sistemi di numerazione - Unicam

LE OPERAZIONI IN N.
Gli assiomi di Peano consentono:
 di dare una definizione rigorosa della somma e del prodotto di due numeri
naturali
 di dimostrare tutte le proprietà di cui godono queste operazioni.
L'addizione
La somma di due numeri naturali è definita ponendo:
 a+0=a
 a + succ(b)= succ(a + b)
cioè
la somma di un numero con 0 è il numero stesso
la somma di un numero a con il successivo di un numero b è il successivo del numero
a+b
ESEMPI:
1] 4 + 3 = succ(4 + 2) = succ(succ(4 + 1)) = succ(succ(succ(4 + 0))) =
= succ(succ( succ(4))) = succ (succ (5)) = succ (6) = 7
2] 8 + 4 = succ(8 + 3) = succ(succ(8 + 2)) = succ(succ(succ(8 + 1 ))) =
= succ(succ(succ(succ(8 + 0))))= succ(succ(succ(succ(8))))= succ(succ(succ(9)))=
= succ(succ(10)) = succ(11) = 12
La somma di due numeri naturali viene così definita mediante un meccanismo detto
di ricorsione che rimanda la soluzione del problema ad un caso più semplice; questo
a sua volta ad un caso più semplice e così via fino ad arrivare alla prima proposizione
a + 0 = a; da qui si ricostruisce la sequenza determinando ogni volta il successivo del
numero trovato.
La somma del numero a con il numero b è quindi in definitiva il b-esimo successivo
di a.
La moltiplicazione
Anche la moltiplicazione viene definita in modo ricorsivo dalle seguenti relazioni:
 a0=0
 a  succ(b)= a  b + a
ESEMPIO:
5·4 = 5·succ(3) = (5·3) + 5 = (5· succ(2)) + 5 = (5·2 + 5)+ 5 = (5· succ(1) + 5) + 5 =
=((5·1 + 5) + 5) + 5 = ((5· succ(0) + 5) + 5) + 5 = (((5·0 + 5)+5) + 5) + 5 = (((0 + 5)
+ 5) + 5) + 5 = 20
PROPRIETÀ:
L'insieme N è quindi dotato di due operazioni (o leggi di composizioni interne) per le
quali valgono:
 la proprietà commutativa:
ADDIZIONE: a + b = b + a
MOLTIPLICAZIONE: a·b = b·a
 la proprietà associativa:
ADDIZIONE: (a+b)+c= a+(b+c)
MOLTIPLICAZIONE: (a·b)·c = a·(b·c)
 la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione:
a·(b + c) = a· b + a· c
 le leggi di cancellazione:
ADDIZIONE: a + c = b + c => a = b
MOLTIPLICAZIONE: a· c = b· c => a = b
 la legge di tricotomia: dati a e b, vale sempre una e una sola delle tre relazioni
a < b;
a = b;
a > b.
Tutte queste proprietà possono essere dimostrate facendo ricorso alla definizione di
addizione, moltiplicazione e agli assiomi di Peano.
ESEMPIO
Teorema (proprietà associativa dell’addizione).
a,b,c  N  (a+b)+c = a+(b+c)
Dimostrazione:
Prendiamo due numeri qualsiasi a e b e consideriamo l'insieme I dei numeri x di N
che soddisfano questa proprietà, cioè quei numeri x tali che (a + b) + x = a + (b + x).
Se dimostriamo che I coincide con N abbiamo dimostrato il teorema.
L'insieme I non è vuoto perché, per esempio, 0 e 1 soddisfano questa proprietà:
 (a + b) + 0 = a + (b + 0)
infatti (a + b) + 0 = a + b e a + (b + 0)= a + b
 (a + b)+1 = a + (b+1)
infatti (a + b)+1= succ(a + b) e a + (b+1)= a + succ(b) inoltre sappiamo che
succ(a + b) = a + succ(b)
Supponiamo che ci sia un altro numero k  I, cioè tale che
(a+ b)+ k = a+(b+ k)
I successivi dei due numeri al primo e al secondo membro saranno anch'essi uguali
per l'assioma A2, cioè:
succ((a + b) + k) = succ(a + (b + k))
ma succ((a + b)+ k) = (a + b)+ succ(k)
e
succ(a + (b + k)) = a + succ(b + k)= a +(b + succ(k)) quindi
(a + b)+ succ(k) = a +(b + succ(k))
Questa uguaglianza significa che se k  I, anche succ(k)  I.
L'assioma A5 ci assicura allora che ogni numero naturale appartiene a I, cioè che la
proprietà associativa vale per ogni terna di numeri naturali.
