Indici di capacità di processo in presenza di situazioni
che si allontanano dalla legge normale
Process Capability Indices for Situations that Differ from the Normal Law
Paola M. Chiodini
Dip. di Scienze Economiche e Sociali, Università Cattolica del Sacro Cuore - sede di Piacenza
e-mail: [email protected]
Umberto Magagnoli
Istituto di Statistica, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano
e-mail: [email protected]
Abstract: The aim of this paper is to evaluate process capability indices when the process
variables are non normal distributed. A study is made for the Cs index, given by Wright,
where new parameter is introduced in order to obtain a more sensible index and to try to
relate the index to the fraction of non conform items.
Parole chiave: Process Capability Indices, Skewed distributions, Weibull distribution,
Gamma distribution.
1. Introduzione
Negli ultimi anni si è andata sviluppando nei consumatori una sempre maggiore attenzione
alla percezione della qualità. Questo fatto ha indotto i produttori di beni e i fornitori di servizi
ad adottare strumenti di controllo della qualità sempre più sofisticati. Risalgono, infatti, agli
Anni’80 i primi studi riguardanti gli indici di capacità di processo; tali indici nella loro
formulazione iniziale forniscono semplicemente un’informazione di quanto il processo sia
“capace”, cioè di quanto sia in grado di produrre elementi che rispettino le specifiche e i
valori di riferimento richiesti.
La più semplice proposta di indice è la seguente (v. Kotz e Lovelace, (1998), pp. 34-47):
Cp
USL LSL d
,
6
3
(1)
dove USL (Upper Specification Limit) ed LSL (Lower Specification Limit) rappresentano i
cosiddetti “limiti di specificazione”, d=(USL-LSL)/2, mentre 2 è la varianza della
caratteristica X oggetto di studio. Tale indice può interpretarsi come rapporto tra l’ampiezza
dell’intervallo di specificazione e un intervallo a cui è associata, per la variabile X, un’elevata
probabilità (pari a 99,73%, se si distribuisce normalmente con media pari a
M=(USL+LSL)/2, valore centrale dell’intervallo di specificazione).
L’indice Cp si è dimostrato essere insoddisfacente in quanto, tra l’altro, si basa sulla
assunzione di distribuzione normale per la caratteristica X e nulla viene richiesto per quanto
riguarda la locazione in termini di media. Altre critiche sono seguite quando si è tentato di
applicare a questa metodologia le idee proprie della valutazione della qualità di un processo
produttivo secondo le tecniche di Taguchi che comportano l’introduzione di un valore di
riferimento T (target) e della perdita media R (risk), che fornisce una misura di non
rispondenza delle unità prodotte al valore di target T. L’espressione per R più frequentemente
2
2
impiegata è la seguente: R 2 E X T 2 T che risulta essere una
funzione quadratica non solo dei parametri e 2 di X ma anche del valore di target T. Tra
gli indici che sono stati proposti in letteratura (v. Kotz e Lovelace, (1998)) che tengono conto
dell’entità del rischio abbiamo
C pm
USL LSL
6 2 ( T ) 2
min (USL ; LSL ) d M
d
; C pmk
.(2)
3
3
3 2 ( T ) 2
Nella molteplicità di indici che vengono proposti in letteratura si osserva la costante
caratteristica che la legge di distribuzione di X debba essere normale, lasciando aperto il
problema della valutazione della “robustezza” degli indici di fronte a distribuzioni non
normali (v. Chiodini e Magagnoli, (1999), nel caso di distribuzioni simmetriche
platicurtiche) e non simmetriche quali ad esempio la Weibull e la Gamma che
frequentemente si trovano associate ai problemi di valutazione della qualità, in particolare
legate all’affidabilità e alla disponibilità di sistemi.
