ALGEBRA COMPUTAZIONALE (ELABORAZIONE SIMBOLICA)
Prof. Stefania De Stefano
1. Cenni di Algebra Commutativa e Geometria Affine
Anelli di polinomi in una o più indeterminate. Polinomi irriducibili: teorema di fattorizzazione unica.
Ideali e loro basi; operazioni sugli ideali; anelli quozienti. Ideali primi, primari, ideali radicali. Spazi e
varietà affini; parametrizzazioni di varietà. Ideale di una varietà e varietà associata a un ideale.
2. Basi di ideali: un approccio computazionale
Ordinamenti monomiali. Algoritmo per la divisione di un polinomio in n indeterminate per un
insieme ordinato di polinomi. Ideali monomiali e lemma di Dickson. Teorema della base di Hilbert e
basi di Groebner. Sizigie e condizioni perché una base di un ideale sia di Groebner. Algoritmo di
Buchberger per il calcolo di basi di Groebner.
3. Teoria dell’eliminazione
Risoluzione di un sistema di equazioni polinomiali: ideali di eliminazione k-esima. Risultante di due
polinomi a coefficienti in un campo o in un anello di polinomi. Risolubilità di un sistema di equazioni
polinomiali: teorema di estensione delle soluzioni parziali. Nullstellensatz: formulazione debole,
formulazione di Hilbert e in termini di radicali. Limitazioni sul numero di soluzioni tramite anelli
quozienti. Passaggio a forma implicita da una forma parametrica (polinomiale o razionale).
4. Alcuni algoritmi per l’Algebra Commutativa che usano le basi di Groebner
Appartenenza di un polinomio a un ideale. Implicitazione di parametrizzazioni polinomiali o
razionali. Consistenza di un sistema polinomiale. Appartenenza di un polinomio al radicale di un
ideale. Calcolo della base dell’ideale intersezione. Calcolo del minimo comune multiplo (e del
massimo comun divisore) di due polinomi.
5. Polinomio di Hilbert
Dimensione della varietà di un ideale monomiale. Complemento di un ideale monomiale. Funzione di
Hilbert affine e corrispondente polinomio. Dimensione di una varietà affine.
Testi consigliati:
D.Cox-J.Little-D.O’Shea, Ideals,Varieties and Algorithms,Springer-Verlag, New-York 1992
M.Kreuzer-L.Robbiano, Computational Commutative Algebra I, Springer-Verlag, New-York, 2000
(ISBN 3-540-677733-X)
