S_080627-MO

MISURE OTTICHE
venerdì 27 giugno 2008
Prof. Cesare Svelto
Tempo a disposizione 1h30min o 2h5min
Primo appello AA 2007/2008
Aula D.0.3 ore 9.15
COGNOME: ____________________________ Nome: ________________________
(stampatello)
CdLS e anno: ___________ Matricola e firma __ __ __ __ __ __ _______________ (firma leggibile)
CROCETTARE
Esercizi svolti (almeno parzialmente)
Solo seconda parte : 3 4 5
Compito intero : 1 2 3 4
PUNTEGGI:
(13+9+10=32 p)
(9+7+10+6=32 p)
N.B. gli esercizi non crocettati non saranno corretti; quelli crocettati ma neanche iniziati comporteranno una
penalità.
(35 min)
Esercizio 1
(svolgere su questo foglio e sul retro)
1a) Facendo riferimento al laser a Nd:YAG pompato a diodi, si illustri il principio di funzionamento e le
principali caratteristiche di questa sorgente.
1b) Sempre nell’ambito dell’esempio specifico del punto 1a), si disegni lo schema di pompaggio
longitudinale del risonatore e si facciano le considerazioni essenziali sul dimensionamento dei componenti
ottici e fisici per ottenere un laser di buona efficienza e stabilità.
1c) Il cristallo di YAG inserito nel risonatore ottico, di lunghezza Lgeom=20 cm, è lungo 5 cm e ha un
coefficiente di dilatazione termica di 4×10-7/°C (indice di rifrazione nYAG1.8). Quanto vale il free spectral
range del laser? Quanti modi longitudinali potranno oscillare sotto la curva di guadagno se non si utilizzano
filtri ottici in cavità per la selezione del singolo modo longitudinale? Di quanti hertz varia la frequenza
d’uscita se lo specchio d’uscita si muove, lungo l’asse del risonatore ottico, di 10 nm?
1d) Sovrapposizione spaziale tra la radiazione di pompa e il modo laser TEM00 e sovrapposizione spettrale
tra la lunghezza d'onda di pompa e la lunghezza d'onda di assorbimento del materiale attivo sono parametri
che influenzano significativamente l’efficienza di un laser a stato solido pompato otticamente. Si illustrino
pregi e difetti delle diverse configurazioni e sorgenti di pompa.
1a) Vedi appunti e lucidi/dispense del corso.
1b) Vedi appunti e lucidi/dispense del corso.
1c) La lunghezza ottica del laser è Lott=Lgeom+(nYAG-1)LYAG=20 cm+0.85 cm=24 cm.
Il free spectral range è FSR=c/(2Lott)=625 MHz e dunque nella banda di guadagno del Nd:YAG (circa
0.4 nm o 125 GHz) possono oscillare 125/0.625=200 modi longitudinali, senza l’impiego di filtri ottici per
la selezione del singolo modo longitudinale.
La frequenza  d’uscita subisce una variazione  calcolabile come:
(/)=-(L/L)=(10×10-9)/(24×10-2)=4.2×10-8
=c/(3×108 m/s)/(1.064 µm)282 THz
 = 4.2×10-8× = 11.75 MHz
1d) Vedi appunti e lucidi/dispense del corso.
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Esercizio 1
(continua)
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(25 min)
Esercizio 2
(svolgere su questo foglio e sul retro)
2) Un telemetro laser a onda continua (fmod=1.5 MHz) viene impiegato per misurare l’altezza di un edificio.
2a) Quale può essere la massima altezza misurabile entro il range di non-ambiguità del telemetro)?
2b) Se la misura di sfasamento tra il fascio laser lanciato e quello ritornato dal bersaglio risolve 10-2 rad,
quanto vale la risoluzione sulla misura di distanza? E la risoluzione relativa L/L?
2c) Eseguendo la stessa misura con un telemetro pulsato (laser a Nd:YAG in Q-switching p10 ns) quanto
varrà il tempo di volo (round-trip) alla massima distanza misurabile dal telemetro in CW? Con quale
risoluzione temporale, T, occorrerebbe misurare il ritardo tra l’impulso lanciato e quello di ritorno per avere
prestazioni confrontabili con il caso del telemetro a onda continua?
