1 - Dipartimento di Economia - Università degli Studi "G. d`Annunzio"

Università degli studi G. d’Annunzio
Chieti – Pescara
Corso di Laurea in:
Economia e Informatica per L’impresa
Gli Equilibri Correlati
di Aumann
Laureando:
Relatore:
Marco Di Giovanni
Dott. Raffaele Mosca
Cos’è un gioco?
Un gioco è una situazione in cui individui (giocatori)
possono scegliere ognuno un certo comportamento
(strategia) con il fine di massimizzare il proprio
guadagno (payoff), tenendo conto però che il
proprio payoff dipende dalle strategie scelte da tutti
i giocatori.
Lo scopo della Teoria dei Giochi è prevedere il
comportamento dei giocatori – ipotizzando che essi
interagiscano consapevolmente e che essi siano
razionali (e che ciò sia conoscenza comune …) – e
quindi l'esito di un gioco.
Rappresentazione
in Forma Normale
Essa specifica:
1) L'insieme dei giocatori, sia {1, ..., n};
2) Per i=1,...,n, l'insieme delle strategie
(possibili) del giocatore i, sia Si ;
3) Per i=1,...,n, la funzione di payoff
del giocatore i, sia ui : S1×…×Sn→ R, la
quale associa a ogni combinazione di
strategie dei giocatori il payoff del
giocatore i.
Questo gioco è indicato con:
G = {S1,…,Sn; u1 ,…,un}.
In questa tesi tratteremo giochi non
cooperativi (cioè giochi in cui non sono
ammessi accordi vincolanti fra i
giocatori), in particolare giochi statici
con informazione completa con due
giocatori ognuno con due (possibili)
strategie, cioè del tipo
G = {S1, S2 ; u1 ,u2} con
S1={A, B} e S2={C, D}.
Tali giochi verranno rappresentati con
una tabella come di seguito.
I/II
C
D
A
u1(A, C), u2(A, C) u1(A, D),u2(A, D)
B
u1(B, C), u2(B, C) u1(B, D), u2(B, D)
Approccio di Nash
Afferma che il
comportamento
dei giocatori è
quello
di
convergere verso
un esito del gioco
chiamato
Equilibrio di Nash
e
indicato
di
seguito con EN.
Se il compito della
Teoria dei Giochi è
quello
di
prevedere l’esito
di un gioco, allora
tale esito deve
essere “stabile” e
“credibile”.
L’esito
previsto
deve quindi essere
tale che ogni
strategia
specificata
per
ogni giocatore sia
la
migliore
risposta
alle
strategie
specificate per gli
altri giocatori.
Definizione (EN in strategie pure)
Nel gioco in forma normale G = {S1,…,Sn; u1,…,un} con n
giocatori, le strategie (s1*,…,sn*)  S1 × … × Sn sono un
Equilibrio di Nash di G in strategie pure:
se, per ogni giocatore i  {1,…, n} si ha:
ui(s1*, …, s*i-1, si*, s*i+1, …, sn*) > ui(s1*, …, s*i-1, si, s*i+1, …, sn*)
per ogni si  Si
In altri termini, per ogni giocatore i  {1,…, n}, si✶ è la risposta
ottima del giocatore i alle strategie (s1*, …,s*i-1,s*i+1 ,…,sn*)
specificate per gli altri n – 1 giocatori, cioè si✶ risolve il
problema:
max {ui(s1*, …, s*i-1, si, s*i+1, …, sn*) : si  Si}
Osservazione
Per ogni gioco G sono possibili tre casi.
I/II
TESTA
CROCE
TESTA
-1, 1
1, -1
CROCE
1, -1
-1, 1
I/II
TACERE
PARLARE
TACERE
-1, -1
-9, 0
PARLARE
0, -9
-6, -6
I/II
LOTTA
OPERA
LOTTA
2, 1
0, 0
OPERA
0, 0
1, 2
Caso 1:
G ha 0 EN in strategie pure.
Caso 2:
G ha 1 EN in strategie pure.
Caso 3:
G ha molteplici EN in
strategie pure.
Il Caso 1 determina una assenza di previsione sull’esito
del gioco: tale inconveniente è stato studiato dallo stesso
Nash mediante l’introduzione delle strategie miste e del
Teorema di Nash;
Il Caso 2 determina una esatta previsione dell’esito del
gioco;
Il Caso 3 determina sia una indecisione sulla previsione
dell’esito del gioco sia la possibilità che i giocatori
convergano verso un esito diverso da un EN del gioco e –
in particolare – che in tal modo ottengano un payoff
minore di quello che otterrebbero convergendo verso un
EN: tali inconvenienti sono stati studiati da Aumann
mediante l’introduzione di una estensione dell’Approccio
di Nash basata sul così detto Equilibrio Correlato.
