Campana Matteo
Gianluca Proietti
Alberta Sassara
Giulia Vernali
PRESENTANO
Le geometrie non euclidee:
il paese delle meraviglie
I postulati di Euclide
Tra due punti è possibile tirare una sola retta
Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente
Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio
Tutti gli angoli retti sono uguali
Se una retta che taglia due rette determina dallo stesso lato
angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due
rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono
minori di due retti.
Oppure…
Date due rette parallele tagliate da una trasversale, la somma dei due angoli
coniugati interni è pari ad un angolo piatto
Data una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente ad essa, è possibile
tracciare per P una ed una sola retta parallela alla retta r data. (Assioma di
Playfair)
Rette parallele sono equidistanti. (Posidonio, I sec. a. C.)
La totalità dei punti equidistanti da una retta data , e dalla medesima parte di essa,
costituisce una linea retta. (Cristoforo Clavio, 1574)
Rette che non sono equidistanti convergono in una direzione e divergono nell'altra.
(Pietro Antonio Cataldi, 1603)
Esiste una coppia di triangoli simili e non congruenti. (Gerolamo Saccheri, 1733)
In ogni quadrilatero con tre angoli retti, anche il quarto angolo è retto. (AlexisClaude Clairaut, 1741; Johann Heinrich Lambert, 1766)
L’origine delle geometrie non euclidee
Vi è del vero in ciò: molte cose hanno un'epoca in cui sono scoperte allo stesso
tempo in luoghi differenti, come viole a primavera.
(lettera di Farkas Bolyai al figlio Jànos)
Gauss, 1813
Ferdinand Schweikart, 1818
Nicolaj Ivanovic Lobacevskij, 1830
Jànos Bolyai, 1831
Gauss
Ho creato dal nulla un nuovo universo.
(Gauss all’amico Farkas)
Scrive lettere private agli amici pregando loro di mantenere il silenzio per evitare
“strida dei beoti”
«Nella geometria non euclidea non esistono figure simili che non siano anche uguali;
gli angoli di un triangolo equilatero non hanno misura costante ma, al crescere della
lunghezza dei lati, diventano piccoli a piacere.»
La formula che esprime, nella geometria non euclidea, la misura della circonferenza di
raggio R:
k è una costante, della quale noi sappiamo per via d'esperienza che essa deve essere
eccezionalmente grande: è l'unità assoluta di misura dei segmenti di cui parla Gauss
Ferdinand Schweikart (1780-1859)
«Esistono due tipi di geometria - una geometria in senso ristretto, la euclidea; ed una
seconda geometria astrale in cui i triangoli hanno la particolarità che la somma dei loro
tre angoli non è uguale a due angoli retti ed è tanto più piccola quanto più è grande
l'area del triangolo.»
«L'altezza di un triangolo rettangolo isoscele, pur crescendo al crescere dei lati, tuttavia
non può superare un certo segmento che io chiamo costante e che la geometria euclidea
vale nell'ipotesi che la costante sia infinitamente grande.»
Franz Adolph Taurinus (1794-1874)
Giurista
Geometria logaritmico-sferica: la somma degli angoli di un triangolo è minore di π e al
tendere dei lati del triangolo a 0 la somma tende a π e i triangoli differiscono sempre
meno da quelli euclidei
Le formule della nuova trigonometria si potevano ottenere da quelle dell'usuale
trigonometria sferica considerando immaginario il lato della sfera:
al posto di r
Jànos Bolyai
Studio di una superficie a curvatura variabile
Scienza dello spazio assolutamente vera: geometria indipendente dal V postulato
«Per una sfera di raggio infinito F la geometria sferica è identica a quella piana.»
Sviluppa la trigonometria piana nel caso non euclideo, ne applica le formule al calcolo
delle aree e affronta il problema della costruzione di un quadrato equivalente ad un dato
cerchio.
Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (1793-1856)
Rifondazione globale della geometria.
Sviluppò una geometria nella quale il V postulato non fosse vero, o meglio, non fosse
indispensabile a qualunque geometria coerente.
Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733)
Gesuita e matematico
Vuole dimostrare il V postulato attraverso una dimostrazione per assurdo:
Il quadrilatero
Ipotesi sugli angoli del quadrilatero opposti a quelli
costruiti retti:
1. Gli angoli sono entrambi retti → si accetta il V
postulato
2. Gli angoli interni sono entrambi ottusi → si nega il V
postulato
3. Gli angoli interni sono entrambi acuti → si nega il V
postulato
«L'ipotesi dell'angolo ottuso è completamente falsa, poiché distrugge se stessa.»
«L'ipotesi dell'angolo acuto è assolutamente falsa, poiché ripugna alla natura della linea
retta.»
Data l’inconsistenza della sua confutazione si sente la necessità di
approfondire la questione e si apre la strada alle geometrie non euclidee.
La geometria iperbolica
Negazione dell’assioma di Playfair:
Esistono almeno un punto P ed una retta AB tali che:
I) P non è su AB né sul suo prolungamento.
II) Per P passano almeno 2 rette parallele ad AB
Le parallele iperboliche
Teorema 1
Le infinite rette che entrano
nell'angolo YPX, se prolungate,
intersecano AB o il suo
prolungamento
Le infinite rette che entrano nell'angolo ZPX, per quanto prolungate, non incontrano
mai la retta AB né il suo prolungamento. Queste sono dunque parallele ad AB
Definizione
La distinzione tra parallelismo asintotico e parallelismo divergente è fatta in riferimento
a punti specifici. Per ora non possiamo parlare di una retta semplicemente come di una
parallela asintotica o di una parallela divergente senza fare riferimento ad un punto
particolare.
Le parallele asintotiche
Possiamo pensare che ciascuna delle parallele asintotiche punti in una direzione
particolare (direzione di parallelismo): per WPX la direzione di parallelismo è da W
verso X, e per YPZ è da Z verso Y.
Teorema 2
Le parallele asintotiche ad una retta passanti per un punto formano angoli uguali e acuti
con la perpendicolare condotta dal punto alla retta.
Teorema 3
Se una retta è la parallela asintotica per un
punto dato, in una direzione data, a una
retta data, allora essa è, per ognuno dei
propri punti, la parallela asintotica nella
direzione data alla retta data.
Corollario
Se una retta è per un punto una parallela divergente a una retta data, allora essa lo è
anche per ciascuno dei propri punti.
Possiamo concludere che la proprietà di parallelismo, sia asintotico che divergente,
è una proprietà della retta globalmente intesa.
Il biangolo
Se dagli estremi di un segmento di retta data, e da uno
stesso lato vengono tracciate due rette parallele
asintoticamente l'una all'altra nella direzione in cui si
allontanano da essa, la figura che ne risulta si dice
biangolo, e il segmento dato ne è la base.
XABY è un biangolo. Ha solo due angoli,
da cui il nome, poiché i prolungamenti di
AX e di BY non si incontrano mai. AB è la
base.
WABZ non è un biangolo perché la
direzione di parallelismo è verso AB e non
a partire da AB come dovrebbe essere.
Teorema 8
In un biangolo un angolo esterno è maggiore dell'angolo interno e opposto.
Le parallele divergenti
Teorema 16
Se XABY è un biangolo e WCDZ è una figura composta da tre rette tali che CD=AB,
^WCD=^XAB e ^CDZ=^ABY, allora anche WCDZ è un biangolo.
Teorema 17
Due parallele divergenti hanno un'unica perpendicolare comune.
Teorema 18
Due parallele divergenti si allontanano l'una dall'altra da parti opposte rispetto alla
perpendicolare comune.
La perpendicolare comune rappresenta la distanza di massimo avvicinamento di due
parallele divergenti, e, scelto un punto su una delle due rette, più questo è distante dalla
perpendicolare comune, maggiore è la lunghezza della perpendicolare condotta da
questo punto all'altra retta.
L’angolo di parallelismo
p(l) = ^XPQ = ^YPQ < 90°
La grandezza dell'angolo rappresentato da p(l) non dipende dal punto P o dalla retta AB,
ma soltanto dalla distanza l fra essi.
Teorema 12
La base e la sommità di un quadrilatero di
Saccheri sono parallele divergenti, e tali
sono pure gli altri due lati.
Teorema 13
Gli angoli alla sommità di ogni
quadrilatero di Saccheri sono acuti.