2a) Il non-ambiguity range del telemetro, Lna, è legato al tempo di non ambiguità, Tna, dalla relazione
2Lna=cTna
Inoltre da 2fmodTna = 2 si ricava Tna=1/fmod=1 s.
c 1
Quindi Lna=
=1.5108 (m/s) / 1.5×106 Hz=100 m.
2 f mod
L’altezza massima misurabile, sarà dunque hmax=Lna=100 m.
2b) La misura di distanza, entro il non-ambiguity range, si ottiene dalla relazione
c 1
 =SL-16 m/rad×
L=
2 2f mod
Dunque
c 1
 =16 m/rad×10-2 rad=0.16 m16 cm (=cost.)
L=
2 2f mod
Con una risoluzione relativa L/LL-1 che migliora all’aumentare della distanza e che al meglio è pari a
ottima=L/(100 m)=1.6 ×10-3.
2c) Il tempo di volo per il telemetro pulsato è T=(2L)/c=(200 m)/(3×108 m)=0.67 µs.
In questa misura per tempo di volo, L=(c/2)×T e per avere L=0.16 m (come per il telemetro a onda
continua) deve essere T=(2/c)×L1 ns.
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Esercizio 2
(continua)
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(35 min)
Esercizio 3
(svolgere su questo foglio e sul retro)
3) Si vuole misurare la vibrazione di un altoparlante eccitato alla frequenza f = 1 kHz da una sinusoide in
tensione di 0.5 V di picco (la sensibilità, in spostamento, dell’altoparlante è di 1 m/V. Per la misura si
utilizza un interferometro di Michelson con sorgente laser a Nd:YAG duplicata in frequenza (luce visibile)
con potenza d’uscita 2 mW in seconda armonica e un fotodiodo al silicio ( =0.5 A/W), secondo lo schema
mostrato in figura.
3a) Si calcolino i valori di potenza ottica minima (Pmin) e massima (Pmax) incidenti sul fotodiodo.
3b) Immaginando di avere un guadagno a transimpedenza di 2 k si ricavi l’espressione analitica della
fototensione in funzione del tempo. Si commenti il risultato ottenuto e si valutino i valori estremi (Vmax e
Vmin) di tensione.
3c) Qual’è lo spostamento picco-picco dell’altoparlante e a quante frange interferometriche corrisponde?
3d) Si discuta il NED (Noise Equivalent Displacement) dell’interferometro in esame, facendo opportune
ipotesi sui valori di L1, L2, Lr, Lm e sulla larghezza di riga della sorgente laser utilizzata (si consideri una
banda di rivelazione B=10 kHz).
3e) Con lo stesso sistema si misura l’escursione di un attuatore piezoelettrico (PZT), con coefficiente di
attuazione KPZT = 10 nm/V), comandato da una tensione triangolare (simmetrica: Tup=Tdown) da 0 V a 250 V
di picco, con periodo 2 ms.
Quante sono le frange interferometriche associate ad una scansione completa del segnale di comando del
PZT?
A quale velocità si muove il PZT e quale deve essere la banda di rivelazione del circuito di elaborazione del
segnale interferometrico per misurare correttamente lo spostamento del PZT?
Opzionale: si discutano pregi e difetti dell’interferometro di Michelson, presentando eventualmente
soluzioni realizzative atte a superare i difetti di tale schema.
3a) Indicando con P0 la potenza del laser (P0=2 mW), la potenza riflessa dall’altoparlante è Pa = (P0/2) 
(20/100) = 0.2 mW e quella riflessa dallo specchio è Ps=(P0/2)(100/100)=1 mW. Le due potenze ottiche
che si ricombinano sul fotodiodo sono P1=Pa/2=0.1 mW e P2=Ps/2=0.5 mW.
Le potenza minime e massime del battimento sul fotodiodo sono:
Pmax = P1 + P2 + 2 P1P2 ≈ 1.05 mW
Pmin = P1 + P2 – 2
P1P2 ≈ 0.15 mW
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Esercizio 3
(continua)
3b) La fototensione è V(t)=RI(t) =R P(t) con R guadagno di transimpedenza del fotorivelatore.
La lunghezza d'onda del laser è  = (1064 nm)/2 = 532 nm  0.5 µm (verde).