Al problema della non simmetria una risposta è data da Wright (1995) con l’indice
denominato Cs, la cui espressione può pensarsi un’estensione dell’indice Cpmk della (2):
Cs
min (USL ; LSL)
3 ( T ) 3 /
2
2
d M
3 1 ( T ) / 1
2
,
(3)
dove 3 1 3 / 2 è il momento centrale terzo della caratteristica X. Questo indice Cs risulta
particolarmente adatto allo studio di tutte le situazioni dove la legge di distribuzione risulta
essere asimmetrica in quanto include il parametro 1 che misura il grado di asimmetria di X.
La critica fondamentale che si può muovere all’indice Cs consta nel fatto che non esistono
relazioni funzionali tra l’indice e la frazione di elementi non conformi , come si verifica
invece per gli altri indici, problema che è argomento di questo lavoro.
2. L’indice Cs(h)
Si è ritenuto interessante studiare l’andamento dell’indice Cs al variare della frazione di
elementi non conformi e per facilitare una tale analisi si è proposta una formulazione più
generale dell’indice indicato in (3), come è presentata da Chen e Kotz (1996), ovvero:
C s ( h)
min (USL ; LSL)
3 2 ( T ) 2 h 3 /
d M
3 1 ( T ) / h 1
2
,
(4)
dove h è un parametro definito positivo che enfatizzando la componente dell’indice Cs legata
all’indice di asimmetria 1 consente di ricercare un andamento tra l’indice C s (h) e
similare a quello che si ha nel caso di distribuzione normale per la variabile X.
Quali distribuzione asimmetriche per la variabile X si sono considerate rispettivamente
quella di Weibull(1) e la legge Gamma(2), entrambe a due parametri. È stato condotto uno
studio preliminare per confrontare l’impiego di tali modelli, assumendo che le due
distribuzioni presentino uguale media e varianza.
Nelle Tabelle 1 e 2, rispettivamente per il modello distributivo di Weibull e della legge
Gamma, sono dati i valori dell’indice C s (h) e di al variare di ; l’intervallo di
specificazione (LSL, USL) ed il valore di target T sono mantenuti costanti e corrispondenti a
quelli del caso 0 =1, 0 =0,428 (riportati in grassetto). In Tabella 1 si è assunto un valore
costante per =2,5, corrispondente a 1 =0,3586. Nella Tabella 2, ad corrisponde 5,461
e 1 =0,8558, valori assunti costanti. Le Tabelle 1 e 2 riportano anche i valori della frazione
~
di elementi non conformi N , in caso di distribuzione normale per la X, e l’indice C s che è
ottenuto sulla base di una opportuna interpolazione lineare a tratti del legame tra C s (h 0) e
N , letto in corrispondenza del valore di , proprio della distribuzione asimmetrica
considerata.
~
Dal confronto tra gli andamenti di C s (h) e di C s , mediante un opportuno criterio di
accostamento, può scegliersi il valore di h. Dall’analisi dei dati riportati nelle Tabelle si
ottiene che i valori di h preferibili sono rispettivamente h=0,5 per la distribuzione di Weibull
e h=1 per la distribuzione Gamma. Una casistica più generale, che richiede comunque
ulteriori completamenti, ha evidenziato, al fine di rendere più simile il valore dell’indice
C s (h) nel caso di distribuzioni asimmetriche (Weibull e Gamma) al caso di variabile
normale, valori opportuni per h compresi sempre tra 0 ed 1.