LA DIVISIBILITÀ IN N
Sappiamo che la divisione non è un'operazione in N; tuttavia, dati due numeri
naturali a e b possiamo sempre determinare due numeri naturali q e r tali che
a = b·q + r
I numeri q e r sono rispettivamente il quoziente ed il resto della divisione di a per b.
L'UNICITÀ del quoziente e del resto sono garantite dal seguente teorema.
Teorema. Dati due numeri naturali a e b, con b  0, esistono sempre e sono unici
due numeri naturali q e r tali che
a = b·q + r con 0 r < b
Dimostrazione:
ESISTENZA: la dimostrazione di questo teorema può essere fatta per induzione su a.
Osserviamo allora che per a = 0 il teorema è vero ed è q = 0 e r = 0.
Supponiamo adesso che la proprietà sia vera per un certo numero a, cioè che sia
a = b·q + r e facciamo vedere che anche per il numero a + 1, successivo di a, esistono
quoziente e resto.
Aggiungiamo 1 ad entrambi i membri della precedente relazione: a +1 = b·q + r +1
Tenendo presente che, dovendo essere 0 r < b, allora r + 1 non può essere maggiore
di b, possono verificarsi due situazioni:
 r + 1 < b e allora q è il quoziente e r + 1 è il resto della divisione di a + 1 per b
 r + 1 = b e allora possiamo scrivere la relazione
a + 1 = b·q + r +1 = b·q + b = b ·(q +1)
e questo significa che il quoziente è q + 1 ed il resto è 0. Abbiamo quindi trovato
quoziente e resto anche per a + 1. Per il principio di induzione esistono quindi sempre
quoziente e resto della divisione di un numero a per un numero b.
UNICITÀ: supponiamo per assurdo che ce ne siano due, cioè che a = b·q1 + r1 e
a = b·q2 + r2 e che sia q1 q2 altrimenti dovrebbero essere uguali anche i resti.
Supponiamo che sia per esempio q1 > q2 e quindi q1 = q2 + h dove h è un numero
naturale non nullo. Allora a = (q2+h)·b + r1 =q2·b + h·b + r1 e a = q2·b + r2
Confrontando queste due relazioni otteniamo che
q2·b + h·b + r1 = q2·b + r2 cioè h·b + r1 = r2
questa ultima relazione non può sussistere perché da essa si deduce che r2 > b, cosa
impossibile visto che r2 è il resto della divisione di a per b.
Dunque quoziente e resto sono unici.
SISTEMI DI NUMERAZIONE
Definizione: Si chiama sistema di numerazione quel complesso di parole, di regole e
di segni grafici mediante i quali si possono rappresentare e leggere tutti i numeri.
Ogni sistema di' numerazione consta di:
1) un insieme di caratteri o simboli grafici, detti cifre;
2) un codice, ossia un complesso di regole che permettono di scrivere e leggere i
vari numeri;
3) algoritmi per l'esecuzione delle varie operazioni.
(Dicesi algoritmo una successione finita di istruzioni, seguendo le quali, sui dati assegnati,
si possono eseguire le operazioni che producono i risultati)
Definizione: Un sistema di numerazione si dice additivo se il numero si ottiene per
somma (o differenza) delle sue cifre.
ESEMPIO di un sistema di numerazione additivo: Sistema Romano
1)
2)
I caratteri sono:
I
V
X
L
C
D
uno
dieci
cinquanta
cento
cinquecento
cinque
M
mille
Il codice è formato dalle seguenti regole:
(a) una cifra scritta alla destra di un'altra di valore maggiore si addiziona a
questa.
VI  6
CX  110
CLV  155
5 +1
100 +10
100+50+5
(b) una cifra scritta alla sinistra di un'altra di valore maggiore si sottrae da
questa.
IV  4
XC  90
CXL  140
5 1
100 10
100+(5010)
(c) le cifre che possono essere ripetute una dopo l’altra (non più di tre volte)
sono: I, X, C, M. Cifre ripetute si sommano.
III  3
XXII  22
CCCL  350
1+1+1
10+10 +1+1
100+100+100+50
(d) una lineetta orizzontale posta su una cifra, o su un gruppo moltiplica il suo
valore per mille.
XCCI  90101
LMC  51100
501000+1000+100
1000(10010)+100+1
Definizione: Un sistema di numerazione si dice posizionale quando ogni cifra di un
numero, oltre al valore che le è proprio (valore assoluto), assume un altro valore
(valore relativo), in relazione al posto che essa occupa nella scrittura del numero
considerato (principio di posizione).
