A. A. 2001/2002 Elettrotecnica (II modulo) per allievi elettrici
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Anno Accademico 2001/2002 II anno –I sem. :Corso di Laurea in Ing. Elettrica
Corso di Principi di Ingegneria Elettrica (II
modulo di Elettrotecnica)
(prof.G.Lupò)
Dettaglio degli argomenti svolti
Rinvii ai testi
Testi di riferimento:
[1] C. MENCUCCINI – V. SILVESTRINI – Fisica II – Elettromagnetismo – Ottica – Liguori Editore
1998
[2] L. DE MENNA - Elettrotecnica ed. Pironti, Napoli 1994 e successive
[3] I. D. MAYERGOYZ – W. LAWSON – Elementi di Teoria dei Circuiti Elettrici – UTET 2000
[4] L.O. CHUA, C. DESOER, E. KUH, Circuiti lineari e non lineari, ed. Jackson, Milano, 1991
[5] G. LUPO'- Note integrative distribuite durante il corso
[6] S. BOBBIO, E. GATTI, Elettromagnetismo e Ottica, ed. Boringhieri, Torino, 1991
[7] F. BAROZZI, F. GASPARINI, Fondamenti di Elettrotecnica - Elettromagnetismo, ed. UTET,
1989
[8] G.MIANO, Lezioni di Elettrotecnica,ed. CUEN 1998
Testi di esercizi:
[9] S. BOBBIO, Esercizi di Elettrotecnica, ed. CUEN, Napoli, 1995
[10] G. FABRICATORE, Esercizi di Elettrotecnica, ed. Liguori, Napoli, 1977
[11] S. BOBBIO, L. DE MENNA, G. MIANO, L. VEROLINO Esercizi di Elettrotecnica, ed. CUEN
1998
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Lezione n.1 del 2/10/01 (2h)
[2] L. DE MENNA- Cap.VIII
Sistemi trifase
Sistema puro e sistema spurio
Sistemi simmetrici ed equilibrati
[5] Nota alla lezione n.1
Definizioni fondamentali:
Sistema trifase : Per sistema polifase in regime sinusoidale si intende un
collegamento di n-poli (vedi lezione n.3) attraverso n linee o fasi. Le tensioni tra i
poli si dicono concatenata. Il sistema di trasmissione e distribuzione dell’energia
elettrica in Italia è un sistema trifase. Esistono, per diverse applicazioni, sistemi con
un numero di fasi superiore, in genere un multiplo di tre (6,12,48,…).
Sistema puro e spurio : se gli n-poli sono a stella, è possibile collegare tra loro con
un (n+1)-mo conduttore ( neutro) i centri stella. In questo caso il sistema si dice
spurio; ad esempio, il sistema trifase di distribuzione in bassa tensione in Italia è un
sistema spurio: oltre ai tre conduttori di fase R-S-T è disponibile un quarto
conduttore “neutro” N (oltre ad un eventuale altro conduttore di protezione P). Il
sistema di distribuzione in media tensione è invece un sistema puro, con tre sole
linee.
In un sistema spurio le correnti di linea non dipendono dai carichi (impedenze) delle
altre linee.
Sistemi simmetrici ed equilibrati: un sistema polifase si dice simmetrico (diretto o
inverso) se le tensioni di alimentazione sono simmetriche (diretto o inverso) , ossia se
i moduli sono uguali ed ogni tensione è in ritardo (in anticipo per la simmetria
inversa) di 2π/n rispetto alla tensione che la precede nella sequenza. Se le tensioni
sono simmetriche, i fasori rappresentano un poligono regolare di n lati. Se anche le
correnti di linea sono simmetriche, il sistema si dice equilibrato.
In un sistema simmetrico ed equilibrato l’intensità di corrente nell’eventuale
conduttore neutro è nulla.
In un sistema simmetrico ci si riferisce in genere al valore efficace della tensione
concatenata ( tensione di sistema).
Lezione n.2 – 4/10/2001 (2h)
[2] L. DE MENNA- Cap. VII
Potenze nei sistemi trifase
Teorema di Aron – Inserzione Aron
Potenza nei sistemi trifase: in un sistema trifase simmetrico ed equilibrato la
potenza fluttuante erogata dai generatori è nulla. La potenza istantanea quindi
coincide con la potenza media: la sollecitazione meccanica legata alla coppia
istantanea non ha quindi un termine di “fatica”, determinando così prestazioni
ottimali.