Tabella 1: Valori dell’indice C (h) e di (=1,00; =0,428; 1=0,3586)
s
d=1,284; M=T=1,00
USL=2,284; LSL=0,284
1
2
3
4
5
6
7
8
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
0,428
0,449
0,471
0,492
0,513
0,535
0,556
0,578
1,127
1,183
1,240
1,296
1,352
1,409
1,465
1,522
Weibull
C s (h)
h=0
h=0,5
1,000
0,910
0,820
0,735
0,656
0,584
0,519
0,461
(1)
Con funzione di densità: f X ( x; , )
(2)
Con funzione di densità: f X ( x; , )
0,921
0,838
0,758
0,681
0,610
0,545
0,486
0,433
x
1
h=1
h=1,5
0,858
0,782
0,708
0,637
0,572
0,513
0,459
0,410
exp x
1 x
( )
1
exp
x
0,806
0,735
0,666
0,601
0,541
0,486
0,436
0,390
Normale
~
N
Cs
0,0029
0,0057
0,0100
0,0162
0,0246
0,0352
0,0482
0,0633
, 0; x 0
, 0; x 0
0,914
0,827
0,744
0,667
0,597
0,535
0,479
0,427
0,0013
0,0030
0,0060
0,0106
0,0174
0,0266
0,0385
0,0530
Tabella 2: Valori dell’indice C s ( h) e di (=5,46;=1,00; =0,428; 1=0,8558)
d=1,284; M=T=1,00
USL=2,284; LSL=0,284
1
2
3
4
5
6
7
8
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
0,428
0,449
0,471
0,492
0,513
0,535
0,556
0,578
0,183
0,192
0,201
0,211
0,220
0,229
0,238
0,247
Gamma
C s (h)
h=0
1,000
0,910
0,820
0,735
0,656
0,584
0,519
0,461
h=0,5
0,837
0,763
0,691
0,623
0,560
0,502
0,450
0,402
h=1
0,734
0,670
0,608
0,550
0,497
0,447
0,402
0,361
h=1,5
0,662
0,604
0,549
0,498
0,451
0,407
0,367
0,331
Normale
~
N
Cs
0,0089
0,0133
0,0189
0,0260
0,0345
0,0445
0,0560
0,0691
0,761
0,699
0,642
0,588
0,539
0,493
0,450
0,410
0,0013
0,0030
0,0060
0,0106
0,0174
0,0266
0,0385
0,0530
3. Conclusioni
In questo lavoro ci si è limitati a presentare solo il modello adatto alla definizione di un
indice di capacità di processo sensibile all’asimmetria della distribuzione della caratteristica
del processo, mentre ci si propone di approfondire in seguito anche gli aspetti inferenziali
che sono legati ad aspetti campionari, in particolare la stima puntuale ed intervallare
dell’indice proposto, le proprietà distributive e asintotiche dei corrispondenti stimatori.
Si ritiene opportuno completare l’analisi, in relazione alla forma ed ai valori dei parametri
delle distribuzioni di specifico interesse operativo, al fine di determinare il campo degli
opportuni valori da assegnare al parametro h presente nell’indice C s (h) . Le indicazioni
finora emerse porterebbe a suggerire per h il valore 0,5, che corrisponde ad una posizione
intermedia tra l’indice Cpmk della (2) e l’indice Cs di Wright della (3).
Riferimenti bibliografici
Chen H., Kotz S. (1996) An asymptotic distribution of Wright’s process capability index
sensitive to skewness, Journal of Statistical Computation & Simulation, 55, 147-158.
Chiodini P.M., Magagnoli U. (1999) Indici di capacità di processo. Modelli e procedure
inferenziali: una rassegna e qualche comparazione, in Valutazione della qualità e
customer satisfaction: il ruolo della statistica, Università Cattolica del Sacro Cuore,
Milano, Parte II, 113-131.
Kane V.E. (1986) Process Capability Indices, Journal of Quality Technology, 18, 41-52.
Kotz S., Lovelace C.R. (1998), Process Capability Indices in Theory and Practice, Arnold,
London.
Pearn W.L., Chang C.S. (1997) The Performance of Process Capability Index Cs on Skewed
distributions, Communications in Statistics – Simulation and Computation, 26, 13611377.
Pearn W.L., Kotz S., Johnson N.L. (1992) Distributional and Inferential Properties of
Process Capability Indices, Journal of Quality Technology, 24, 216-231.
Wright P.A. (1995) A Process Capability Index sensitive to skewness, Journal of Statistical
Computation & Simulation, 52, 195-203.
