Argomento N. 5 - I Numeri Indici Semplici e
Complessi
Obiettivi delle lezioni
Confrontare grandezze economiche
Costruire numeri indici semplici e complessi
Misurare variazione dei prezzi al consumo nel tempo
Indice degli argomenti
I numeri indici semplici
I numeri indici complessi
Sul Libro:
Nel testo adottato (S. Iacus – Statistica) tale argomento non è
presente. Si consiglia, pertanto, di consultare, per la parte
metodologica, oltre alla presente dispensa, il testo: Borra S., Di
Ciaccio A. (2008), Statistica. Metodologie per le scienze
economiche e sociali, McGraw-Hill, Milano, capitolo 5. Per la parte
sui numeri indici dei prezzi al consumo calcolati dall’Istat, invece,
si rimanda alla nota metodologica scaricabile, oltre che dal nostro
sito, da quello dell’Istat stesso.
Premessa
Molto spesso si è interessati a confrontare (nel tempo, nello spazio, ecc…)
grandezze economiche, sociali e demografiche, al fine di far emergere le
tendenze di fondo dei fenomeni. In tali situazioni, appare utile considerare,
invece dei dati di base, dei particolari rapporti statistici chiamati numeri indici
che permettono un più immediata comparazione tra gli aggregati.
Il numero indice, generalmente costruito prendendo una determinata
“situazione” (che può essere un determinato anno, un territorio, ecc…) come
base, permette di valutare immediatamente le variazioni (o, detto in termini
più generali, le “differenze”) tra detta base e il “momento” (o il territorio) che
stiamo analizzando, consentendo un rapido confronto tra i differenti aggregati.
Noi ci occuperemo, in particolar modo, di numeri indici che misurino
variazioni di prezzi nel tempo, in modo da valutare la dinamica temporale di
tali aggregati.
Oltre alla parte metodologica, poi, andremo ad osservare in che modo l’Istat
misura le variazioni nel tempo dei prezzi dei beni e servizi consumati dalla
collettività (calcolando, in sostanza, quello che nel linguaggio comune viene
chiamato “tasso di inflazione”).
1. I numeri indici semplici
La costruzione di serie di numeri indici (dei prezzi o delle quantità) nasce
dall’esigenza di confrontare nel tempo, nello spazio o, più in generale, in
“situazioni” differenti la variazione dell’intensità di un fenomeno di tipo sociale,
economico, demografico.
In generale sarà possibile parlare di:
Numeri
Indici
Semplici:
qualora
l’obiettivo
sia
fissato
sulla
variazione del prezzo (o della quantità) di un singolo bene (o servizio)
in due “situazioni” differenti;
Numeri Indici Complessi: qualora l’obiettivo sia quello di descrivere
in modo sintetico la variazione di un gruppo di n beni e/o servizi
simultaneamente, in due “situazioni” differenti.
Iniziamo a parlare dei numeri indici semplici (come già rilevato in
precedenza, ci riferiremo, per comodità, a variazioni dei prezzi nel tempo,
potendo, generalmente, allargare i concetti esposti anche al caso delle
variazioni nelle quantità e in “situazioni” differenti da quella temporale):
indicando con p0 il prezzo di un bene (o di un servizio) nel tempo preso come
base, e con pt il prezzo dello stesso bene (o servizio) al tempo “t”, un generico
numero indice che esprima la variazione del prezzo tra l’anno i e l’anno preso
come base sarà sintetizzato dalla formula:
0
It
pt
po
Tale indice sarà maggiore o minore di 1 a seconda che il prezzo nell’anno t
sia maggiore o minore rispetto a quello dell’anno preso come base;
solitamente, per rendere le informazioni più leggibili, tali numeri indici vengono
moltiplicati per 100.
I numeri indici così costruiti descrivono la variazione relativa tra l’anno t e
l’anno scelto come base; essi, inoltre, si configurano come “puri numeri”, nel
senso che sono svincolati dall’unità di misura nella quale è espresso il
fenomeno originario. Inoltre, per definizione, sono sempre positivi.
I numeri indici possono essere calcolati a base fissa o a base mobile: nel
primo caso, il confronto sarà tra i differenti anni ed un anno scelto come base
(che rimane sempre la stessa); nel secondo caso, invece, la base cambia al
variare dell’indice “t”.
