compito del 15 giugno 2009

Esercizio 1
Sia data una sfera conduttrice di raggio R su cui e` distribuita
uniformemente una carica Q. Determinare:
a) il campo elettrico in tutto lo spazio (cioe` sia fuori che dentro
della sfera);
b) il potenziale elettrico in tutto lo spazio;
c) la capacita` C della sfera;
d) la densita` di energia u in tutto lo spazio;
e) l’energia elettrostatica totale U, integrando la densita` di energia
su tutto lo spazio.
Soluzione dell’esercizio 1
a) il campo elettrico all’interno della sfera conduttrice è nullo,
mentre al di fuori è uguale a quello di una carica puntiforme:
0..................r  R

E r   1 Q
4 r 2 .......r  R
 0
b) il potenziale si ottiene integrando il campo, oppure ricordando
che un conduttore è equipotenziale e che al di fuori della sfera il
potenziale è uguale a quello di una carica puntiforme:
 1

4
V r   0
 1

40

Q
.......r  R
R
Q
.......r  R
r
c) la capacità è data dal rapporto tra carica posseduta dal
conduttore e potenziale del conduttore:
C

Q
Q

 40 R
Vsfera V R
d) la densità di energia è:
0..................r  R

1
ur  0 E 2 r   1 Q2
2
32 2 r 4 .......r  R

0

e) l’energia elettrostatica si trova integrando la densità d’energia su
tutto lo spazio:
 urdV   u r4r dr   u r4r dr 
U
2
2
int
spazio
0


R


R
0
1 Q2
1 Q2
dr 
80 r 2
80 R
est
R
Esercizio 2
In uno spettrometro di massa una sorgente emette ioni di carica
positiva
q
che
vengono
successivamente
accelerati
elettrostaticamente con una ddp V. Supposta trascurabile la
velocita` degli ioni all’uscita dalla sorgente, si determini:
a) l’energia cinetica e la velocita` alla fine della fase di
accelerazione.
Gli ioni entrano poi in una regione a campo magnetico B uniforme
e perpendicolare alla velocita` degli ioni. Si determini:
b) il raggio di curvatura degli ioni in funzione della velocita` e
della massa.
Se gli ioni sono in parte isotopi C12 (A=12 uma) e in parte C13
(A=13 uma), determinare:
c) il rapporto dei rispettivi raggi di curvatura in funzione delle
masse isotopiche;
d) se il raggio degli isotopi C12 e` di 50 cm, quanto vale quello
degli isotopi C13?
Sorgente
ionica
Accelerazione
elettrostatica
Deflessione
magnetica
Soluzione dell’esercizio 2
a) applicando la conservazione dell’energia all’inizio e alla fine
dell’accelerazione, troviamo:
K i  Ui  K f  U f
K f  Ki  U f Ui  Ki  qV  qV
1
K f  mv 2f  qV
2
2qV
vf 
m


da cui risulta che la velocità dipende dalla massa.

b) la forza centripeta che tiene la particella in orbita è fornita dalla
forza di Lorentz

v2
m  qvB
R
da cui si deduce il raggio
R

mv 1 2mV

qB B
q
c) il rapporto dei raggi percorsi dai due isotopi è dunque
RC13 

RC12 

mC13 
mC12 

13
12
d) il raggio degli isotopi di C13 è:


RC13  RC12 
13
 50 1.04  52cm
12