha velocita’ iniziale VoA =0 Sasso B: H- HB = V0b T - .5 g T2 VoB = 24 m/s (dove VoB e’ la velocita’ iniziale del sasso B) Le velocita’ di ciascuno dei sassi a t =T saranno rispettivamente: Sasso A: VA = VoA – g T = -10 m/s Sasso B: VB = VoB – g T = 14 m/s