Caso 1
Nel gioco
G = {S1, S2; u1, u2}
con due giocatori,
una strategia mista
per il Giocatore i è
una distribuzione di
probabilità su Si
cioè
sull’insieme
delle sue strategie.
Le strategie pure
sono
un
caso
particolare
delle
strategie
miste:
corrispondono
a
quelle distribuzioni
di probabilità in cui
un solo valore è
pari 1 e tutti gli altri
sono pari a 0.
PAT/CHRIS
LOTTA (2/3)
OPERA (1/3)
Tramite il “criterio
del valore atteso” è
possibile calcolare i
payoff
che
i
giocatori ottengono
scegliendo
rispettivamente
delle
strategie
miste.
Ciò rende possibile
la
seguente
definizione.
LOTTA (1/3)
OPERA (2/3)
EN in strategie miste
Teorema di Nash
Nel gioco
G = {S1, S2; u1, u2}
con due giocatori, le
strategie miste (p*1, p*2)
(una del Giocatore I, una del
Giocatore II) sono un
Equilibrio di Nash in
strategie miste di G se esse
costituiscono
risposte
ottime l’una per l’altra.
Nel gioco
G = {S1, …, Sn; u1, …, un},
se n è finito e se Si è finito
per ogni i, allora G ha
almeno un Equilibrio di
Nash, eventualmente in
strategie miste.
PAT/CHRIS
LOTTA (1/3)
OPERA (2/3)
LOTTA (2/3)
2/3 * 1/3 = 2/9
2/3 * 2/3 = 4/9
OPERA (1/3)
1/3 * 1/3 = 1/9
1/3 * 2/3 = 2/9
Osservazione
Il concetto di strategia mista permette di
stabilire che ogni EN induce una
distribuzione di probabilità su S1  S2 che è
l’insieme dei possibili esiti del gioco G.
Una estensione dell’Approccio di Nash
Il Caso 3 in cui un gioco ha molteplici EN determina:
1) un’indecisione sulla previsione dell’esito del gioco;
2) la possibilità che i giocatori convergano verso un
esito diverso da un EN del gioco e – in particolare – che
in tal modo ottengano un payoff minore del payoff che
otterrebbero convergendo verso un EN.
Tali inconvenienti sono stati studiati da Aumann
mediante l’introduzione di una estensione
dell’Approccio di Nash basata sul così detto Equilibrio
Correlato.
L’idea di Aumann: Introduzione
Consideriamo il gioco “Battaglia dei sessi”.
Esso ha tre EN:
Il primo EN è in strategie pure
(Lotta, Lotta) = ((1, 0), (1, 0)).
Il secondo EN è in strategie pure
(Opera, Opera) = ((0, 1), (0, 1)).
Il terzo EN è in strategie miste
((2/3, 1/3), (1/3, 2/3)).
L’inconveniente (1) è legato direttamente al fatto
che il gioco ha molteplici EN.
L’inconveniente (2) è legato al fatto che il terzo
EN induce una distribuzione di probabilità su S1
 S2 per la quale la probabilità che i due
giocatori convergano sugli esiti (Lotta, Opera) e
(Opera, Lotta) è 4/9 + 1/9 = 5/9.
Tali esiti non sono EN e – in particolare – i
giocatori in tal modo ottengono un payoff (pari a
0) minore del payoff che otterrebbero
convergendo verso un EN.
PAT/CHRIS
LOTTA
OPERA
LOTTA
2, 1
0, 0
OPERA
0, 0
1, 2
PAT/CHRIS
LOTTA (2/3)
OPERA (1/3)
LOTTA (1/3)
OPERA (2/3)
2/3 * 1/3 =
2/3 * 2/3 =
2/9
4/9
1/3 * 1/3 =
1/3 * 2/3 =
1/9
2/9
L’idea di Aumann: Introduzione
Focalizziamo solo i due EN in
strategie pure: (Lotta, Lotta),
(Opera, Opera).
• Assumiamo che i due giocatori si
possano accordare (in modo non
vincolante) sul fatto che l’esito
del gioco possa essere solamente
o (Lotta, Lotta) oppure (Opera,
Opera), cioè formalmente, si
possano accordare su una
distribuzione di probabilità p su
S1  S2, che assegni probabilità
positive a (Lotta, Lotta) e a
(Opera, Opera), e probabilità
nulle agli altri possibili esiti del
gioco.