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Un sistema trifase simmetrico ed equilibrato consentirebbe, a parità di energia
trasmessa, un risparmio del 50% sui conduttori rispetto a tre sistemi monofasi. In un
sistema spurio, il carico è di norma “quasi” equilibrato, il conduttore neutro può
essere realizzato della stessa sezione dei conduttori di fase e quindi si ha un risparmio
di 1/3 rispetto a tre sistemi monofase.
Teorema di Aron: in un sistema trifase puro (anche dissimmetrico e squilibrato), la
potenza complessa può essere calcolata valutandovle tensioni rispetto ad un
riferimento qualsiasi (invarianza della potenza rispetto al centro stella) ; prendendo
come riferimento un polo k , essa può essere quindi espressa con somma di solo due
termini considerando il prodotto del fasore delle tensioni concatenate di una delle
due linee rispetto alla terza linea k con il coniugato del fasore della corrente della
linea.
Per la misura della potenza media e della potenza reattiva in un sistema puro bastano
quindi due wattmetri e due varmetri.
Lezione n.3 (8/10/01) CP
Argomenti
N-polo
Matrice delle conduttanze
Poligono equivalente
[2] L. DE MENNA - Cap.IV.
N-polo : rete elettrica accessibile attraverso n morsetti (poli) ordinati ; le n intensità
di corrente [riferimenti Ir, ad esempio, tutti entranti sulle n linee] non sono
indipendenti [la loro somma è nulla] e quindi non possiamo alimentare con n
generatori indipendenti di corrente di linea. Possiamo però considerare n generatori
indipendenti di tensione di linea i cui secondi morsetti sono collegati tutti ad un
unico polo “esterno” detto centro stella dei generatori (generatori stellati E1,E2,…,En).
[Potremmo anche alimentare l’n-polo con n generatori di corrente indipendenti
concatenatati, ossia collegati a coppie di poli in sequenza].
Se l’n-polo è resistivo, ossia costituito da soli resistori, possiamo considerare che
ogni corrente Ir è data dalla somma di n contributi, ognuno proporzionale alla
tensione di un generatore Es. Il coefficiente di proporzionalità è omogeneo con una
conduttanza Grs : se r=s tale termine viene chiamato autoconduttanza al polo r=s [non
negativa], se r≠s avremo la conduttanza mutua tra il polo r ed il polo s [non positiva
per il principio di non amplificazione delle tensioni, uguale alla Gsr per il teorema di
reciprocità e in valore assoluto non superiore a Grr e Gss per il principio di non
amplificazione delle correnti; la somma delle conduttanze mutue tra il polo r e gli
altri poli è pari all’opposto dell’autoconduttanza al polo r per il bilancio delle correnti
al centro stella].
La relazione tra le tensioni stellate e le correnti di linea assume la forma matriciale
I=G E
dove G è la matrice delle conduttanze, a determinante nullo ( la relazione non è
infatti invertibile).
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Gli elementi indipendenti della matrice sono n(n-1)/2, numero pari ai lati di un grafo
ridotto completo con n nodi, e quindi ai lati di un poligono completo con gli n vertici
corrispondenti agli n poli.
Il poligono completo equivalente all’n-polo resistivo dato prevede tra il polo r ed il
polo s un resistore di valore pari a Rrs=-1/Grs.
Lezione n.4 (11/10/01)
Argomenti
Trasformazione stella triangolo
N-bipoli
N-poli di impedenze
[2] L. DE MENNA - Cap.IV – Cap VI
Trasformazione stella-triangolo: è possibile descrivere un n-polo con una stella di
n resistori solo nel caso n=n(n-1)/2 ossia n=3. Solo quindi un tripolo è sempre
descrivibile con una stella di resistori (utilizzare la trasformazione n-polo → matrice
delle conduttanze ↔ triangolo ↔ stella).
N-bipoli: rete accessibile da n porte a morsetti ordinati. Il modello è simile all’npolo, ma, non essendoci il vincolo sulle correnti, la matrice delle conduttanze ha
rango n ed è quindi invertibile. Si può quindi descrivere il sistema con la matrice
delle resistenze, chè è l’inversa della matrice delle conduttanze.