La potenza sul fotodiodo varia come P(t) = P1 + P2 + 2 P1P2 cos(2ks) dove k = 2/ e s = s0cos(t) è lo
spostamento dell’altoparlante. L’espressione analitica della fototensione Vph in funzione del tempo è
dunque: V(t)=R  P1 + P2 + 2 P1P2 cos22/s0cos2ft 
Naturalmente Vmax = R Pmax ≈ 1.050 V e Vmin = R Pmin ≈ 150 mV.
3c) L’ampiezza dello spostamento dell’altoparlante è s0=(0.5 V)(1 µm/V)=0.5 µm. In un intero periodo di
oscillazione dell’altoparlante, di durata temporale T = 1/f = 1 ms, lo spostamento picco-picco è pari a
2s0 = 1 µm  2 = 4 × (/2), corrispondente a 4 frange interferometriche (escursioni di 2 della fase del
segnale di battimento).
3d) I contributi al NED derivano dal rumore shot associato alla fotocorrente di segnale ed al rumore di fase
legato alla finita larghezza di riga di emissione della sorgente laser. Vedi slide delle presentazioni
dell’Ing. Randone sulle prestazioni limite degli interferometri. In particolare, la limitazione legata al rumore
di fase del laser si annulla se si realizza la condizione Lm = Lr.
3e) L’escursione complessiva del PZT è pari a srampa = KPZT × 250 V = 2.5 µm. Ciò comporta che in un
semiperiodo del segnale di comando del PZT, pari a 2 ms / 2 = 1 ms = t, si osservano circa 10 frange
interferometriche: 10 × (/2)  2.5 µm = srampa.
Il PZT si muove ad una velocità vPZT = srampa / t = 2.5 µm / 1 ms = 2.5 mm/s. La durata della singola
frangia è dunque pari a Tfrange = t / 10 = 0.1 ms e per il fotorivelatore occorre quindi una banda passante
B ≥ 1 / Tfrange = vPZT / (/2) = 10 kHz.
Opzionale: Vedi appunti e slide dell’Ing. Randone sugli interferometri.
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(30 min)
Esercizio 4
(svolgere su questo foglio e sul retro)
4a) Si spieghi, aiutandosi con esempi applicativi, perché i laser stabilizzati in frequenza sono utili per
applicazioni di Ricerca scientifica e per lo sviluppo di strumentazione ottica di misura tecnologica mente
avanzata.
4b) Si disegni lo schema a blocchi di un sistema di stabilizzazione attiva per la frequenza di un oscillatore
laser a stato solido. Su quali elementi è possibile agire per ottenere il controllo/modulazione della frequenza
ottica.
4c) Si illustrino pregi e difetti di una stabilizzazione di tipo Pound-Drever rispetto a una stabilizzazione a
bordo frangia, con riferimento sia a riferimenti ottici di tipo Fabry-Perot che di tipo molecolare.
4d) Due laser a Nd:YAG duplicati in frequenza sono agganciati sulla stessa riga satura dello iodio (I2), a
circa 532 nm. Come si può misurare il battimento tra i due oscillatori ottici? Se ciascuno dei due oscillatori
ha una varianza di Allan di 2×10-13 valutata per un tempo di integrazione =1 s, quanto varrà la corrispondente
varianza di Allan per la frequenza di battimento? Quanto vale l’instabilità di frequenza in fondamentale, in
hertz (@=1.064µm=) e in nanomentri (@=1.064µm=)?
4a) Vedi appunti e lucidi/dispense del corso.
4b) Vedi appunti e lucidi/dispense del corso.
4c) Vedi appunti e lucidi/dispense del corso.
4d) Vedi appunti e lucidi/dispense del corso.
La deviazione (standard) di Allan di ciascun laser è y,L=y,L1=y,L2=(2×10-13)1/24.5×10-7.
La frequenza di battimento è batt=L1-L2. Dunque batt è una variabile casuale ottenuta come
differenza di altre due variabili casuali e pertanto la sua varianza di Allan è
 y,2 batt   y,2 L1   y,2 L2  2 y,2 L =4×10-13.
In seconda armonica, l’instabilità di frequenza, di ciascun laser è:
@=532nm=@=532nmy,L=(c/@=532nm)y,L=(3×108 m/s)/(532×10-9 m)4.5×10-7=252×108 Hz250 MHz.
In fondamentale, naturalmente @=1.064µm=(1/2)@=532nm125 MHz.