PAT/CHRIS
LOTTA
OPERA
LOTTA
2, 1
0, 0
OPERA
0, 0
1, 2
L’idea di Aumann: Introduzione
• Al fine di tradurre in realtà questo
accordo, i due giocatori possono
nominare un Mediatore, il quale:
(i) estrae “privatamente” uno degli
esiti del gioco in base alla distribuzione
p [e quindi nel caso specifico estrarrà o
(Lotta, Lotta) oppure (Opera, Opera)]
(ii) indica “privatamente” ai due
giocatori la strategia che essi devono
scegliere in base all’esito estratto.
• A questo punto ogni giocatore può
verificare mediante il “criterio del
payoff atteso”, assumendo che
l’altro giocatore segua l’indicazione
del Mediatore, se gli convenga
seguire l’indicazione del Mediatore.
PAT/CHRIS
LOTTA
OPERA
LOTTA
2, 1
0, 0
OPERA
0, 0
1, 2
Descrizione dell’idea di Aumann
Consideriamo un gioco
G = {S1, S2 ; u1, u2} in forma normale.
La descrizione è in tre fasi.
Descrizione dell’idea di Aumann
Fase 1
Fase 2
Fase 3
I
due
giocatori
si
accordano, in modo non
vincolante,
su
una
distribuzione
di
probabilità p su S1S2
(che è l’insieme dei
possibili esiti del gioco).
I due giocatori nominano
un Mediatore il quale:
(i) estrae “privatamente”
uno degli esiti del gioco in
base alla distribuzione p;
(ii) indica “privatamente”
ai due giocatori,
la
strategia che essi devono
scegliere in base all’esito
estratto.
Ogni giocatore verifica
mediante il “criterio del
payoff
atteso”,
assumendo che l’altro
giocatore
segua
l’indicazione
del
Mediatore,
se
gli
conviene
seguire
l’indicazione
del
Mediatore.
Descrizione dell’idea di Aumann
Se, per ogni possibile esito estratto dal
Mediatore, ogni giocatore verifica che gli
conviene seguire l’indicazione del Mediatore,
assumendo che l’altro giocatore segua
l’indicazione
del
Mediatore,
allora
la
distribuzione di probabilità p è detta Equilibrio
Correlato di G.
Equilibrio Correlato
Al fine di introdurre una
definizione formale di
Equilibrio
Correlato
scriviamo:
S1 = {A, B}
S2 = {C, D}
p=(p1,…,p4):
distribuzione
di
probabilità su S1  S2
come indicato in figura.
I/II
C
D
A
p1
p2
B
p3
p4
Per
determinare
le
condizioni che p deve
soddisfare per essere un
Equilibrio
Correlato,
consideriamo le seguenti
4 possibilità.
Possibilità 1: Al giocatore I il Mediatore indica di scegliere A.
la probabilità condizionata che l’esito estratto dal Mediatore sia
(A, C) è [p1 / (p1 + p2)]
la probabilità condizionata che l’esito estratto dal Mediatore sia
(A, D) è [p2 / (p1 + p2)]
Il payoff atteso del giocatore I se egli sceglie A è uguale a:
[p1 / (p1 + p2)] u1(A, C) + [p2 / (p1 + p2)] u1(A, D)
Il payoff atteso del giocatore I se egli sceglie B è uguale a:
[p1 / (p1 + p2)] u1(B, C) + [p2 / (p1 + p2)] u1(B, D)
La conclusione è che al giocatore I conviene seguire
l’indicazione del Mediatore se:
[p1 / (p1 + p2)] u1(A, C) + [p2 / (p1 + p2)] u1(A, D) >
[p1 / (p1 + p2)] u1(B, C) + [p2 / (p1 + p2)] u1(B, D)
cioè se: p1 u1(A, C) + p2 u1(A, D) > p1 u1(B, C) + p2 u1(B, D)
I/II
C
D
A
p1
p2
B
p3
p4
Possibilità 2: Al giocatore I il Mediatore indica di scegliere B.
Al giocatore I conviene seguire l’indicazione del Mediatore se:
p3 u1(B, C) + p4 u1(B, D) > p3 u1(A, C) + p4 u1(A, D)
Possibilità 3: Al giocatore II il Mediatore indica di scegliere C.
Al giocatore I conviene seguire l’indicazione del Mediatore se:
p1 u2(A, C) + p3 u2(B, C) > p1 u2(A, D) + p3 u2(B, D)
Possibilità 4: Al giocatore II il Mediatore indica di scegliere D.