ESEMPIO di un sistema di numerazione posizionale: Sistema di Numerazione
Decimale
Il sistema di numerazione decimale, fino ad ora universalmente adottato, sembra sia
stato ideato dagli Indiani, perfezionato dagli Arabi e introdotto in Europa intorno al
1200. In Italia fu diffuso dal matematico pisano Leonardo Fibonacci, mediante il suo
Liber abaci.
In questo sistema la scrittura e la lettura dei numeri è molto semplice e rapida.
1)
2)
3)
I simboli adoperati sono dieci perché 10 è la base della numerazione:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
il successivo di 9 si rappresenta col simbolo 10 che è la base della numerazione
decimale e si legge dieci;
le successive potenze della base dieci si indicano facendo seguire la cifra 1 da
tanti zeri quante sono le unità dell'esponente e si denominano:
100 = 1
unità semplici o unità del 1° ordine
1
10 = 10
decine
o unità del 2° ordine
2
10 = 100
centinaia
o unità del 3° ordine
3
10 = 1000
migliaia
o unità del 4° ordine, ecc.
Quindi, nel sistema di numerazione decimale, ogni unità di un dato ordine è
uguale a dieci unità dell'ordine immediatamente inferiore.
Ad esempio: una decina è uguale a dieci unità semplici, un centinaio è uguale a
dieci decine, ecc.
SISTEMI DI NUMERAZIONE POSIZIONALI
Dato un numero naturale b, maggiore o uguale a 2, esso può costituire la base di un
sistema di numerazione posizionale.
1)
I simboli o cifre utilizzati in tale sistema di numerazione sono:
0
1
2
3 ………. (b 1)
ESEMPI:
[i] b = 2 il sistema si dice binario e le cifre utilizzate sono due
0 1
[ii] b = 8 il sistema si dice ottale e le cifre utilizzate sono otto
0 1 2 3 4 5 6 7
[iii] b = 12 il sistema si dice duo-decimale e le cifre utilizzate sono dodici
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B
2)
Qualunque sia la base del sistema di numerazione posizionale vale la seguente
regola: ogni unità di un dato ordine è uguale a b unità dell'ordine
immediatamente inferiore. I simboli delle unità dei vari ordini sono:
b0 = 1
unità del 1° ordine, o unità semplici
l
b = 10 (uno-zero)
unità del 2° ordine
2
b = 100 (uno-zero-zero)
unità del 3° ordine
3
b = 1000 (uno-zero-zero-zero)
unita del 4° ordine; e cosi via.
La struttura di un numero, scritto in un sistema posizionale a base b, viene chiarita dal
TEOREMA: Un qualunque numero naturale a si può rappresentare mediante un
polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti della base b, in cui tutti i
coefficienti siano minori di b.
Dimostrazione:
Si vuole provare che è:
a = anbn + an1bn1 + ...+ a1b + a0
con i coefficienti an, an1 ...a1, a0 tutti minori della base b ed an  0.
Dividiamo a per b
Ricordando che è:
a = q1 b + r1
con r1 < b
Se q1 < b il teorema sarebbe dimostrato.
Se q1 > b, dividiamo q1 per b e
q1 = q2 b + r2
con r2 < b
sostituendo si ottiene:
a = q2 b2 + r2 b + r1
Se q2 < b il teorema sarebbe dimostrato.
Se q2 > b, dividiamo q2 per b e
q2 = q3 b + r3
con r3 < b
sostituendo si ottiene:
a = q3 b3 + r3 b2 + r2 b + r1
Se q3 < b il teorema sarebbe dimostrato.
Se q3 > b, dividiamo q3 per b e …….. così via
Poiché è evidentemente: q1 > q2 > q3 > …si arriverà con certezza ad un quoziente
minore di b e quindi si è dimostrato che, in un sistema di numerazione posizionale a
base b, ogni numero naturale si può rappresentare in forma polinomiale, con
coefficienti minori di b.
Per semplicità, si conviene di rappresentare il polinomio ordinato con un simbolo, in
cui figurano soltanto i coefficienti delle varie potenze della base, scritti nell'ordine
a = q3r3r2r1
Le cifre rl, r2, r3, q3, ossia i coefficienti dei vari termini del polinomio ordinato,
rappresentano rispettivamente le unità del 1°, del 2°, del 3° e del 4° ordine.
Tale rappresentazione del numero è detta rappresentazione in cifre.
Ogni unità delle singole cifre è b volte maggiore di ogni unità della cifra che si trova
alla sua destra e b volte minore di ogni unità della cifra che si trova alla sua sinistra.
ESEMPIO: il numero: 4542sei (si legge: quattro-cinque-quattro-due).
