Esercizi sulle scelte di portafoglio

1. Si considerino due attività finanziarie (con coefficiente di correlazione fra i rischi pari
a
1
( = 1)) le cui caratteristiche in termini di rischio e rendimento sono riportate nella
seguente tabella:
Rendimento
Rischio
A1
0,1
0,5
A2
0,12
1,5
a. Ricavate analiticamente e disegnate la frontiera efficiente (sentiero rendimento
rischio).
Supponete ora che nel mercato vi siano tre investitori le cui preferenze fra il rischio e il
rendimento siano espresse dalle seguenti funzioni di utilità:
2
UA = E(R) - 0,0125 R
UB = E(R) – 0,01 R
Ognuno dei quali possiede la seguente ricchezza:
WA = 1.000
WB = 500
WC = 300
UC = E(R) +  R.
b. Determinate la composizione ottimale e il rendimento del portafoglio dei tre
investitori e rappresentate graficamente i risultati ottenuti.
c. Calcolate le domande di mercato per ciascun titolo.
2. Si considerino due attività finanziarie (con coefficiente di correlazione fra i rischi pari
a
-1
( = -1)) le cui caratteristiche in termini di rischio e rendimento sono riportate nella
seguente tabella:
Rendimento
Rischio
A1
0,05
0,1
A2
0,14
0,3
a. Ricavate analiticamente e disegnate la frontiera efficiente (sentiero rendimento
rischio).
Supponete ora che nel mercato vi sia un investitore le cui preferenze fra il rischio e il
rendimento sono espresse dalle seguente funzione di utilità:
2
UA = E(R) – 0,5 R
b. Determinate la composizione di portafoglio che minimizza il rischio.
c. Determinate la composizione ottimale e il rendimento del portafoglio di questo
investitore e rappresentate graficamente i risultati ottenuti.
3. Si considerino due attività finanziarie (con coefficiente di correlazione fra i rischi pari
a 1 ( = 1)) le cui caratteristiche in termini di rischio e rendimento sono riportate nella
seguente tabella:
Rendimento
Rischio
A1
0,06
0,1
A2
0,10
0,2
a. Ricavate analiticamente e disegnate la frontiera efficiente (sentiero rendimento
rischio).
Supponete ora che nel mercato vi siano tre investitori le cui preferenze fra il rischio e il
rendimento siano espresse dalle seguenti funzioni di utilità:
2
UA = E(R) – 1,6 R
UB = E(R) –  R
UC = E(R) +  R.
Ognuno dei quali possiede la seguente ricchezza:
WA = 1.000
WB = 500
WC = 600
b. Determinate la composizione ottimale e il rendimento del portafoglio dei tre
investitori e rappresentate graficamente i risultati ottenuti.
c. Calcolate le domande di mercato per ciascun titolo.
4. Si considerino due attività finanziarie (con coefficiente di correlazione fra i rischi pari
a
-1
( = -1)) le cui caratteristiche in termini di rischio e rendimento sono riportate nella
seguente tabella:
Rendimento
Rischio
A1
0,05
2
A2
0,12
3
a. Ricavate analiticamente e disegnate la frontiera efficiente (sentiero rendimento
rischio).
Supponete ora che nel mercato vi sia un investitore le cui preferenze fra il rischio e il
rendimento sono espresse dalle seguente funzione di utilità:
2
UA = E(R) – 0,02
R
b. Determinate la composizione di portafoglio che minimizza il rischio.
c. Determinate la composizione ottimale e il rendimento del portafoglio di questo
investitore e rappresentate graficamente i risultati ottenuti.
5. Si considerino due attività finanziarie (con coefficiente di correlazione fra i rischi pari a 1
( = 1)) le cui caratteristiche in termini di rischio e rendimento sono riportate nella seguente
tabella:
Rendimento
Rischio
A1
0,05
0,5
A2
0,10
2,5
a. Ricavate analiticamente e disegnate la frontiera efficiente (sentiero rendimento rischio).
Supponete ora che nel mercato vi siano tre investitori le cui preferenze fra il rischio e il
rendimento siano espresse dalle seguenti funzioni di utilità:
2
UA = E(R) - 0,0125 R
UB = E(R) – 0,01 R
UC = E(R) +  R.
b. Determinate la composizione ottimale e il rendimento del portafoglio dei tre investitori e
rappresentate graficamente i risultati ottenuti.
