B - Compiti in classe

COMPITO A
Calcolo delle probabilità
1)Un professore di Matematica, per l'ultimo compito in classe dell'anno scolastico, ha
preparato 5 quesiti, di cui
-due problemi di geometria analitica
-un problema e un questionario di trigonometria
-un questionario di calcolo delle probabilità
In presenza degli studenti sceglie casualmente un quesito e lo assegna alla classe
Detti
A l'evento { il quesito è di geometria analitica }
B l'evento { il quesito è di trigonometria }
C l'evento { il quesito è di calcolo delle probabilità }
D l'evento { il quesito è un problema}
Esistono , tra i suddetti eventi, coppie di eventi incompatibili? Esistono coppie di eventi
indipendenti? (Motivare le risposte)
Spiega il significato degli eventi B
e B D e calcolane la probabilità.
Soluzione
D
B D { il quesito è un problema di
trigonometria } P(B D ) = 1/5
B D
{ il quesito è di trigonometria o
è un problema } P(B D)=4/5
Incompatibili ( intersezione vuota) : A e B
AeC
BeC
CeD
Non ci sono coppie di eventi indipendenti : gli
eventi incompatibili non sono indipendenti in
quanto se si verifica l’uno, l’altro ha probabilità
nulla.
Gli eventi A e D sono dipendenti in quanto P(A) = 2/5 mentre P(A/D) = 2/3
Gli eventi B e D sono dipendenti in quanto P(B) = 2/5 mentre P(B/D) = 1/3
2) In una classe , il 25% degli studenti è insufficiente in Matematica, il 15% è insufficiente in Italiano il 10% sia
in Italiano che in Matematica
Scegliendo a caso uno studente
a) se è insufficiente in italiano, qual è la probabilità che lo sia anche
in matematica?
b) se è insufficiente in matematica qual è la probabilità lo sia anche in Italiano?
c) qual è la probabilità che sia insufficiente in matematica o in italiano?
Soluzione
M{ lo studente è insufficiente in matematica }
P(M/I) = P(M I) / P(I) = 0,10/0,15) = 2/3
P(I/M) = P(M I) / P(M) = 0,10/0,25) = 2/5
P(I M) = 0,15+ 0,25 – 0,10 =0,30
I{ lo studente è insufficiente in italiano}
Una possibile tabella potrebbe essere questa
M
I
totale
10
5
15
15
0
15
25
5
30
3)Una scatola contiene 30 cioccolatini di cui 10 al liquore e 20 semplici.
Calcolare la probabilità che, prendendo a caso tre cioccolatini, essi siano
a) tutti semplici
b) tutti al liquore
c) 2 semplici e 1 al liquore
d) 2 al liquore e 1 semplice
Soluzione
S { il cioccolatino estratto è semplice }
Casi possibili C 30,3
a) Casi favorevoli C 20,3
Probabilità
b) Casi favorevoli C 10,3
Probabilità
c) Casi favorevoli C 20,2 * C 10,1
Probabilità
d) Casi favorevoli C 10,2 * C 20,1
Probabilità
L{ il cioccolatino estratto è al liquore }
Grafo ad albero
S (semplice)
S
SSS probabilità
L(liquore)
L
LLL probabilità
Probabilità { 2 semplici e 1 al liquore } = 3*
Probabilità { 1 semplice e 2 al liquore } = 3*
4)I cioccolatini di cui sopra vengono messi in un barattolo, accanto ad un altro identico , che contiene cioccolatini
dello stesso tipo, ma tutti al liquore.
Prendendo a caso un cioccolatino da uno dei due barattoli,scelto anch'esso a caso, qual è la probabilità che sia
al liquore?
Si sa che è stato estratto un cioccolatino al liquore. Qual è la probabilità che provenga dal barattolo che contiene
solo cioccolatini al liquore?
Soluzione
A{ si sceglie il primo barattolo }
B { si sceglie il secondo barattolo }
L{ il cioccolatino estratto è al liquore }
Supposto P(A) =P(B) =1/2
P(L)= P(A) *P(L/A) + P(B)*P(L/B) =
P(B/L) = P(L B) / P(L) = P(B)*P(L/B) / P(L) =
Teorema di Bayes
5) Uno studente deve affrontare un test del tipo <<Vero o Falso?>>, costituito da 10 quesiti.
Poiché è completamente impreparato , risponde affidandosi al caso .
a) Che probabilità ha di rispondere esattamente almeno ad un quesito?
b) Che probabilità ha di rispondere alla metà dei quesiti?
Soluzione
A{ lo studente indovina la risposta esatta }
P(A) = P( ) = 1/2
{ lo studente sbaglia la risposta }
a) E{ lo studente indovina la risposta esatta almeno una volta }
b) { lo studente sbaglia tutte le risposte }
P(E) = 1 – P( ) =
b)Probabilità che si verifichi 5 volte A e 5 volte
poiché le sequenze del tipo AAAAA
:C
10,5
=
sono in tutto
ANALISI
1)Sono dati i due insiemi di numeri reali
X corrispondente all’intervallo (0:+∞) Y corrispondente all’intervallo (-∞;+∞)
Stabilire se sono funzioni da X ad Y e, in caso affermativo, se sono iniettive
a)
La relazione equivale a xy=1. Si tratta di una funzione iniettiva . Il grafico è un ramo di
iperbole equilatera.
b)La relazione può essere esplicitata nel modo seguente
Si tratta di una funzione non iniettiva
c)La relazione può essere scritta nel modo seguente
Ad ogni valore di x ( 0<x<1) corrispondono due valori opposti di y.