Mentre ogni unità della cifra 2 (la prima a destra) è un'unità semplice, ogni unità della
cifra 4 che la precede vale 6, ogni unità della cifra 5 vale 6 2 = 36, ecc. I due 4,
presenti nel numero, hanno valore relativo assai diverso, giacché, mentre ogni unità
della seconda cifra (a partire da destra) come abbiamo detto, vale 6, ogni unità della
prima cifra a sinistra vale 63, ossia 216.
Il teorema precedente, dimostrato per una qualsiasi base b, vale, in particolare, per la
base dieci, quindi i numeri, convenzionalmente scritti nel sistema di numerazione
decimale, sono la rappresentazione in cifre di polinomi, ordinati secondo le potenze
decrescenti di dieci, in cui tutti i coefficienti sono minori di dieci.
ESEMPIO: il numero 1965 è la rappresentazione in cifre del polinomio:
1103 + 9 102 + 6 l0 + 5
Dalla rappresentazione polinomiale del numero in esame risulta evidente che è
costituito da 5 unità semplici, 6 decine, 9 centinaia, un migliaio.
TRASCRIZIONE IN UNA DETERMINATA BASE b DI UN NUMERO
SCRITTO IN BASE DIECI E VICEVERSA
Se si vuole trascrivere in una qualsiasi base b il numero a scritto in base dieci, si può
applicare il procedimento della dimostrazione del teorema precedente, eseguendo le
divisioni:
a
b
r1
q1
r2
b
q2
b
r3
q3
q3 < b
L'operazione ha termine quando si ottiene un quoziente minore della base b e si
scrive:
a = q3r3r2r1
che è la rappresentazione simbolica del numero a nella base data.
Tale rappresentazione è costituita dall'ultimo quoziente, che sarà la prima cifra a
sinistra, seguito dai vari resti che lo precedono, presi nell'ordine a partire dall'ultimo.
In particolare, per una qualsiasi base b, si ha:
b = 1 b1 + 0  b0 = 10
b2 = 1  b2 + 0  b1 + 0  b0 = 100
b3 = 1  b3 + 0  b2 + 0  b1 + 0  b0 = 1000
e resta cosi confermato che, qualunque sia la base della numerazione, ogni potenza
della base si rappresenta con l'unità, seguita da tanti zeri quante sono le unità dell'
esponente.
Viceversa se si vuole trascrivere in base dieci un qualsiasi numero a scritto in base
b, tenendo presente che il numero dato è la rappresentazione simbolica del polinomio
a = anbn + an1bn1 + ...+ a1b + a0
basterà fare il calcolo.
ESEMPIO:
3421cinque = 353 + 452 + 251 + 150 = 3125 + 425 + 25 + 1 = 375 + 100 + l0 + 1 =
486
Si converte dunque un numero da una qualsiasi base b alla base dieci tenendo
presente che ogni unità di un dato ordine è uguale a b unità dell'ordine
immediatamente inferiore.
LABORATORIO
QUESTIONE n° 1
Facendo ricorso alla definizione di addizione, moltiplicazione e agli assiomi di Peano
dimostrare il seguente teorema:
Teorema (proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione).
a,b,c  N  (a + b) ·c = a· c + b· c
QUESTIONE n° 2
Definizione 1: Si chiama lunghezza della rappresentazione in cifre, in una qualunque
base b, di un numero naturale N il numero delle cifre di cui si compone.
Definizione 2: Dati a e b numeri reali positivi (a1) si chiama logaritmo in base a di
b, l’esponente x da dare ad a per ottenere b:
loga(b) = x  ax = b
Dato il numero naturale
N = 172310
1. Determina la lunghezza del numero naturale N quando:
[a] è scritto in base 10
[b] è scritto in base 2
[c] è scritto in base 8
2. Quali conclusioni puoi trarre confrontando i risultati ottenuti?
3. Aiutandoti con la scrittura polinomiale del numero N nelle diverse basi, prova ad
esprimere la lunghezza di N in funzione della base
4. Qual è la relazione fra la lunghezza di N in base 2 e quella in base 10?
QUESTIONE n° 3
1. Scrivi in forma polinomiale i seguenti numeri rappresentati in base 10:
375
554
8312
6781
9475
7300
1573
2. Esegui, in forma polinomiale, le operazioni sotto indicate:
375 + 554 =
8312 + 6781 + 9475 =
7300 1573 =
(scrivi accanto ad ogni passaggio la proprietà usata).
3. A partire dal risultato, ottenuto in forma polinomiale, scrivi la sua
rappresentazione in cifre. Fai le tue osservazioni.