6. Si considerino due attività finanziarie (con coefficiente di correlazione fra i rischi pari a -1
( = -1)) le cui caratteristiche in termini di rischio e rendimento sono riportate nella seguente
tabella:
Rendimento
Rischio
A1
0,05
1
A2
0,20
2
a. Ricavate analiticamente e disegnate la frontiera efficiente (sentiero rendimento rischio).
Supponete ora che nel mercato vi sia un investitore le cui preferenze fra il rischio e il
rendimento sono espresse dalle seguente funzione di utilità:
2
U = E(R) – 0,02 R
b. Determinate la composizione di portafoglio che minimizza il rischio.
c. Determinate la composizione ottimale e il rendimento del portafoglio di questo investitore e
rappresentate graficamente i risultati ottenuti.
7. Si consideri un investitore che deve allocare un portafoglio unitario in due attività
finanziarie le cui caratteristiche in termini di rischio e rendimento sono riportate nella
seguente tabella:
A1
A2
Rendimento
0,06
0,10
Rischio
1,5
2,5
Il coefficiente di correlazione fra i rischi delle due attività è pari ad 1 ( = 1).
a. Ricavate analiticamente e disegnate la frontiera efficiente dell'investitore (sentiero
rendimento rischio).
Supponete che le preferenze dell'investitore siano espresse dalla seguente funzione di
utilità:
U = E(R) - 0,012R
b. Rappresentate graficamente le curve di indifferenza di questo investitore e
determinare il suo portafoglio ottimale.
8. Per determinare la composizione del proprio portafoglio, un investitore può optare fra
un'attività non rischiosa e priva di rendimento, quale la moneta ed una attività rischiosa e
remunerativa. Lo scarto quadratico medio associato a quest'ultima è pari a 0,5 ed il tasso di
interesse pari a 0,15.
a. Ricavare l'allocazione ottimale del portafoglio nel caso in cui la funzione di utilità
dell'individuo sia del tipo:
U = E(R) - 1/22R
b. Le autorità di politica economica adottano un pacchetto di provvedimenti da influenzare tanto
il rendimento (r) quanto il rischio(g). Vengono infatti introdotte un'imposta sugli interessi tale
da ridurre il rendimento netto del 10% ed una norma fiscale a favore della detraibilità delle
perdite in conto capitale tale da consentire una riduzione del rischio del 25%. Determinare in
che misura tali manovre provocano una riallocazione del portafoglio.
c. Modificare infine la funzione di utilità dell'individuo, rendendolo un tuffatore, ed illustrare
graficamente l'allocazione di portafoglio che si otterrebbe con i dati del punto a.
9. Si consideri la seguente funzione di utilità che descrive le preferenze tra rischio e
rendimento di un singolo operatore:
U = E(R) - 0,41/2R
e due titoli aventi le seguenti caratteristiche di rischio e rendimento:
x1:
r1 = 0,03
1 = 0,01
x2:
r2 = 0,1
2 = 0,08
con  = 1
a. calcolare la composizione di portafoglio che massimizza l’utilità dell’operatore.
b. ipotizzando che il titolo 1 sia il circolante e la funzione di utilità non si modifichi,
calcolare la composizione di portafoglio che massimizza l’utilità.
10. Si considerino due attività finanziarie le cui caratteristiche in termini di rischio e
rendimento sono riportate nella seguente tabella:
Rendimento
Rischio
A1
0,05
1
A2
0,10
3
Il coefficiente di correlazione fra i rischi delle due attività è pari ad 1 ( = -1).
a. Ricavate analiticamente e disegnate la frontiera efficiente (sentiero rendimento
rischio).
b. Supponete ora che vi siano due investitori il primo un tuffatore e il secondo un
amante del rischio. Derivate per questi due investitori le loro funzioni di utilità
(mettendo numeri a piacere). Derivate quindi la composizione ottimale del portafoglio
di ciascun individuo e rappresentate graficamente le scelte ottimali compatibili con la
funzione di utilità scelta.