Numeri

Per non dimenticare…
… continuiamo il ripasso di Matematica
(2° parte)
Scuola secondaria di primo grado S.Giuseppe dell’Apparizione
2007/2008
Per non dimenticare…
ALGEBRA
PRODOTTI NOTEVOLI
1. CUBO DI UN BINOMIO

a  b2  a 2  b 2  2ab
Anche per il cubo troviamo la regola come abbiamo fatto per il quadrato del binomio: infatti basta
che applichiamo l'operazione sul binomio piu' semplice possibile e poi leggiamo il risultato:
a  b3  (a  b)(a  b)(a  b)
ora so che a  b 2  a 2  b 2  2ab quindi dovrò fare
a  b(a 2  b 2  2ab)  a 3  a 2b  2a 2b  2ab 2  ab 2  b3  a 3  3a 2b  3ab 2  b3
Quindi leggendo il primo e l'ultimo passaggio abbiamo la regola:
a  b3  a 3  3a 2b  3ab 2  b3
cioè
Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo monomio piu'il triplo del prodotto del quadrato del
primo per il secondo, piu' il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo,piu' il cubo
del secondo
RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE TOTALE
È l'operazione contraria della moltiplicazione di un monomio per un polinomio:
cioè se ad esempio eseguiamo la seguente moltiplicazione
3a(2a+5) otteniamo 6a2+15a
Il problema è ora come tornare indietro: cioè come da 6a2+15a si può passare a 3a (2a+5).
In pratica dobbiamo trovare il monomio che è contenuto in tutti i termini del polinomio e
questo si chiama MASSIMO COMUN DIVISORE
Quindi dovrò procedere nel modo seguente:
Considero il polinomio 6a2+15a
Devo trovare cosa hanno in comune 6a2 e 15a cioè il loro M.C.D
Tra 6 e 15 il M.C.D. vale 3
Tra a2 e a il M.C.D. vale a
Quindi il M.C.D. vale 3a
allora scrivo 6a2+15a = 3a (
poi considero il primo termine:
6a2 quante volte contiene 3a cioè quanto fa 6a2 diviso 3a
il risultato è 2a
allora scrivo
6a2+15a = 3a (2a+
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considero ora il secondo termine
15a diviso 3a dà come risultato 5
quindi scriverò
6a2 + 15a = 3a (2a+5)
Per finire verifico che eseguendo la moltiplicazione ritrovo il polinomio di partenza.
PIANO CARTESIANO e PROPORZIONALITA’
Definizione: la proporzione è una uguaglianza di rapporti tra grandezze, a due a due omogenee, o fra
misure di grandezze.
Grandezze proporzionali.
Quattro grandezze A, B, C, D nell'ordine, si dicono proporzionali se A e B sono fra loro omogenee e se lo
sono anche C e D, e se A : B = C : D, cioè se il rapporto fra le grandezze A e B è uguale al rapporto fra C
e D.
La proporzionalità fra quattro grandezze implica la proporzionalità fra le loro misure.
Unicità del quarto proporzionale
Se A : B = C : D e se A : B = C : D'
allora D = D'
Proporzionalità diretta
Due classi di grandezze X e Y si dicono fra loro direttamente proporzionali se esiste una costante k, non
nulla, tale che, per ogni x e y appartenenti a X e Y, y = k x. Il grafico che lega queste due grandezze è
una RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE.
Proporzionalità inversa
Due classi di grandezze X e Y si dicono fra loro inversamente proporzionali se esiste una costante k, non
nulla, tale che, per ogni x e y appartenenti a X e Y, x y = k. Il grafico che lega queste due grandezze è il
ramo di IPERBOLE del primo quadrante del piano cartesiano.