Un altro modo di rappresentare il quadrilatero di Saccheri
Gli angoli ^ADM e ^MCB
sono effettivamente acuti, e la
sommità del quadrilatero è più
lunga della base.
I triangoli nella geometria euclidea
E' evidente come l'invarianza della somma degli angoli interni di un triangolo
discenda da una proprietà delle rette parallele che si fonda sul V postulato di
Euclide.
Nella geometria iperbolica non abbiamo il V postulato e di conseguenza il Teorema
29 di Euclide, non è quindi affatto scontato che gli angoli di un triangolo iperbolico
si comportino come quelli di un triangolo euclideo.
I triangoli iperbolici
In un triangolo la somma di due angoli è minore di un angolo piatto.
Teorema 14
La somma degli angoli di ogni triangolo è minore di 180°.
Dimostrazione
CAB = ^CAD + ^DAB
^ABD = ^ABC + ^CBD
^ACB = ^CBD
^CAD = ^ADB
→ per costruzione
→ poichè i triangoli ACM
e MBD sono congruenti
^ABC + ^BCA + ^CAB =
^ABC + ^CBD + (^CAD + ^ DAB) =
(^ABC + ^CBD) + ^CAD + ^DAB =
^ABD + ^ADB + ^DAB
^ACB + ^ABC + ^CAB < 180°
Corollario
La somma degli angoli di ogni quadrilatero è minore di 360°.
Teorema 15
Se due triangoli hanno rispettivamente uguali i tre angoli, allora sono congruenti.
Inoltre, nella geometria iperbolica, non esiste la similitudine.
Teorema 19 (generalizzazione)
Se la somma dei tre angoli di un triangolo è uguale alla somma dei tre angoli di un altro
triangolo, allora i due triangoli hanno la stessa area.
Il teorema di Pitagora
Negli Elementi di Euclide viene dimostrato facendo uso del V postulato…
Naturalmente nella geometria iperbolica non vale!!!
Il Teorema 13 ci porta ad affermare che in un quadrilatero di Saccheri la sommità è
sempre più lunga della base.
Se, per assurdo, fosse valido il
Teorema di Pitagora: BC2=AB2+AC2
DE2=AD2+AE2
Ma AD=1/2 AB e AE=1/2 AC, dunque
DE2=(1/2 AB)2+(1/2 AC)2 =1/4 AB2+1/4
AC2=1/4 (AB2+AC2)
E 1/4 (AB2+AC2) = 1/4 BC2 quindi
DE2=1/4 BC2 → DE=1/2 BC
Ma DE=1/2 FG … otteniamo che la sommità BC è uguale alla base FG. Questa è una
contraddizione.
L’area di un triangolo iperbolico
Quanto è più grande l’area di un triangolo iperbolico, tanto minore è la somma dei suoi
angoli.
Definizione
Il difetto di un triangolo è ciò che manca alla somma dei suoi angoli per raggiungere
180°: d=180°-α-β-γ
I difetti dei triangoli sono additivi.
d(ABD)+d(ADC) = (180°-α-β-γ) + (180°-δ-ε+Φ) =
180°-α-β-γ + 180°-δ-ε-Φ =
180°-α-β - (γ + δ) + 180°-ε-Φ=
180°-α-β - 180° + 180°-ε-Φ =
180°-α-β-ε-Φ =
180°-α- (β+ε) -Φ=
180°-α - ^BAC -Φ = d(ABC)
Naturalmente il fatto che i difetti siano additivi è il motivo per cui i triangoli con area
più grande hanno la somma degli angoli minore.
Il limite superiore per l’area dei triangoli
È possibile costruire un triangolo la cui area sia maggiore di qualsiasi area data.
Fra area e difetto di due qualunque triangoli iperbolici ABC e DEF vale la seguente
proporzione: Area(ABC) : difetto(ABC) = Area(DEF) : difetto(DEF)
Supponiamo ora che ABC sia un triangolo generico di cui vogliamo trovare l'area e
DEF un triangolo particolare; sia poi k il valore del rapporto Area(DEF) / difetto(DEF).
Area(ABC) / difetto(ABC) = k → Area(ABC) = k difetto(ABC)
K è una costante ed è indipendente dal particolare triangolo DEF utilizzato in origine
per esprimerla.
