Esercizio 1 a) Per calcolare la densita` di carica libera presente nel cilindro utilizziamo il teorema di Gauss, applicato al calcolo del flusso del vettore induzione del campo elettrico D, e la relazione D=E. lib D 3E r 1 rE (r ) 20 r r a La densita` di volume delle cariche di polarizzazione si ottiene da: pol P D lib r r La densita` superficiale delle cariche di polarizzazione e` data da: pol P u n 0 E (a) 0 E0 La densita` superficiale delle cariche libere si ottiene dalla discontinuita` della componente normale di D e sfruttando il fatto che all’esterno del cilindro si ha Dest=0. lib Dest (a) Dint (a) Eint (a) E0 La carica totale presente nel cilindro e` data dalla somma delle cariche libere e di quelle di polarizzazione presenti nel volume e sulla superficie del cilindro: a Qlib lib 2rdr 2E0 ah 0 a Q pol pol 2rdr 20 E0 ah 0 Qlib lib 2ah 2E0 ah Qpol pol 2ah 20 E0 ah quindi Qtot=0 come ci si poteva aspettare essendo nullo il campo elettrico all’esterno del cilindro. b) L’energia elettrostatica del sistema si ottiene integrando la densita` di energia: hE02 a 2 1 1 r4 U udV E 2 dV E02 4 2rhdr 2 2 6 a 0 0 a a Il potenziale elettrico sull’asse vale: a a 0 a 0 V (0) Eint (r )dr Eest (r )dr E0 r 2 E dr 0 a 2 3 a c) Quando il cilindro inizia a ruotare si crea una corrente nel volume del cilindro dovuta al movimento delle cariche libere e di quelle di polarizzazione, ed una corrente superficiale data dal moto delle cariche distribuite sulla superficie stessa (sia libere che di polarizzazione). Quindi le densita’ delle cariche in moto nel complesso sono: 3 0 E0 r a2 0 E 0 lib pol lib pol Queste cariche in moto danno origine a delle correnti che hanno la stessa simmetria del solenoide, percio` il campo magnetico B all’esterno del cilindro è nullo, mentre al cuo interno e` diretto lungo l’asse del cilindro e dipende dalla distanza r dall’asse. Per calcolarne il valore applichiamo il teorema di Ampere al percorso indicato in figura. a B(r )l 0 i 0 (r )rldr al r a B(r ) 0 r 3 0 E 0 2 0 0 E 0r 3 r dr E a 0 0 0 a2 a3 B(r)=0 Esercizio 2 per r>a per r<a