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RANGO O CARATTERISTICA DI UN A MATRICE
 a11 ... a1n 


 Sia data una matrice (m, n) A=  ... ... ...  , ove può essere
a

 m1 ... a mn 




sia p   tale che:
m  n

m  n ;
m  n

 p  m   p  n ;
si fissino arbitrariamente p righe e p colonne della matrice A;
gli elementi di A che si trovano all’incrocio delle suddette p righe e p colonne formano una
matrice quadrata di ordine p, che si dice sottomatrice estratta dalla matrice A.
Il determinante di questa sottomatrice si chiama minore di ordine p della matrice A.
Definizione: si chiama minore d’ordine p, estratto dalla matrice A, un qualunque determinante,
d’ordine p, ottenuto con gli elementi comuni a p righe e a p colonne della matrice A.



I minori di ordine massimo estraibili da A sono quelli di ordine p = min (m, n).
Quando almeno un elemento di A è diverso da zero esistono certamente dei minori estratti da
A che risultano diversi da zero.
Considerando tali minori, se k è quello di ordine massimo, allora il rango della matrice è k.
Definizione: si chiama rango o caratteristica di una matrice, i cui elementi non siano tutti nulli,
l’ordine massimo dei suoi minori non nulli.
Si può anche affermare che: k è il rango di A se:
1. Dalla matrice A si può estrarre almeno un minore d’ordine k diverso da zero.
2. Tutti gli eventuali minori d’ordine maggiore di k, estraibili da A, sono nulli.


Se tutti gli elementi di A sono nulli il rango di A è zero.
Se A=(n, n) k =n  det A0
ESEMPI
1.
3 2 4 1


A   9 6 12 3  , poiché A=(3,4) il rango k è al massimo 3, inoltre R2=3R1 e R3=2R1 e
 6 4 8 2


quindi, per il teorema 4 dei determinanti, det A =0 e sono nulli sia i minori di ordine 3 che
quelli di ordine 2. K=1 perché gli elementi di A non sono tutti nulli.
3 5 7


2. A   1 2 3  , in questo caso k può essere minore o uguale a 3. Tramite Sarrus si ottiene
1 3 5


3 5
 1  0 e quindi k=2
che det A=0 e pertanto k3, k<3. Il minore estratto di ordine 2:
1 2
I
1
0
3 
 0


0
2
0 
 1
3. A   2  1 4  3  k  4 essendo A=(5,4). Poiché C3=2C1 e C4=3C2, per il teorema 4


 2 1  4 3 
 4  3 8  9


4 3
det A=0  k 4,3. Il minore
 12  0 e perciò K=2.
8 9
4.
1
3 1 4
 2

2
 6 1 1 2
A
4 1 0
1 3

 2  2  7 3  3

0

0
k  4 essendo A=(4,6). I minori estratti di ordine 4 sono
0

0 
3 1 4
tutti nulli per cui k  3 . Il minore  1 2
2  25  0 e quindi k=3..
0 1 3
Teorema di Kronecher: Se la matrice A, quadrata o rettangolare, possiede un minore  non nullo
di ordine k, e se sono nulli tutti i minori di ordine k+1,ottenuti “orlando”  con una riga e una
colonna qualsiasi di A, allora il rango di A è k.

Orlare una matrice quadrata significa aggiungerle una riga e una colonna, precedenti la prima
o seguenti l’ultima.
Per determinare il rango di una matrice in base al teorema di Kronecher occorre pertanto:
1. Trovare un minore  di ordine k non nullo ;
2. Calcolare i minori di ordine k+1, ottenuti orlando il minore 
3. Se tutti i minori di ordine k+1 sono nulli il rango di A è k; se invece almeno uno di essi non è
nullo bisogna ripetere il procedimento per tale minore e così di seguito fino al massimo ordine
k possibile.

ESEMPI
1.

1
2  4 3

1  2 1  4
A
0 1 1 3

4  7 4  4

0

2
A=(4,5)  K4.
1

5 
Poiché gli elementi di A non sono tutti nulli k1, considero allora un minore di ordine 2 ,ad
esempio  
4 3
 2  0  k2 ; pertanto occorre “orlare”  in modo da ottenere minori di
2 1
2 4 3
ordine 3; uno di essi è '  1  2 1  1  0  k3.
0 1 1
II
2 4 3
1
1 2 1 4
I minori di ordine 4 che si possono ottenere orlando ’ sono due: ' ' 
e
0 1 1 3
4 7 4 4
2 4 3 0
1 2 1 2
, poiché entrambi risultano nulli k=3.
' ' ' 
0 1 1 1
4 7 4 5
2.

1 2 3 4 


A   0 1  1 3  A=(3,4)  K3
 2 5 5 11


Poiché gli elementi di A non sono tutti nulli k1, considero allora un minore di ordine 2 ,ad
esempio  
1 2
 1  0  k2 ; pertanto occorre “orlare”  in modo da ottenere minori di
0 1
1 2 3
1 2 4
ordine 3, quelli possibili sono due: '  0 1  1 e ' '  0 1 3 , poiché entrambi risultano
2 5 5
2 5 11
nulli k=2
4 
 2t 1


3. Studiare la caratteristica della matrice A al variare di t. A   2 0  1  .
 4 t t  2


In questo caso è più conveniente il primo metodo: calcolo det A=t2+3t-4, pongo det A=0 e
ottengo t=1 o t=-4, quindi:

Se t1 o t-4  k=3.

2 1 4 


2 1
Se t=1 si ha A   2 0  1 ove il minore  
 2  0  k=2.
2 0
4 1 3 



4 
 8 1


0 1
Se t=-4 si ha A   2
 4  0  k=2.
0  1  ove il minore  
4 2
 4  4  2



III