Il difetto d=180° - α - β - γ di un triangolo ABC è sempre <180°.
↓
Area(ABC) = k difetto(ABC) < k 180°
L'area di un triangolo iperbolico è limitata superiormente: nessun triangolo iperbolico
può avere un'area che uguagli o superi il valore k 180°.
Coerenza di un sistema assiomatico formale
Siamo sicuri che, negli sviluppi di questa nuova geometria, non
incontreremo una contraddizione che la distruggerebbe dalle
fondamenta?
Un sistema assiomatico è detto coerente se non dà luogo ad alcuna contraddizione nei
suoi fondamenti. Di solito, per dimostrare la coerenza di un sistema assiomatico
formale, se ne fornisce un "modello".
Dicesi modello di un sistema assiomatico formale ogni interpretazione dei termini
primitivi tale che gli assiomi diventino enunciati veri.
Per la geometria iperbolica si conoscono solo dimostrazioni di coerenze relative.
Eugenio Beltrami (1835-1900)
Saggio di interpretazione della geometria non euclidea (1868)
Aveva trovato all'interno della geometria euclidea, una superficie di rotazione, la
pseudosfera, che poteva essere interpretata come un modello euclideo di geometria non
euclidea.
Trattice: quella curva per la quale è costante il segmento di tangente compreso tra il
punto di contatto e una retta fissa del piano
Pseudosfera: ha una
curvatura costante come
quella di una sfera, ma di
segno negativo
-1/k2
Il modello di Beltrami aveva il difetto di essere valido solo localmente.
Il modello di Poincaré (1854-1912)
Lo scienziato non studia la natura perché è utile, ma perché ne prova piacere e ne
prova piacere perché è bella. Se la natura non fosse bella, non varrebbe la pena
studiarla e la vita non varrebbe la pena di essere vissuta.
[…] Gli assiomi della geometria sono delle convenzioni; la nostra scelta, fra tutte le
convenzioni possibili, è guidata da fatti sperimentali, ma resta libera e non trova dei
limiti che nella necessità di evitare le contraddizioni. […] Una geometria non può
essere più vera di un'altra; può essere soltanto più comoda.
Modello valido globalmente di geometria iperbolica
Lo spazio è un disco, le cui rette sono
archi di circonferenza segmenti di
retta perpendicolari al bordo del
disco.
Gli angoli formati fra due rette sono
quelli usuali, ma la distanza fra due
punti è definita in modo
completamente differente da quella
euclidea: questa tende a infinito
quando uno dei due punti viene
spostato verso il bordo del disco.
I punti nel bordo sono quindi "punti
all'infinito".
Modello di Klein
Si fissa una conica K irriducibile (un'ellisse o una
circonferenza), e si danno le seguenti interpretazioni
degli enti primitivi:
Punto: un punto interno a K; quindi i punti
appartenenti al bordo della conica non sono inclusi in
questo modello
Retta: corda di K con estremi esclusi
Piano: l'insieme dei punti interni a K
Poligoni
Un quadrato è un poligono con 4 lati
di eguale lunghezza e 4 angoli uguali
α. Nella geometria iperbolica α può
essere un qualsiasi angolo acuto.
Un ottaedro iperbolico
La geometria iperbolica si estende dal
piano allo spazio, e anche in dimensioni
arbitraria. Ciascuno dei modelli di spazio
iperbolico ha infatti una naturale
generalizzazione in dimensione n
qualsiasi. Esiste quindi una geometria
solida
dello
spazio
iperbolico
tridimensionale che è oggetto di studio
della matematica contemporanea. Di
particolare interesse sono i poliedri
iperbolici, come l'ottaedro mostrato in
figura.
Bernhard Riemann
Sulle ipotesi che stanno a fondamento della geometria
La geometria come un caso particolare di un nuovo concetto matematico ossia una
varietà pluridimensionale.
«È noto che la geometria presuppone, come qualcosa di dato, sia il concetto di
spazio, sia i primi concetti fondamentali per le costruzioni nello spazio. Di essi dà
soltanto definizioni nominali, mentre le determinazioni essenziali compaiono sotto
forma di assiomi.»