N-poli di impedenze: in regime sinusoidale possono essere ripetute le considerazioni
svolte in regime stazionario, tenendo presente che, in generale, non è valido il
principio di non amplificazione. Pertanto, nella matrice delle ammettenze, che resta
non invertibile, le autoammettenze hanno parte reale positiva; non si può dire (salvo
il caso banale di n-polo resistivo) che la parte reale delle ammettenze mutue sia
negativa.
Lezione n.5 (15/10/01)
Argomenti
Doppi bipoli – analisi e sintesi
[2] L. DE MENNA - Cap.IV
Doppi bipoli – Analisi e sintesi: A partire dalla matrice delle conduttanze, si
perviene rapidamente ad uno schema a Π (o a sella); a partire dalla matrice delle
resistenze si perviene allo schema a T. Ovviamente da una matrice delle conduttanze
si perviene anche allo schema a T, ma meno rapidamente.
Possiamo collegare tensioni e correnti anche attraverso modelli matriciali ibridi, da
esaminare caso per caso.
Lezione n.6 (18/10/01)
Argomenti
[2] L. DE MENNA – Cap VITrasformatore ideale
Circuiti accoppiati – Accoppiamento perfetto –
rete equivalente
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Trasformatore ideale
Trattasi di un doppio bipolo ideale, caratterizzabile con parametri ibridi o, più
semplicemente dalle relazioni v1/v2=a , i1/i2=-1/a
(a - detto rapporto di
trasformazione- è numero reale diverso da zero). Esso può essere letto come
trasformatore di tensione e/o di corrente. Le tensioni e le correnti s’intendono
costanti o variabili nel tempo. Il trasformatore ideale è trasparente alla potenza
istantanea.
Per numerose applicazioni, si considera il funzionamento in regime sinusoidale. In tal
caso, il trasformatore ideale si mostra trasparente alla potenza complessa. Il
trasformatore ideale si comporta anche come trasformatore d’impedenza: se Zu è
un’impedenza collegata alla seconda porta, l’impedenza equivalente alla prima porta
vale Z1eq=a2Zu.
Circuiti accoppiati – Accoppiamento perfetto – rete equivalente
L’accoppiamento magnetico tra due circuiti di coefficienti di autoinduzione L1, L2 e
mutua induzione M è valutato dal coefficiente k=M/√ L1L2. Tale coefficiente è in
valore assoluto non superiore all’unità, dovendo essere non negativa l’energia
magnetica, funzione quadratica delle correnti, con parametri L1, L2,M .
Per k=±1, l’accoppiamento si dice perfetto: l’energia magnetica è nulla (il campo
magnetico è nullo in tutto lo spazio) anche se le correnti non sono nulle, ma nel
rapporto i1/i2= √L2 /L1.
Due circuiti accoppiati possono essere studiati con il modello del doppio bipolo,
matrice Z. Nel caso di accoppiamento perfetto, il doppio bipolo è equivalente ad un
trasformatore ideale con un induttore L1 [L2] in parallelo sulla prima [seconda] porta.
Tale doppio bipolo è equivalente quindi in genere ad un trasformatore di tensione e
non è trasparente alla potenza reattiva; rispetto ad un trasformatore di corrente è
presente la corrente a vuoto alla prima [seconda] porta. Tale corrente sarà nulla se
alla seconda [prima] porta è collegato un bipolo cortocircuito: in tal caso il doppio
bipolo si comporta come un trasformatore di corrente, ma ambedue le tensioni sono
nulle. Tale corrente sarà tanto inoltre più trascurabile quanto più grande è la reattanza
ωL1 rispetto al modulo di Z1eq=a2Zu.
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Lezione n.7 (22/10/01)
Argomenti
Circuiti ad accoppiamento lasco – Dispersione [2]L. DE MENNA – Cap. VI .magnetica
Trasformatore reale (cenni)
Circuiti ad accoppiamento lasco – Dispersione magnetica
Se l’accoppiamento non è perfetto possiamo considerare la scomposizione
L1=L1‘+L1” e L2= L2‘ + L2“ tali che tra L1 “ e L2“ vi sia la condizione di
accoppiamento perfetto. Una delle due induttanze L’ può essere scelta ad arbitrio (ad
esempio nulla).
Se (in particolare per avvolgimenti a molte spire) si introducono i coefficienti di
dispersione (scarto relativo tra i flussi di dispersione medio auto e mutuo
concatenato, dove con flusso medio si intende il flusso concatenato riferito al numero
di spire), si possono definire le induttanze di dispersione pari al prodotto dei
coefficienti di dispersione con le induttanze L1, L2. Se si assumono come L’ le due
induttanze di dispersione, la rete equivalente prevede tra l’altro un trasformatore
ideale con rapporto di trasformazione pari al rapporto spire.