EQUAZIONE DELLA RETTA
RETTA PARALLELA ALL’ASSE X
Y=K (K= NUMERO COSTANTE QUALSIASI)
RETTA PARALLELA ALL’ASSE Y
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X=K (K= NUMERO COSTANTE QUALSIASI)
PROBABILITA’
Se tutti i casi possibili sono ugualmente possibili, la probabilità di un evento E, che indichiamo con p(E),
è uguale al rapporto fra il numero f dei casi favorevoli e il numero n dei casi possibili. In formula:
p( E ) 
f
.
n
Esempio
Si lancia due volte una moneta. Qual è la probabilità che escano due teste?
I casi possibili sono quattro:
• in entrambi i lanci esce testa: TT
• esce testa al primo lancio e croce al secondo: TC
• esce croce al primo lancio e testa al secondo: CT
• in entrambi i lanci esce croce: CC
e sono tutti ugualmente possibili, non vi è motivo per ritenere che uno di essi possa verificarsi
più di un altro. La probabilità che escano due teste è quindi
1
.
4
E ora prepariamo la prova scritta per l’esame…
Svolgi i seguenti esercizi e ripassa quelli delle simulazioni già svolte:
1. Le percentuali qui indicate rappresentano i principi nutritivi indispensabili ad ogni individuo: acqua
64% protidi 20% lipidi 10% sali minerali 5% glucidi 1%
2. Nella tabella sottostante sono riportati i diversi valori del peso specifico di un corpo.
Sapendo che al peso specifico di 1,2 Kg/dm3 corrisponde un volume di 3 dm3 completa la tabella.
x
y
Peso specifico
in Kg/dm3
Volume in
dm3
1,2
0,9
2
1,8
0,4
3
Dopo aver rappresentato i dati nel piano cartesiano rispondi alle seguenti domande:
a) Che tipo di funzione hai rappresentato?_______________________________
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b) Quando il corpo ha ps 1 Kg/ dm3 qual è il suo volume? ___________________________
c) Scrivi la funzione del grafico ottenuto? ___________________________
3. L’AUDITEL ha reso noto i dati relativi all’ascolto delle reti televisive:
Calcola la percentuale degli ascoltatori
RETI
N° ASCOLTATORI
RAI 1
RAI 2
RAI 3
CANLE 5
ITALIA 1
RETE 4
ALTRE TV
2.424
1.469
944
1.949
1.083
792
864
TOTALE
8
% DEGLI ASCOLTATORI
100
4. Un parallelepipedo a base quadrata ha lo spigolo di base di 30 cm,
l’altezza di 45 cm e presenta una cavità conica con la base inscritta in una
base del parallelepipedo. Sapendo che il volume del solido è 35.790 cm3,
determina l’altezza del cono e l’area totale del solido.
5. In un trapezio isoscele l’altezza misura 24 cm; la base minore e la maggiore
sono rispettivamente i 7/12 e i 25/12 dell’altezza. Determina:
i.
ii.
iii.
del trapezio attorno alla base minore;
iv.
6. Un solido è composto da due piramidi rette aventi la base in comune; questa è
un rombo che ha il perimetro di 180 cm e una diagonale lunga 72 cm. Sapendo che
gli apotemi delle due piramidi misurano ambedue 36 cm calcola il volume del
solido.
7. Un prisma retto avente per base un triangolo isoscele ha l’altezza di 15 cm, il
perimetro di base è di 32 cm e la base del triangolo isoscele di base è 6/5 del lato.
Calcola l’area totale del prisma retto dato.
8. Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo in cui la somma delle
lunghezze dei cateti misura 98 cm e il loro rapporto è 3/4. Sapendo che il volume è
di 17640 cm3, calcola l'area della superficie totale del prisma.
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9. In un rettangolo una dimensione misura 20 cm ed è i 5/4 dell’altra.
Questo rettangolo viene fatto ruotare attorno ad un asse passante per una
delle dimensioni maggiori. Determina l’area totale, il volume
10. Un parallelepipedo a base quadrata ha lo spigolo di base di 30 cm,
l’altezza di 45 cm e presenta una cavità conica con la base inscritta in una
base del parallelepipedo. Sapendo che il volume del solido è 35.790 cm3,
determina l’altezza del cono e l’area totale del solido.
