ESERCIZI MATEMATICA DISCRETA (01/02/2011) Soluzioni 1) Si può utilizzare il principio delle scelte multiple. Nel primo caso le scelte per la colorazione di ognuna delle prima 5 strisce sono in numero di 10; ma, fissata una di tali scelte, le scelte per la colorazione dell’ultima striscia sono in numero di 9, quindi in totale le possibili colorazioni del tessuto sono in numero di 9105. Nel secondo caso, fissata la colorazione delle prime 5 strisce, vi è una sola scelta per la colorazione della sesta, quindi il risultato è 105 . 2) Caso a): applicando il principio delle scelte multiple si ottiene che tutte le possibili insegne (senza alcuna restrizione sulle lampadine) sono in numero di 612; da esse si deve sottrarre il numero delle insegne in cui tutte le lampadine hanno stesso colore (che sono 6 in tutto), ottenendo come risposta al quesito il numero 612-6. Caso b): applicando il principio delle scelte multiple si ottiene che i casi possibili per le prime 6 lampadine sono 56; quelli per le ultime 6 lampadine si ottengono scegliendo le 2 posizioni delle 6 gialle (con =15 scelte possibili) e poi i colori delle altre 4 lampadine (con 54 scelte possibili). 2 6 La risposta è dunque il prodotto 56 54=15510. 2 3) Si può applicare il principio di inclusione-esclusione in forma negativa. Si costruiscono i sottoinsiemi Y, Z di X, contenenti rispettivamente le matrici che soddisfano a),b), e si calcola X- YZ= X-{Y+Z-YZ}=212-28-29+26 (dove i valori numerici sono ottenuti con il principio delle scelte multiple). 4) Si può applicare il principio delle scelte multiple: le scelte per le immagini dell’elemento 5 sono 2; fissata una di tali scelte, le scelte per le immagini dell’elemento 1 sono 4; fissata una di tali scelte, le scelte per le immagini dell’elemento 2 sono 3; fissata una di tali scelte, le scelte per le immagini dell’elemento 3 sono 2; fissata una di tali scelte, la scelta per le immagini dell’elemento 4 è 1 sola. Le funzioni biunivoche tali che f(5) è pari sono dunque in numero uguale al prodotto di tali numeri, cioè 24321=48. 5) Se 2 vertici sono entrambi pari oppure uno è pari e l’altro dispari, essi sono collegati da uno (e un solo) arco, mentre se sono entrambi dispari essi non sono collegati da nessun arco. Dunque il grafo è connesso perché presi comunque 2 vertici esiste sempre un cammino che li unisce: infatti se sono entrambi pari oppure uno è pari e l’altro dispari, allora esiste un cammino di lunghezza 1 che li unisce; se invece sono entrambi dispari, esiste un cammino di lunghezza 2 che li unisce, passando per un terzo vertice pari. I vertici pari (che sono in numero di 20) devono essere colorati con 20 colori diversi (perché sono tutti adiacenti fra loro) ma per colorare i vertici dispari basta un solo colore (diverso dai 20 usati per i pari): il numero cromatico è dunque 21. Il grado dei vertici pari è 38 (ognuno è estremo di 38 archi che lo collegano a tutti gli altri 38 vertici del grafo); il grado dei vertici dispari è invece 20 (ognuno è estremo di 20 archi che lo collegano ai 20 vertici pari): essendo pari il grado di tutti i vertici, ed essendo connesso il grafo, per il Teorema di Eulero esiste nel grafo un cammino ciclico Euleriano. .