Trasformatore reale (cenni)
Il modello di un trasformatore reale tiene conto delle perdite per effetto Joule nei
conduttori degli avvolgimenti primario e secondario e delle perdite nel ferro per
isteresi e correnti indotte (correnti parassite). La presenza del ferro è legata alla
necessità di avere accoppiamenti quasi perfetti ed elevati valori delle induttanze
(L1,L2).
Lezione n.8 (25/10/01)
Argomenti
[2]L. DE MENNA - Cap.VBipoli dinamici
Dinamica delle reti – sistema fondamentale – [2]L. DE MENNA - Cap.V
dati iniziali
Bipoli dinamici
La caratteristica dinamica lega una grandezza con la derivata dell’altra. Nel
condensatore l’intensità della corrente è proporzionale (con la convenzione
dell’utilizzatore, tramite il coefficiente C capacità) alla derivata della tensione.
Nell’induttore la tensione è proporzionale (con la convenzione dell’utilizzatore,
tramite il coefficiente L induttanza) alla derivata della corrente.
La tensione sul condensatore e l’intensità della corrente nell’induttore sono funzioni
di stato, legate all’energia immagazzinata. Per ricavare il valore in un istante generico
t, occorre conoscere il valore ad un istante di riferimento e l’integrale della intensità
della corrente nel condensatore e della tensione sull’induttore tra l’istante di
riferimento e l’istante t. Tali grandezze di stato risultano quindi continue nei casi
ordinari e possono essere considerate funzioni-memoria.
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I bipoli suddetti sono lineari nelle relazioni diffrenziali, sono lineari nelle relazioni
integrali solo se scarichi nell’istante iniziale di riferimento
Dinamica delle reti – sistema fondamentale – Dati iniziali
Il sistema fondamentale per una rete di l lati consta di l equazioni topologiche
(sempre algebriche) e di l equazioni caratteristiche di cui n=nL+nC equazioni
differenziali relativi a nL ed nc induttori e condensatori indipendenti.
Nel caso di sistema lineare, la soluzione è nota a meno di n costanti arbitrarie, che
andranno valutate in base al teorema di unicità di Cauchy, cioè in base alla
determinazione del valore della funzione e delle sue n-1 derivate.
Considerato lo zero come istante di riferimento, indicheremo con 0- e 0+
rispettivamente due istanti infinitamente vicini allo zero da sinistra e destra e con f(0) ed f(0+) il limite sinistro e destro della funzione f(t).
Lezione n.9 (29/10/01)
Argomenti
Condizioni iniziali
Determinazione delle costanti arbitrarie
[2]L. DE MENNA -cap.V
Condizioni iniziali -Determinazione delle costanti arbitrarie
Per ricavare le condizioni iniziali della funzione (in genere non si tratta di una
funzione a memoria) si considera la scrittura (foto) del sistema all’istante 0+.
In tale istante sono incognite quasi tutti i valori tranne quelli delle n funzioni di stato,
note dallo 0-.Inoltre sono incogniti i valori allo 0+ delle n derivate che compaiono
nelle caratteristiche dinamiche. In definitiva abbiamo n equazioni ai valori
(algebrici) delle (l-n) grandezze e delle n derivate allo 0+. Il sistema è determinato e
quindi siamo in grado di conoscere allo 0+:
- i valori delle n grandezze di stato;
- i valori delle l-n grandezze non di stato
- i valori delle n derivate prime delle grandezze di stato.
Se occorre conoscere le derivate prime delle grandezze non di stato o le derivate
seconde delle grandezze di stato, basta considerare il sistema di 2l equazioni ottenuto
derivando una ad una le equazioni del sistema fondamentale.
In questo sistema derivato, letto allo 0+, conosciamo le derivate delle grandezze di
stato dal ragionamento precedente e quindi possiamo conoscere allo 0*:
- i valori delle derivate delle l-n grandezze non di stato
- i valori delle n derivate seconde delle grandezze di stato.
Tale ragionamento può essere ripetuto fino a conoscere il valore iniziale della
derivata di ordine (n-1).