11. Un trapezio rettangolo è circoscritto ad una circonferenza di raggio 6 cm.
Sapendo che il lato obliquo del trapezio rettangolo misura 18 cm, calcolatene il
perimetro e l’area.
12. Un quadrilatero ha tre dei suoi lati che misurano rispettivamente 50 cm, 44 cm
e 30 cm. Quanto deve misurare il quarto lato perché il poligono sia circoscrivibile ad
una circonferenza?
13. Silvia, pediatra amica di Giulia, deve calcolare la percentuale di neutrofili, un particolare tipo di
globuli bianchi, sapendo che nell’emocromo di un paziente questi sono 2100 per mm3 e che il totale
dei leucociti è di 4700 per mm3. Se la percentuale dei neutrofili è, nella norma, un valore compreso
tra il 60 e il 70%, trova se il valore in questione rientra o meno in questo ambito.
14. Nello scorso anno scolastico il prezzo di un pasto alla mensa scolastica era pari a 2,84 euro.
Quest'anno è aumentato del 25%. Quanto costa un buono da 10 pasti?
15. Secondo IDC nel 2007 saranno spedite in media 97 miliardi di e-mail al giorno di cui 40
miliardi di pubblicità spazzatura (spam). Quale percentuale rappresenta lo spam di tutte le e-mail
inviate? Se i 6,7 miliardi di abitanti della terra avessero tutti un PC quante e-mail riceverebbero a
testa in media? Sapendo però che è stato venduto ad aprile 2007 il miliardesimo computer (dati di
Gartner Dataquest) quante sono le e-mail ricevute per PC in media?
16. Un corpo subisce uno spostamento di 200 m. Supponendo che la forza applicata
sia prima di 10 kg peso, poi di 20 kg peso, di 30 kg peso e infine di40 kg peso,
calcola la misura del lavoro svolto nei diversi casi costruendo una opportuna tabella.
Rappresenta i dati in un grafico e indica il tipo di proporzionalità che lega le due
grandezze.
17. Qual è la probabilità che lanciando assieme due dadi si ottengano due numeri uguali?
18. In un'urna sono contenute 10 palline numerate da 1 a 10. Qual è la probabilità di estrarre
la pallina marcata con il numero 1 estraendo contemporaneamente due palline?
Per non dimenticare…
19. Estraendo 4 carte da un mazzo di 40 qual è la probabilità di estrarre i 4 assi? Esprimi la
probabilità anche in percentuale.
20. Un rettangolo ha l’area di 2160 cm2. La sua altezza è congruente ai
3
della base.
5
1. Risolvendo un’equazione determina la lunghezza delle dimensioni del rettangolo. (Viene fuori
un’equazione di secondo grado, ma la puoi risolvere ricordando che l’operazione inversa della
potenza è la radice quadrata.
2. Facendo ruotare il rettangolo attorno alla dimensione maggiore, determina volume e superficie
totale del solido che ottieni.
21. In un triangolo rettangolo un cateto è
3
dell’altro e l’ipotenusa è lunga 35 cm.
4
1. Risolvendo un’equazione determina la misura di ogni cateto. (Viene fuori un’equazione di
secondo grado, ma la puoi risolvere ricordando che l’operazione inversa della potenza è la
radice quadrata.
2. Facendo ruotare il triangolo attorno al cateto maggiore, determina volume e superficie totale
del solido che ottieni.
22. In un parallelepipedo rettangolo una dimensione di base supera l’altra di 4 cm, l’altezza misura 18 cm
e l’area laterale è 1008 cm2. Determina il suo volume. Risolvi il problema con un’equazione. (Suggerimento:
indica con x la dimensione minore della base del parallelepipedo.)