La scelta della base (fissa o mobile) dipende dall’obiettivo che si pone chi
costruisce il numero indice: infatti, nel caso di base fissa sarà possibile
confrontare tra loro tutte le diverse situazioni presentate; nel caso di base
mobile, invece, potrà essere rilevata solamente la variazione relativa tra la
situazione “t” e l’anno immediatamente precedente. Naturalmente, e sotto
opportune condizioni, sarà possibile cambiare la base, e passare da una base
fissa ad un’altra base fissa, oppure da una base fissa ad una base mobile (o
viceversa).
Nell’esempio seguente sono riportati gli stipendi medi di un gruppo di
impiegati in un certo arco temporale, per il quale si vogliono calcolare i numeri
indici a base fissa, scegliendo come base l’anno 0 (il primo disponibile). Il
generico numero indice all’anno i sarà calcolato rapportando il valore dello
stipendio all’anno i a quello dell’anno scelto come base (il primo); tale risultato
andrà moltiplicato per cento (per rendere più leggibili i dati).
ESEMPIO 1 – Costruzione di numeri indici a base fissa
Si supponga di aver rilevato su un gruppo di individui lo stipendio annuo, e
di averne calcolato la media aritmetica, la quale, negli anni considerati, è
risultata la seguente (dati espressi in euro): 10.000; 11.500; 12.000; 12.800;
14.000; 16.500.
Costruire la serie di numeri indici a base fissa, scegliendo come anno base il
primo anno considerato (anno 0).
Anno
Stipendio
0
10.000
1
11.500
2
12.000
3
12.800
4
14.000
5
16.500
Numero Indice
10.000
100
10.000
11.500
100
10.000
12.000
100
10.000
12.800
100
10.000
14.000
100
10.000
16.500
100
10.000
1,00 100 100
1,15 100 115
1,20 100 120
1,28 100 128
1,40 100 140
1,65 100 165
E così, ad esempio, il numero indice in base 0 all’anno 3 sarà:
0
I3
12.800
100 1,28 100 128
10.000
La costruzione di numeri indici a base mobile (esempio 2) non comporta
nessuna complicazione, se non per il fatto che bisognerà usare come base il
valore preso all’anno precedente; e così, lo stesso numero indice a base mobile
dell’anno 3 sarà:
2
I3
12.800
100 1,066 100 106,6
10.000
ESEMPIO 2 – Costruzione di numeri indici a base mobile
Sugli stessi dati dell’esempio precedente, costruire dei numeri indici semplici
a base mobile.
Anno
Stipendio
Numero Indice
0
10.000
1
11.500
2
12.000
3
12.800
4
14.000
5
16.500
11.500
100
10.000
12.000
100
11.500
12.800
100
12.000
14.000
100
12.800
16.500
100
14.000
1,15 100 115,0
1,043 100 104,3
1,066 100 106,6
1,093 100 109,3
1,179 100 117,9
Come è possibile notare, i numeri indici calcolati negli Esempi 1 e 2
rispondono ad esigenze molto differenti: quelli a base fissa permettono di
confrontare ognuno degli anni con una situazione scelta come base (e dunque,
indirettamente, anche tra loro, visto che il “denominatore” è sempre lo
stesso); quelli a base mobile vengono costruiti quando l’obiettivo è quello di
confrontare ogni valore con quello immediatamente precedente.
2 I numeri indici complessi
Quando si va ad affrontare il problema della costruzione di numeri indici
complessi, bisogna affrontare preliminarmente alcuni problemi insiti in tale
operazione.
Innanzitutto, bisognerà considerare quali aggregati (ossia, quali beni e/o
servizi) inserire all’interno del numero indice che vogliamo costruire; le
grandezze da scegliere attendono, ovviamente, allo specifico obiettivo che ci
siamo prefissati, e, dunque, al particolare fenomeno economico che vogliamo
andare a rilevare. In ogni caso, qualora volessimo costruire, ad esempio, un
numero indice dei prezzi, difficilmente saremo in grado di prendere in
considerazione tutti i beni e i servizi scambiati sul mercato, e che,
teoricamente, sarebbe opportuno analizzare; solitamente, si sceglie un
campione ragionato di tali beni e servizi che sia rappresentativo di tutti quelli
scambiati, nell’ipotesi che le variazioni relative degli altri si adeguino a quelle
dei primi.
