teoremi delle funzioni derivabili

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TEOREMI DELLE FUNZIONI DERIVABILI
1] Teorema fondamentale delle funzioni derivabili o di FERMAT
(sui punti stazionari: Massimi e minimi relativi)
Definizioni:
Un punto X0  [a; b] è di massimo relativo per la funzione f(x) se  un intorno completo I del punto X0
tale che  x interno ad I risulti: f(X)  f(X0).
Un punto X0  [a; b] è di minimo relativo per la funzione f(x) se  un intorno completo I tale che  x
interno ad I risulti: f(X)  f(X0).
Teorema: Se X0 è un punto di massimo (o di minimo) relativo per la funzione f(x) e in tale punto la f(x) è
derivabile, risulta: f’(X0) = 0.
Dimostrazione:
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a; b] ed ivi derivabile.
Sia X0  Df punto di massimo !! ovvero:  IXo  Df : f(X)  f(X0).
f
Considerato un h  0 : X0 + h  IXo si fa il
a sinistra e a destra di X0 .
X
f ( Xo  h)  f ( xo)
 0 per h < 0 (numeratore negativo e denominatore negativo) [a sinistra di Xo]
(1)
h
f ( Xo  h)  f ( xo)
 0 per h > 0 (numeratore negativo e denominatore positivo) [a destra di Xo]
(2)
h
Per la derivabilità di f(x) in X0 e per il T. della permanenza del segno, il limite della (1) sarà:
lim
f ( Xo  h)  f ( xo)
 f ' ( Xo)  0
h
lim
f ( Xo  h)  f ( xo)
 f ' ( Xo)  0
h
h  0
h  0
e quello della (2) sarà:
dovendo essere contemporaneamente f’(Xo)  0 e f’(Xo) 0 dovrà essere f’(X0) = 0.
La condizione f’(X0) = 0 è condizione necessaria perché X0 sia punto di massimo o di minimo relativo,
ma non sufficiente. (per risolvere l’ambiguità).
Diventa sufficiente se affiancata allo studio del segno della derivata a sinistra e a destra del punto Xo per
la crescenza o decrescenza della f(x), ovvero punto di massimo o di minimo.
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2] Teorema di ROLLE
Sia f(x) una funzione continua in [a; b] e derivabile in (a; b); se f(a) = f(b),  almeno un punto X0
per cui risulta f’(X0) = 0.
Ovvero:
SE
f(x) continua in [a; b]
f(x) derivabile in (a; b)
f(a) = f(b)
 [a; b]
ALLORA
 almeno un punto X0
 (a; b) : f’ (X0) = 0
Dimostrazione: Essendo f(x) continua in [a; b] per il T. di Weierstrass ammette in [a; b] massimo e minimo
locali. Si presentano due casi:
a) La f(x) assume un valore “m” e “M” nei punti estremi dell’intervallo e sarà m = M di conseguenza la
f(x) è una costante, la cui derivata è nulla. c.v.d.
b) “m” e “M” sono assunti in punti interni ad [a; b] ed essendo f(Xo) = m oppure = M, per il T.
fondamentale delle f. derivabili “nei punti di minimo e di massimo risulta f’(xo) = 0. c.v.d.
3] Teorema di LAGRANGE o del valore medio
Se f(x) è continua in [a; b] e derivabile in (a; b),  almeno un punto “c” interno ad (a; b) tale che:
f (b)  f (a)
 f ' (c )
ba
Si consideri la funzione ausiliaria:
φ(x) = f(x) – Kx;
(1)
(2)
(K reale)
Sarà anch’essa continua in [a; b] e derivabile in (a; b).
Si determina la costante K nell’ipotesi che φ (a) = φ(b) e si applica poi il teorema di Rolle.
Sarà:
f (b)  f (a )
K 
f(a) – K a = f(b) – K b =>
(3)
ba
f (b)  f (a)
X
La φ(x) diventa:
φ(x) = f(x) (4)
ba
e ad essa è applicabile il Teorema di Rolle; cioè esisterà un punto “c” interno ad (a; b) per cui f’ (x) = 0.
f (b)  f (a )
e sarà per φ’(c) = 0
ba
f (b)  f (a )
f (b)  f (a )
f’(c) = 0; da cui f’(c) =
c.v.d.
ba
ba
Dalla φ’(x) = f’(x) -
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4] Teorema di CAUCHY (o degli incrementi finiti) (solo enunciato)
Se due funzioni f(x) e g(x) sono continue in un intervallo [a; b] e derivabili internamente ad esso e se
g'(x) non è mai nulla, allora  almeno un punto c  I, tale che risulti:
f (b)  f (a )
=
g (b)  g (a )
f ' (c )
g ' (c )
5] Teorema: Segno di f’(x) e Monotonia della funzione f(x) (Crescenza e Decrescenza)
Enunciato: Sia f(x) continua in [a; b] e derivabile nei punti interni , se risulta:
a) f’(x) > 0 per  x  (a; b), la f(x) è CRESCENTE in [a; b].
b) f’(x) < 0 per  x  (a; b), la f(x) è DECRESCENTE in [a; b].
f ( X 2)  f ( X 1)
 f ' ( Xo) da cui : f(X2) = f(X1) + (X2 – X1) f’(X0).
X 2  X1
Essendo X2 – X1 > 0, l’ipotesi f’(x) > 0  X  (a; b) implica f’(X0) > 0 e dunque deve essere:
-Sia X1 < X2 per il T. di Lagrange
f(X2) - f(X1) > 0; ovvero f(X2) > f(X1) cioè la f(x) è CRESCENTE in [a; b] .
-Se invece l’ipotesi è f’(X) <0, cioè: f(X2) - f(X1) = (X2 – X1) f’(X0) < 0; ovvero f(X2) < f(X1);
cioè la f(x) è DECRESCENTE in [a; b].
6] Teorema di DE L'HOPITAL
Questo teorema prende il nome del marchese Guillaume Francois Antoine de l’Hôpital (1661-1704). E’ un
teorema che in molti casi permette di calcolare quei limiti di funzioni che danno luogo a forme
0

