METODI COMPUTAZIONALI DELLA FISICA

Parte A
Richiami di analisi degli errori
1) Supponiamo di avere misurato sperimentalmente una qualche grandezza x molte volte, dopo
aver individuato e ridotto a zero il più possibile le fonti di errore “sistematico” (ovvero le
incertezze sperimentali che non possono essere rivelate ripetendo la misura; quelle che
possono essere rivelate in questo modo sono invece chiamate incertezze sperimentali
“casuali”). Ripetendo la misura N volte, si può dimostrare che la miglior stima di x è la media
delle misure:
1 N
xbest  x   xi .
N i 1
La deviazione standard è la stima dell’incertezza media delle singole misure x1 ... x N , ed è
definita come:
1 N
x 
( xi  x ) 2 .

N  1 i 1
La deviazione standard della media caratterizza, invece, l’incertezza media di x , e si calcola
nel seguente modo:

x  x .
N
2) Supponiamo di disporre di n misure di una grandezza x, denominate xi (i = 1,…,n), ognuna
caratterizzata da una incertezza i (i = 1,…,n). La miglior stima per la grandezza x è data
dalla media pesata:
n
w x
i
x wav 
i
i1
n
w
,
i
i1
dove wi 1/ i .
L’incertezza che affligge la misura è data da:
1
 wav 
.
2


n
w
i
i1

3) Se le misure sono affette da piccole sorgenti di errori casuali e trascurabili errori sistematici,
allora i valori misurati saranno distribuiti su una curva a campana detta “funzione di Gauss”
(centrata in X, con larghezza  ):
2
2
1
f X , 
e ( x  X ) / 2 .
 2
1

4) Per verificare che i valori ricavati xbest e  x siano valori ragionevoli rispetto al valore
conosciuto della grandezza x vero si può calcolarne il livello di confidenza. Definiamo
innanzitutto il numero di deviazioni standard per cui xbest differisce da x vero :
t  x best  x vero / x .

La probabilità, date le ipotesi fatte, di ottenere un risultato che differisca da x vero per t o più
deviazioni standard è:
P(al di fuori di t  ) = 1 - P(entro t  ).
Dove (vedere Allegati pag. I, C300):
t
2
1
 t 
P(entro t  )=
e  z / 2 dz  erf 
.

2 t
 2
A questo punto P(al di fuori di t  ) prende il nome di livello di confidenza (CL).
5) Una stima dell’accordo tra un insieme n di punti sperimentali yi e una funzione f ( xi ) si
può ottenere misurando  2 , definito come:
( y k  f ( x k )) 2
.
 2 ( yk )
k 1
Se si confronta una distribuzione di eventi con una distribuzione di probabilità non
normalizzata, ad esempio una gaussiana, la formula del  2 diventa:
n
2  
(Ok  E k ) 2
,
Ek
k 1
dove è stato diviso l’intervallo dei possibili valori di x in n intervalli, per cui Ok rappresenta
il numero di osservazioni che cadono nell’intervallo k-esimo e Ek il numero atteso delle
n
2  
misure dell’intervallo k-esimo.  2 è un indicatore ragionevole dell’accordo tra la
distribuzione osservata e quella attesa. Se  2 = 0 l’accordo è perfetto, cosa molto
improbabile. In generale ci si aspetta che ogni termine della somma sia dell’ordine di 1. Il
chi quadrato ridotto si definisce, invece, nel modo seguente:
~ 2   2 / N DF ,
essendo N DF il numero di gradi di libertà, e N DF  N  N PAR  N V dove N è il numero di
intervalli significativi e N PAR è il numero di parametri, N V il numero di vincoli.
6) Supponiamo ora di aver misurato una o più grandezze x, y,… e calcolato gli errori
corrispondenti  x ,  y , …, e di dover calcolare la funzione z = f(x,y,…). La miglior stima del
valore della funzione sarà:
z best  z  f ( x , y,...) .
Per stimare l’incertezza di questo risultato si applica la propagazione degli errori delle
misure x, y, quindi:
2

f f
 f
  f
 z    x     y   ...  2 xy
.
x y
 x   y 
In particolare, nel caso in cui z  kxa y b e se gli errori su x ed y sono indipendenti e
casuali, il calcolo della deviazione standard si riduce a:
2
2
    y
  a x    b
z
 x   y
z
2
2

 .

7) Supponiamo di avere una serie di misure ( xi , yi ) i=1...N con gli xi tutti esatti e gli yi tutti
ugualmente incerti, quindi assumiamo che le misure degli yi siano governate da
distribuzioni normali con larghezza  0 . Se le variabili x e y sono legate da una relazione
lineare della forma (con A e B come incognite):
y  A Bx ,

si può trovare la retta che meglio approssima la serie di misure, minimizzando la funzione:
N
(y  A  Bx i ) 2
2
  i
.
 02
i1
Differenziando rispetto ad A e B ed uguagliando a zero si ottiene:
N

N
N
N
x  y x x y
A
B
2
i
i 1
i 1
i
i 1
i
i
i 1
i
,

N
N
i 1
i 1
N  xi y i   xi
N
y
i 1
i
,

dove:
 N 2
  N  x i   x i  .
i1 
i1
N
2
Le

incertezze
B y
sui
parametri
calcolati
sono
le
seguenti:
A y
x

2
e
N
.

Essendo:  y 
1
N DF

N
i 1
( yi  A  Bx i ) 2 , con N DF  N  N PAR il numero di gradi di
libertà (in questo caso N PAR  2 ).
La covarianza   A, B e la relativa correlazione   A, B  
calcolabili come:
  y2  xi
,
  A, B  

  xi
.
 ( A, B) 
N  xi2
3
  A, B 
sono facilmente
  A B 
8) Supponiamo ora, invece, che per ogni xi il corrispondente valor vero di yi è dato dalla
polinomiale della variabile x (con A e C come incognite):
y  A  C  x2 .
Assumendo ancora che le misure degli yi siano governate da distribuzioni normali con
larghezza  0 , si può trovare la miglior stima delle costanti A e C minimizzando la funzione:
N
(y  A  Cx i 2 ) 2
2   i
.
 02
i1
Differenziando rispetto ad A e C ed uguagliando a zero si ottiene:

y x 4   x 2 y  x 2

,
A
p
 

C
N  x 2 y    y  x 2
p

,

 p  N x4   x2 .
Da qui si ricavano le migliori stime per A e C.
Attraverso la propagazione degli errori si possono ricavare le rispettive deviazioni standard:
A y
x
2
4
e
p
C  y
N
,
p
essendo:
y 
1
N DF

N
i 1
( yi  A  Cxi ) 2
2
( N DF  N  N PAR  N  2 ).
L’equazione y  A  C  x 2 viene così denominata adattamento polinomiale dei minimi
quadrati, o regressione lineare delle misure date. Analogamente al caso della retta, la
  A, B 
covarianza   A, B e la relativa correlazione   A, B  
sono facilmente
  A B 
calcolabili come:
  y2  xi2
,
  A, B  

  x 2i
 ( A, B ) 
.
N  xi4
4