Altro problema da prendere in considerazione è la “base”; a prescindere dal
fatto che questa sia fissa o mobile (scelta che spesso, come già rilevato, sarà
dettata dalle esigenze conoscitive del ricercatore), si cercherà di scegliere
come situazione base una situazione nella quale gli aggregati considerati hanno
presentato dei valori “normali”, nel senso di non aver subito variazioni anomale
dettate da motivazioni contingenti.
Bisognerà, infine, scegliere un opportuno sistema di “pesi”, dal momento
che ogni bene e servizio considerato nella costruzione del numero indice dovrà
avere una sua “importanza”, la quale si rifletterà in un maggiore o minore
impatto
sulla variazione
complessiva dell’indice
che
abbiamo
costruito.
Vedremo in seguito, inoltre, che tale sistema di ponderazione identifica il tipo
di indice utilizzato.
Per capire in che modo procedere alla costruzione di numeri indici
complessi, facciamo, come al solito, un esempio: supponiamo di aver rilevato il
prezzo di due beni in due momenti temporali differenti (per comodità, 0 ed 1):
il bene A passa, nel periodo considerato, da un prezzo pari a 1,5€ ad uno di
2€; il bene B passa da 5€ a 6€. Se ragionassimo nello stesso modo in cui
abbiamo ragionato per i numeri indici semplici, potremmo calcolare la
variazione di prezzo come somma dei prezzi all’anno 1, rapportata alla somma
dei prezzi dell’anno 0, come sintetizzato di seguito:
0
I1
p A1 p B1
26
8
100
100
100 123,07
p A 0 p B0
1,5 5
6,5
concludendo, dunque, che c’è stato un aumento (medio) dei prezzi del 23%
circa rispetto all’anno precedente.
Cosa c’è di sbagliato in questo modo di ragionare? Che i beni (e i servizi)
scambiati sul mercato non hanno tutti la stessa importanza: l’aumento del
prezzo del pane (bene di prima necessità, che viene scambiato giornalmente in
grandi quantità) costituisce un problema ben più grande dell’aumento del
prezzo di un cappotto di cachemire (bene di lusso, scambiato in quantità ben
minori sul mercato).
Diventa, dunque, essenziale considerare anche le quantità scambiate dei
beni (e dei servizi) inseriti nel nostro numero indice complesso, e, pertanto, la
formula appena utilizzata dovrà essere parzialmente trasformata per tener
conto di tale elemento:
I
0 1
p A1 q A1 p B1 q B1
100
p A 0 q A 0 p B0 q B0
Tale formula, inoltre, può essere generalizzata al caso in cui dobbiamo
valutare la variazione complessiva nel prezzo di un gruppo di n beni e servizi:
n
I
0 1
p q
i1
p q
i0
i 1
n
i 1
i1
i0
100
Supponiamo che le quantità scambiate dei due beni precedenti siano, per il
bene A, pari a 800 e 600, rispettivamente, nei due periodi considerati, e per il
bene B pari, rispettivamente, a 150 e 140. Ne consegue che il numero indice
calcolato con la formula appena presentata sarà pari a :
I
0 1
p A1 q A1 p B1 q B1
(2 600) (6 140)
100
100
p A 0 q A 0 p B0 q B0
(1,5 800) (5 150)
1.200 840
2.040
100
100 104,6
1.200 750
1.950
risultato che ci farebbe concludere che la variazione complessiva dei prezzi da
un anno all’altro è stata del 4,6%.
Andiamo, tuttavia, ad osservare il risultato al quale siamo pervenuti: siamo
sicuri che questo 4,6% sia dovuto (solo) ad un aumento dei prezzi? O è
possibile che la “responsabilità” di tale risultato sia anche di altri elementi? A
ben vedere, infatti, nella formula che stiamo utilizzando, non è detto che siano
solamente i prezzi a variare…Il risultato ottenuto potrebbe essere dovuto anche
ad una variazione delle quantità scambiate nei due anni considerati (come,
difatti, accade, basta guardare i dati dell’esempio).
Come fare per costruire dei numeri indici complessi, considerando anche un
sistema di pesi (ossia le quantità scambiate) ma senza che questi vadano ad
“alterare” il risultato del nostro numero indice?