indeterminate del tipo oppure ; mette in relazione tra loro, il limite del rapporto tra due funzioni
0

entrambe tendenti a zero o all’infinito, ed il limite del rapporto tra le loro derivate.
Enunciato: Siano f(x) e g(x) due funzioni continue in [a; b] e derivabili in tutto (a; b), escluso al più il punto
X0 di (a; b), con g '(x)  0; se f(X0) = g(X0) = 0 ed esiste ed è finito il limite per X che tende a X0 del
f ' ( x)
f ( x)
rapporto tra le derivate di f(x) e g(x), ovvero: lim
allora esisterà anche lim
e questi due
g ' ( x)
g ( x)
limiti risulteranno uguali. Cioè:
im
X Xo
f '( x ) f '(Xo) .
f (x )
 im

g (x )
g '( x ) g '(Xo)
Questo teorema permette di risolvere il calcolo del limite di funzioni quando si presentano nelle seguenti forme
0

indeterminate:
;
. E' possibile usare questo teorema anche per altre forme indeterminate, dopo aver
0

trasformato f(x) e g(x) in modo da ritrovarsi nelle forme indeterminate già viste.
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Teoremi fondamentali delle funzioni derivabili (enunciati)
Teorema di ROLLE - Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso I  [a; b] e derivabile nei
punti interni e se risulta: f(a) = f(b) , allora  almeno un punto c  I nel quale la derivata della
funzione si annulla, cioè:
f '(c) = 0.
(1)
Significato geometrico del Teorema di Rolle :
Se un arco di curva congiungente i punti A e B, aventi ordinate uguali, ammette tangente in ogni suo
punto, esclusi al più gli estremi, esiste almeno un punto interno all'arco, in cui la tangente t è parallela
all'asse delle ascisse.
y
t
f(a)=f(b)
A
B
x
O
a
c b
Teorema di LAGRANGE o del valore medio - Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso I
 [a; b] e derivabile internamente ad esso, allora  almeno un punto c  I, tale che risulti:
f (b)  f (a )
= f '(c)
ba
(2)
a < c < b.
Significato geometrico del Teorema di Lagrange
Se un arco di curva AB ammette tangente in ogni suo punto, esclusi al più gli estremi, allora esiste almeno
un punto, interno all'arco, in cui la tangente è parallela alla corda che congiunge gli estremi dell'arco.
y
B
t
A
o
a
c
b
x
Dal teorema di Lagrange si hanno i corollari:
1. Se in tutto (a, b) si ha f '(x) = 0, allora la f(x) continua
in [a; b] è ivi costante.
2. Date due funzioni f(x) e g(x) derivabili in (a; b) e tali
che per  x di (a; b), sia : f '(x) = g ' (x) , allora le
due funzioni differiscono in (a; b) per una costante.
3. Se in un intervallo (a; b) la f(x) ammette derivata
prima sempre positiva, essa è ivi crescente in senso
stretto; se invece f '(x) è sempre negativa, la f(x) è
decrescente in senso stretto.
4. Se f(x) è continua in [a; b] e derivabile in (a; c)(c; b)
con a < c < b, se risulta:
lim f '(x) = lim f '(x) = l
X
cX
c+
allora : f ' (c) = l.
Teorema di CAUCHY (o degli incrementi finiti) - Se due funzioni f(x) e g(x) sono continue in un
intervallo [a; b] e derivabili internamente ad esso e se g'(x) non è mai nulla, allora  almeno un punto
c  I, tale che risulti:
f (b)  f (a )
=
g (b)  g (a )
f ' (c )
g ' (c )
(3)
N.B. - Il teorema di Lagrange è un caso particolare del T. di Cauchy. [basta porre g(x)=x e quindi
g'(x)=1 e la (3) e la (2) coincidono].
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