Sempre in fondamentale, essendo /=/ in modulo, si ricava immediatamente che
@=1.064µm=(@=1.064µm/@=1.064µm) @=1.064µm(282 THz/0.5 GHz)1064 nm1.9×10-3 nm2 pm.
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Esercizio 4
(continua)
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(25 min)
Esercizio 5
(svolgere su questo foglio e sul retro)
5) Con un velocimetro Doppler (LDV) si vuole misurare la velocità dell’acqua che scorre in un tubo di
plexiglass. Il range di velocità possibili per l’acqua nel tubo va da 0.1 m/s a 5 m/s. La risoluzione desiderata
nella misura è v=1 cm/s.
5a) Quale tipo di sorgente laser converrebbe impiegare nel velocimetro e perché? Quale sarà quindi la
sensibilità spettrale del fotodiodo usato per rivelare la luce diffusa dalla particelle che viaggiano con l’acqua?
5b) Con quale angolo si devono intersecare i due fasci ottici per ottenere nel fluido delle frange di
interferenza ottica con spaziatura di 10 µm.
5c) Quali frequenze spettrali si devono misurare nel segnale di scattering e con quale risoluzione? Quale
strumento di misura consente di rilevare le frequenze in questione?
5d) In funzione del diametro d delle particelle (centri di scatter) presenti nell’acqua, si illustri brevemente
come è sagomato il profilo spaziale della luce diffusa.
5a) Potrebbe essere conveniente utilizzare un laser a He-Ne (=632.8 nm633 nm) perché il fascio d’uscità
è visibile e con profilo trasversale ottimamente Gaussiano (modo TEM00 fondamentale con fattore M21) e
la frequenza e ampiezza dell’oscillazione ottica sono di buona stabilità. La lunghezza d'onda nel visibile
(rosso) consente di allineare agevolmente (ad esempio osservando i punti d’arrivo su uno schermo bianco
posto a una certa distanza) i due fasci nella zona di interferenza e misura. Per avere più potenza ottica
nella misura si potrebbe impiegare un diodo laser a semiconduttore, sempre nel visibile, o ancora un laser a
Nd:YAG duplicato a =532 nm (verde).
Il fotodiodo impiegato per rivelare luce visibile sarà al silicio e con una risposta spettrale
Si@500-600nm ≈ 0.5 A/W.
5b) I due fasci ottici interferenti si devono incrociare ad un angolo 2 tale che
/2
/2
632.8  109 m
D
e quindi  = arcsin
=arcsin(31.64×10-3)32 mrad1.8 °
 arcsin
sin 
D
2  10  10 6 m
L’angolo di intersezione dei due fasci è dunque 2=3.6 °.
5c) Le frequenze di battimento da misurare si ricavano dalla relazione
v
0.1 m/s
v
5 m/s
v
fD 
per cui fD,min= min 
=10 kHz e fD,max= max 
=0.5 MHz
D
D
10 m
D
10 m
La desiderata risoluzione in velocità v=2 ms comporta la necessità di operare misure della frequenza
Doppler con una risoluzione fD=v/D=(0.01 m/s)/(10 µm)=1 kHz.
Le frequenze in questione potrebbero agevolmente essere rivelate con un analizzatore di spettro a
eterodina oppure campionando il segnale e calcolandone lo spettro in frequenza attraverso l’algoritmo FFT.
5d) Secondo le dimensioni dei centri di scatter, rispetto alla lunghezza d'onda della luce che investe le
particelle, si individuano due regimi di diffusione:
- d <<  scattering di Raileigh con profilo di diffusività circa isotropo;
- d ≈  scattering di Mie con profilo di diffusività più pronunciato nella direzione di arrivo della
radiazione e.m. (forward scattering).
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Esercizio ___ (continua)
[foglio addizionale per eventuale esercizio “lungo”]
RIPORTARE IL RICHIAMO NELLA PAGINA DELL’ESERCIZIO CORRISPONDENTE
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Domande (Temi) per gli Studenti del Dottorato
D1) Telemetria laser: principi di funzionamento e limiti prestazionali.
D2) Rumore, stabilità, e stabilizzazione delle sorgenti laser per misure ottiche.
D3) Interferometria ottica per la rivelazione delle onde gravitazionali.
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