La soluzione è presto detta: i numeri indici complessi più utilizzati sono
quelli sintetizzati da Laspeyres, Paasche e Fisher (quest’ultimo, tra l’altro,
rappresenta una sintesi dei primi due).
I primi due indici complessi individuati si differenziano per il sistema di pesi
utilizzato: il primo (Laspeyres), utilizza come sistema di pesi le quantità dei
beni (e/o dei servizi) scambiati all’anno base; il secondo (Paasche), propone,
invece, di utilizzare come sistema di pesi le quantità scambiate all’anno più
recente. Se consideriamo la variazione di un gruppo di beni e/o servizi tra
l’anno 0 e l’anno 1, le due formule considerate saranno, pertanto:
Numero indice dei prezzi di Laspeyres:
n
I
0 1
L
p q
i0
p q
i0
i 1
n
i 1
i1
i0
100
Numero indice dei prezzi di Paasche:
n
I
0 1
P
p q
i1
p q
i1
i 1
n
i1
i0
i 1
100
Come è possibile notare, in entrambi i casi le quantità scambiate sono le
stesse sia a numeratore che a denominatore (sono entrambe al tempo zero,
per quanto riguarda il numero indice di Laspeyres, ed entrambe al tempo uno
per quanto riguarda il numero indice di Paasche); questo significa che ogni
variazione riscontrata sarà dovuta esclusivamente a variazioni nei prezzi dei
beni e/o dei servizi considerati, e non delle quantità.
La formula proposta da Fisher, invece (detta anche formula ideale, dal
momento che gode di alcune particolari proprietà, sulle quali, tuttavia, non ci
soffermiamo) è data dalla media geometrica dei due valori precedenti:
0
I1F
0
I1L 0 I1P
Applicando tali formule ai dati utilizzati, avremo:
Laspeyres:
n
IL
0 1
p q
i0
p q
i0
i 1
n
i 1
i1
i0
100
(2 800) (6 150)
100
(1,5 800) (5 150)
1.600 900
2.500
100
100 128,2
1.200 750
1.950
Paasche:
n
IP
0 1
p q
i1
p q
i1
i 1
n
i 1
i1
i0
100
(2 600) (6 140)
100
(1,5 600) (5 140)
1.200 840
2.040
100
100 127,5
900 700
1.600
Fisher:
0
I1F
0
I1L 0 I1P 128,2 127,5 127,85
Come è possibile notare, il numero indice di Laspeyres è risultato un
pochino più grande di quello di Paasche; questo non è un caso: come
spiegheremo meglio nella lezione sincrona, i numeri indici calcolati con il
criterio di Laspeyres, quando i prezzi aumentano (come nel nostro caso)
tendono a fornire un risultato leggermente superiore a quelli calcolati con il
metodo di Paasche. Per tale motivo si dice che i numeri indici di Laspeyres
hanno una tendenziosità positiva.
Glossario dei termini usati
CARATTERE TRASFERIBILE: un carattere è detto trasferibile quando
può essere ceduto, in tutto o in parte, da un’unità statistica ad
un’altra.
NUMERI INDICI SEMPLICI: servono per misurare la variazione del
prezzo (o della quantità) di un sin-golo bene (o servizio) in due
“situazioni” differenti.
NUMERI INDICI COMPLESSI: è hanno l’obiettivo di descrivere in
modo sintetico la variazione di un gruppo di n beni e/o servizi
simultaneamente, in due “situazioni” differenti.
NUMERI
INDICI A
BASE FISSA:
quando
il
confronto
viene
effettuato tra i differenti anni ed un anno scelto come base, che
rimane sempre la stessa.
NUMERI INDICI A BASE MOBILE: quando il confronto viene
effettuato tra i differenti anni, e la base cambia al variare dell’indice.
NUMERO INDICE DEI PREZZI DI LASPEYRES: è un numero indice
complesso, che si basa sull’utilizzo, come sistema di ponderazione,
delle quantità scambiate all’anno scelto come base.
NUMERO INDICE DEI PREZZI DI PAASCHE: è un numero indice
complesso, che si basa sull’utilizzo, come sistema di ponderazione,
delle quantità scambiate all’anno più recente.
NUMERO INDICE DEI PREZZI DI FISHER: è dato dalla media
geometrica dei numeri indici di Laspeyres e di Paa-sche.