Al giocatore I conviene seguire l’indicazione del Mediatore se:
p2 u2(A, D) + p4 u2(B, D) > p2 u2(A, C) + p4 u2(B, C)
I/II
C
D
A
p1
p2
B
p3
p4
Definizione (Equilibrio Correlato)
Sia G = {S1, S2; u1, u2} un gioco con due
giocatori dove S1 = {A, B} e S2 = {C, D}.
Un Equilibrio Correlato di G è una
distribuzione di probabilità (p1,…, p4) su
S1 × S2 come indicato in figura tale che:
p1u1(A, C) + p2u1(A, D) ≥ p1u1(B, C) + p2u1(B, D)
p3u1(B, C) + p4u1(B, D) ≥ p3u1(A, C) + p4u1(A, D)
p1u2(A, C) + p3u2(B, C) ≥ p1u2(A, D) + p3u2(B, D)
p2u2(A, D) + p4u2(B, D) ≥ p2u2(A, C) + p4u2(B, C)
I/II
C
D
A
p1
p2
B
p3
p4
Proposizioni
Proposizione 1
Ogni distribuzione
di probabilità su
S1 × S2 indotta da
un EN di G è un
Equilibrio Correlato
di G.
Proposizione 2
Ogni combinazione
convessa
di
distribuzioni
di
probabilità su
S1 × S2 indotte da
EN di G è un
Equilibrio Correlato
di G.
Attenzione
Possono esistere Equilibri Correlati
di G che non sono combinazione
convessa di distribuzioni di
probabilità su S1 × S2 indotte da EN
di G.
Esempio:
Chicken Game
Il
gioco
“Chicken
Game” ha tre EN:
Il primo EN è in
strategie pure (A, D) =
((1, 0), (0, 1)).
Il secondo EN è in
strategie pure (D, A) =
((0, 1), (1, 0)).
Il terzo EN è in
strategie miste = ((2/3,
1/3), (2/3, 1/3)).
JIM/BUZZ
A
D
A
6, 6
2, 7
D
7, 2
0, 0
Inconvenienti
L’inconveniente (1) è legato
direttamente al fatto che il
gioco ha molteplici EN.
L’inconveniente (2) è legato al
fatto che il terzo EN induce una
distribuzione di probabilità su
S1S2 = {A, D} × {A, D} (riportata
di seguito) per la quale la
probabilità che i due giocatori
convergano sull’esito (D, D) è
1/9: tale esito non è un EN e –
in particolare – i giocatori in tal
modo ottengono un payoff (pari
a 0) minore del payoff che
otterrebbero convergendo verso
un EN.
JIM/BUZZ
A (2/3)
D (1/3)
A (2/3)
4/9
2/9
D (1/3)
2/9
1/9
Consideriamo
La distribuzione di probabilità su S1 × S2 indicata
di seguito in figura.
Essa non è ottenibile come combinazione
convessa di distribuzioni di probabilità su S1 × S2
indotte da EN del gioco.
Essa è un Equilibrio Correlato del gioco, come
verificato di seguito dalla definizione, mostrando
che le quattro disuguaglianze valgono
sostituendo gli opportuni valori.
1/3 * 6 + 1/3 * 2
1/3 * 7 + 0 * 0
1/3 * 6 + 1/3 * 2
1/3 * 7 + 0 * 0
≥
≥
≥
≥
1/3 * 7 + 1/3 * 0
1/3 * 6 + 0 * 2
1/3 * 7 + 1/3 * 0
1/3 * 6 + 0 * 2
JIM/BUZZ
A
D
A
1/3
1/3
D
1/3
0
Alcuni risultati sull’ Equilibrio
Correlato
(R1) La Proposizione 1 e la Proposizione 2 valgono
per ogni gioco finito.
(R2) Ogni gioco finito ha almeno un Equilibrio
Correlato: segue da (R1) e dal Teorema di Nash.
(R3) Il calcolo di un Equilibrio Correlato può essere
effettuato mediante la Programmazione Lineare
direttamente dalla definizione – in particolare è
possibile introdurre eventuali funzioni obiettivo in
base a eventuali preferenze.
Premio Nobel
“La guerra e gli altri conflitti sono tra le principali cause
della miseria umana. Un minimo di cooperazione è il
prerequisito per una società prospera.”
Così inizia la dichiarazione dell’accademia delle Scienze
svedese nel 2005, in occasione della consegna del premio
Nobel per l’economia al matematico
Robert J. Aumann (premio condiviso con T.C. Schelling)
“[…] per aver migliorato la nostra comprensione riguardo i
conflitti e la cooperazione utilizzando la teoria dei giochi.”
Grazie per l’attenzione
Un ringraziamento
speciale al
Prof. Raffaele Mosca.