Soluzioni_Fis_GEN_B_07_07_10

FIS. GEN vecchio Progr. 10 CFU Compito B
I Appello A.A. 2009-2010
07.07.2010
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
Voto
Esercizio n. 1 Una massa m è appesa al soffitto di un vagone tramite un filo inestensibile che forma con la verticale un angolo =20°
come in figura. Ad un certo istante la velocità del vagone vale v oux. Sapendo che l’angolo  rimane costante, si dica quanto spazio
percorrerà il vagone prima che la sua velocità raddoppi, e la tensione del filo. Si eseguano i calcoli per =20° e vo=50Km/h, m=100g.
Nel sistema di riferimento non inerziale l’inclinazione del filo è causata dall’azione
contemporanea della forza peso e della forza apparente, di modulo ma, e diretta come -ux. Se ne
deduce pertanto che il moto del vagoncino è rettilineo uniformemente accelerato:
tg   
v0

ma
 a  g  tg    v(t )  v 0  at
mg
O
x
Ricavando l’istante nel quale la velocità risulterà raddoppiata, determiniamo lo spazio percorso:
v(t * )  v0  at *  2v0  t * 
s(t )  v0 t 
v0
a
1 2
3 v 02
at  s(t * ) 
 81m
2
2 g  tg  
La tensione si ricava infine dall’equilibrio delle forze:
ma2  mg 2

 mg 1  tg 2    1.04 N .
Esercizio n. 2 Una macchina termica reversibile, utilizzando come fluido termodinamico un gas perfetto, esegue un ciclo
rappresentabile sul piano PV come in figura. Le trasformazioni A→B, C→D, E→F, sono isoterme reversibili, durante le quali il gas
scambia calore con tre sorgenti a temperature rispettivamente pari a T 3=500K, T2=400K, T1=300K. Le trasformazioni B→C, D→E,
F→A, sono adiabatiche reversibili. Sapendo che i calori scambiati con la prima e la terza sorgente valgono, in modulo, │QAB│=100J e
│QEF│=120J, si calcoli il lavoro prodotto dalla macchina in un ciclo e il suo rendimento.
A
P
T3
C T
2 D
Il gas assorbe calore durante le isoterme A→B e C→D, lo cede durante E→F. Per cui
QAB  0; QCD  0; QEF  0; Data la reversibilità del ciclo vale, indipendentemente dal numero di
sorgenti:
 QEF Q AB 
Qi
Q AB QCD QEF



0




0

Q

4
CD
i
 3  T   80 J
Ti
T3
T2
T1
3



A questo punto facilmente ricaviamo lavoro prodotto e rendimento:
W  QASS  QCED  QAB  QCD  QEF  60 J

W
 0.33 .
Q AB  QCD
B
F
T1
E
V
Esercizio n. 3 Una spira conduttrice quadrata di lato l e resistenza R è immersa in un campo magnetico variabile con la
coordinata x e con il tempo secondo l’espressione B(x,t)=B0·(1+ax)·[1-exp(-t/)], diretto perpendicolarmente al piano della
spira, come in figura. Nell’ipotesi che il lato destro della spira giaccia nel punto di ascissa nulla, si scriva l’espressione della
corrente indotta che circola nella spira, indicandone il verso e calcolandone il valore al tempo t*. Si determini poi l’energia
dissipata sulla resistenza nell’intervallo di tempo 0<t<t*. Siano l=20cm, B0=0.5T, R=100, a=1m-1, =20s, t*=10s.
Calcoliamo il flusso concatenato di B suddividendo la spira in rettangoli infinitesimi di altezza l e base dx, e
quindi integrando sull’intera spira:
B(x,t) l
l
t
t

dBx, t   ldxB0 1  ax 1  e     TOT B    d  B0 l 2 1  a 1  e  



2 

0
l
x
O
A questo punto si ha la corrente indotta facilmente:
i IND
B0 l 2 
1 dB 
l  t


1  a  e    it *  6.67A (verso orario).

R dt
R 
2 
Integrando sull’intervallo dei tempi richiesto si ricava infine l’energia dissipata:
t*
2
W 0  t  t *   i IND
(t ) R  
0
2
2
2
2
B0 l 4 
l    2 t   t * B0 l 4 
l   1
8
1  a   e
1  a  1    7.65  10 J
 
0
2 R 
2 
2 R 
2  e
+
Esercizio n. 4 Una corona circolare piana di spessore trascurabile, raggio interno a e raggio esterno b, di materiale
dielettrico, viene caricata uniformemente con densità di carica superficiale . Essa viene posta in rotazione con velocità
angolare  attorno all’asse di rotazione perpendicolare al piano della corona e passante per il suo centro O. Il verso di
rotazione è tale che il vettore velocità angolare  è parallelo all’asse z. Si determini, in modulo direzione e verso, il campo
magnetico B generato in O. Si eseguano i calcoli per =100C/m2, a=20cm , b=30cm, =80rad/s. Suggerimento: si divida la
corona in corone circolari infinitesime…
Ogni corona circolare infinitesima di raggio r possiede una carica infinitesima: dq  2rdr   .
Pertanto la sua rotazione causa la presenza di una corrente infinitesima di intensità:
di 
dq
dq

 rdr
T 2

z
+
+

+
+
O

+
+
+
+
++ b
a
Il campo infinitesimo in O, generato dalla corona circolare infinitesima in rotazione è del tutto equivalente a quello di una spira:
  di  dr
dB  0  0
uˆ Z Ed integrando sull’intera corona si ha:
2r
2
b

 dr
  (b  a)
BTOT   0
uˆ Z  0
uˆ Z  0.5nT
2
2
a