Non è una funzione
GRAFICI
1)
Dopo avere determinato il dominio della seguente funzioni di variabile reale, stabilire se si tratta di un
intervallo e se ammette massimo o minimo assoluto
Si deve risolvere il sistema
Che ammette le soluzioni 2≤x<3 (Dominio)
Intervallo limitato, aperto a destra e chiuso a sinistra
Il massimo non esiste, il minimo è 2.
COMPITO B
Calcolo delle probabilità
1)Si lancia un dado non truccato.
Siano
A
l’evento { esce un numero pari }
B
l’evento { esce un numero > 4 }
Calcola la probabilità di A, B, AB ,A
B, ,A/B, B/A
I due eventi A e B sono incompatibili ? sono indipendenti?
Soluzione
A{ 2,4,6 } B { 5,6 } AB { 6 }
P(A) = ½
P(B/A) = 1/3
A
B{ 2,4,5,6 }
P(B) = 1/3 P(AB)= 1/6
P(A
A/B {6 }
B) = 2/3
B/A { 6 }
P(A/B)= ½
I due eventi non sono incompatibili in quanto la loro intersezione non è vuota, mentre sono
indipendenti poiché P(A/B) =P(A) e P(B/A) = P(B)
2) Calcola la probabilità che, estraendo tre pedine della tombola ordinaria, ( numeri da 1 a
90), rimettendo ogni volta la pedina nell'urna dopo ogni estrazione, vengano estratti:
a)tre numeri uguali
b)tre numeri diversi tra loro
Soluzione
Casi possibili
a) Casi favorevoli 90 probabilità
b) Casi favorevoli
probabilità
3) In un piccolo centro si vuole studiare l’incidenza del fumo sulla diffusione della bronchite cronica.
Una breve indagine statistica tra gli individui adulti ha dato i seguenti risultati
F
F
B
80
40
120
B
520
360
880
600
400
1000
totale
Sono stati indicati
con F l’evento  essere fumatore e con B l’evento essere malato di bronchite cronica
con F e B i complementari
spiega qual è il significato degli eventi F/B B/F BF e calcolane la probabilità
Da questi risultati si può pensare che il fumo incida sulla malattia?
Soluzione
F/B  essere fumatore essendo malato di bronchite cronica probabilità
B/F  essere malato di bronchite cronica se si è fumatore probabilità
BF  essere fumatore e malato di bronchite cronica
P(B) =
probabilità
mentre P(B/F) =
Poiché P(B/F) è maggiore di P(B) si può dire che il fumo faccia aumentare la probabilità di
contrarre la malattia.
Si può anche osservare che chi è fumatore ha maggiore probabilità di ammalarsi di chi non è
fumatore in quanto P(B/ F )=1/10
Non è valida invece l’osservazione che tra i malati i fumatori sono il doppio dei non fumatori.
(Se avessero fatto l’indagine tra i consumatori di spaghetti probabilmente avrebbero trovato che i malati
di bronchite che consumano spaghetti sono il triplo di quelli che non ne consumano, ma non avremo
dedotto che gli spaghetti fanno venire la bronchite)
4) Un professore di Educazione Fisica deve scegliere (casualmente) 3 ragazzi in un gruppo di
10 per la partecipazione ad una gara di atletica.
Andrea e Bruno , due ragazzi del gruppo,sono due amici inseparabili e vorrebbero
partecipare insieme.
Qual è la probabilità che vengano estratti entrambi?
Qual è la probabilità che nessuno di loro sia estratto?
Qual è la probabilità che sia estratto solo uno di loro?
Soluzione
Andrea e Bruno possono essere pensati come 2 palline bianche e gli altri come 8 palline nere
Casi possibili
a) Casi favorevoli
Casi favorevoli
Casi favorevoli
=8 probabilità
probabilità
=2
probabilità
5) Un ragazzo deve sostenere la prova pratica dell’esame per il conseguimento della patente di
guida.
Secondo i suoi istruttori egli ha una probabilità del 60%di essere promosso se la prova
d’esame viene effettuata sul percorso A, una probabilità del 20% se si effettua sul percorso B.
La scelta del percorso viene fatta mediante il lancio di una moneta.
Che probabilità ha il ragazzo di conseguire la patente?
Se il ragazzo ha superato l’esame, qual è la probabilità che sia stato scelto il percorso A?
Soluzione
Indichiamo con
S l’evento il ragazzo consegue la patente) A l’eventoè sorteggiato il percorso A
B l’evento è sorteggiato il percorso B
P(S) = P(A)*P(S/A) + P(B)*P (S/B)=
P(A/S) =
=
Teorema di Bayes
ANALISI
1)Sono dati i due insiemi di numeri reali
X corrispondente all’intervallo (0:+∞)
Y corrispondente all’intervallo (-∞;+∞)
Tracciare il grafico delle seguenti relazioni
Stabilire se sono funzioni da X ad Y e, in caso affermativo, se sono iniettive
La relazione equivale a x+y=2 che è l’equazione di una retta, in questo
caso una semiretta) quindi è una funzione iniettiva
b)
La relazione rappresenta una semiellisse , in questo caso un quarto di
ellisse .
Poiché non associa a ciascun elemento di X un elemento di Y, non è una funzione
Sarebbe una funzione iniettiva nell’intervall0 0<x
a)
c) Si tratta di una funzione definita a tratti
Non è iniettiva
a
b
c
2)Dopo avere determinato il dominio della seguente funzioni di variabile reale, stabilire se si tratta di un
intervallo e se ammette massimo o minimo assoluto
Imponiamo
e risolviamo graficamente la disequazione x>
Dominio 1<x≤2
Intervallo limitato, aperto a sinistra e chiuso a destra
Il minimo non esiste, il massimo è 2.