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Lezione n.10 (5/11/01)
Argomenti
Reti di ordine superiore- Esempi
Funzione a gradino
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[2]L. DE MENNA –cap. V da pag.134 – Cap.VIII
Lezione n.11 (8/11/01)
Argomenti
[2]L. DE MENNA Cap.VIII
Funzione impulsiva
“Ricostruzione” dello stato iniziale mediante
generatori impulsivi
L’esame di una grandezza di risposta y(t) (tensione o corrente in un ramo) ad una
grandezza di ingresso o forzamento x(t) (generatore di tensione o di corrente) può
essere condotta su una rete che abbia le seguenti proprietà:
a) sia tempo-invariante, ossia non si verificano variazioni nella topologia della
rete o nel valore dei parametri caratteristici [ se la rete è tempo-variante,
occorrerà restringere l’esame della dinamica in ogni intervallo in cui la rete
sia tempo- invariante ];
b) sia lineare, ossia costituita da bipoli la cui caratteristica risponda a requisiti di
linearità; se una rete è costituita da bipoli fondamentali resistori, induttori
(inizialmente scarichi) e condensatori (inizialmente scarichi), la rete è lineare;
c) sia passiva, ossia vi sia solo un generatore (ingresso); se vi sono più
generatori (più ingressi), la risposta potrà valutarsi dalla somma dei contributi
legati ai singoli ingressi, se la rete è lineare.
Nei casi suddetti la risposta prende il nome di evoluzione forzata: essa dipenderà
dalla topologia della rete e dal forzamento.
Nel caso di reti non a riposo nell’istante iniziale di osservazione della dinamica e
sottoposte a forzamento nullo, la risposta prende il nome di evoluzione libera.
Se la rete non è a riposo e il forzamento non è nullo, potremo considerare, ai fini del
calcolo della risposta per t>0, la rete a riposo allo 0-, inserendo in parallelo ai
condensatori [scarichi] un generatore impulsivo di corrente di valore Qo=C Vo pari
alla carica sulle armature del condensatore per t=0 ed in serie agli induttori [scarichi]
un generatore impulsivo di tensione di valore pari al flusso iniziale ossia LIo. La
somma dei contributi dei generatori impulsivi ricostruirà l’evoluzione libera, mentre
il contributo della x(t) formerà l’evoluzione forzata.
Avremo quindi in generale che la risposta è pari alla somma dell’evoluzione libera e
dell’evoluzione forzata.
Lezione n.12 (12/11/01)
Argomenti
Risposta impulsiva
Integrale di convoluzione
[2] L. DE MENNA - cap VIII
[5] Nota II sulla risposta impulsiva
Lezione n.13 (15/11/01)
Argomenti
Risposta impulsiva – Esercizi
[2] L. DE MENNA - cap VIII
[9] S.BOBBIO CAP III (ES. 60-68)
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A. A. 2001/2002 Elettrotecnica (II modulo) per allievi elettrici
Lezione n.14 (19/11/01)
Argomenti
Circuiti dinamici di ordine superiore
Lezione n.15 (22/11/01)
Argomenti
Campi elettrici e magnetici.
Problema di Laplace-Poisson
stazionario -Campi piani
pagina 9
[2] L. DE MENNA - cap VIII
[5] NOTA III
nel
caso
Lezione n.16 (26/11/01)
Argomenti
Campi in geometria sferica
Dispersore di terra
[5] NOTA III
Lezione n.17 (3/12/01)
Argomenti
Geometria cilindrica
Cavo coassiale
[5] NOTA III
Lezione n.18 (6/12/01)
Argomenti
Magnetostatica
Materiali a permeabilità infinita
Circuiti magnetici
[2] NOTA IV
Lezione n.19 (10/12/01)
Argomenti
[5] NOTA V
Magnete permanente.
Soluzioni analitiche dell'equazione di Laplace: [5] NOTA VI
la funzione di Green.
Lezione n. 20 (13/12/01)
Argomenti
Esercizi sul regime dinamico
Cenni sull'impiego della £-trasformata
[2] L. DE MENNA - CAP. X
Lezione n.21 (14/12/01)
Argomenti
Esercizi sul regime dinamico
[9] S. BOBBIO – CAP.3
Lezione n. 22 (20/12/01)
Argomenti
Esercizi sul regime dinamico
[9] S. BOBBIO – CAP.3
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[9] S.BOBBIO CAP III §9-10-11-12-13
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