Introduce il concetto di grandezza molteplicemente estesa o molteplicità → nello
spazio fisico possono essere applicate proprietà metriche diverse.
La geometria euclidea vale solo a livello macroscopico.
« Ora, sembra che i concetti empirici su cui sono basate le misurazioni spaziali, in
particolare i concetti di corpo solido e di raggio luminoso, cessino di valere
nell'infinitamente piccolo»
La geometria ha il suo fondamento nell'analisi e analiticamente sono possibili
geometrie diverse e le misurazioni empiriche non sono in grado di determinare con
precisione le caratteristiche geometriche dello spazio fisico.
Le nuove geometrie vennero bollate come "geometrie del soprasensibile" o "da
manicomio".
Somma degli angoli di un triangolo euclideo
La geometria sulla sfera
Il piano e la superficie di una sfera sono entrambi ambienti geometrici
bidimensionali.
È importante osservare che la corrispondenza tra punti e coordinate, oltre ad essere
biunivoca, è bicontinua: se variamo di poco la posizione di P, cambieranno di poco
le sue coordinate (e viceversa).
La superficie di una sfera è un oggetto geometrico bidimensionale; ma possiamo
concepirlo solo se immerso nello spazio tridimensionale.
Il punto di vista di un essere bidimensionale, nello
studio della geometria della sfera, lo chiameremo
intrinseco.
Chiameremo invece estrinseco il nostro punto
di vista tridimensionale che ci consente di
contemplare la superficie di una sfera
immersa nello spazio.
La nozione di centro della superficie sferica è una nozione intrinseca o estrinseca?
Circonferenze massime
Sfera: l'insieme dei punti dello
spazio euclideo che hanno distanza
minore o uguale a r da O
Superficie sferica: l'insieme dei
punti che hanno distanza uguale a r
da O
Ogni piano che tagli una sfera
determina per sezione un cerchio; i
cerchi sezione hanno naturalmente
raggi diversi: si va da una situazione
limite di raggio nullo alla situazione
in cui il raggio è massimo ed è
uguale al raggio della sfera.
Quando il piano che sega la sfera
passa per il centro della sfera: la
sezione è un cerchio massimo e
sulla superficie sferica viene
individuata una circonferenza
massima.
Due punti P e P' sulla superficie di una sfera
si dicono antipodali o opposti se sono
allineati con il centro O della sfera (anche
questa è una definizione estrinseca)
Proprietà 1
Per ogni punto P sulla superficie di una sfera passano infinite circonferenze massime.
Dimostrazione
Per la prima osserveremo che per un punto P e il centro O passano infiniti piani
(possono ruotare liberamente attorno all'asse PO).
Proprietà 2
Sulla superficie di una sfera, per ogni coppia P, Q di punti non antipodali passa una e
una sola circonferenza massima
Dimostrazione
Per tre punti non allineati P, Q ed O passa uno e un solo piano che, contenendo O,
individua sulla superficie della sfera un'unica circonferenza massima
Analogamente sulla superficie di una sfera una circonferenza massima è individuata in
modo univoco da due punti purché non siano antipodali.
Possiamo allora assumere che le linee "rette" sulla superficie di una sfera siano le
circonferenze massime?
I percorsi più brevi
Tutti sanno che il percorso più breve che collega due punti P e Q nel piano euclideo è
un segmento di linea retta. Le rette sono dunque caratterizzate da una proprietà di
"minimo“.
Proprietà 1
Comunque presi due punti P e Q su una retta r, il segmento PQ di r è il percorso più
breve da P a Q tra tutti i percorsi possibili.
Dovremmo allora verificare che esse ci forniscono il percorso più breve tra due punti di
S2: si procede sperimentalmente.
Nozione intrinseca di distanza tra due punti: è la lunghezza dell'arco minore di
circonferenza massima che collega P con Q. ).
Il concetto unificante di linea geodetica
Diremo che una linea γ tracciata sulla superficie Σ è una linea geodetica se ogni arco
non troppo lungo di γ, i cui estremi siano i punti A e B, è il percorso più breve da A a B
tra tutti quelli tracciabili su Σ.
Curvatura
Le circonferenze sono linee piane a curvatura costante e
la loro curvatura è uguale all'inverso del raggio.
Facciamo tendere verso P sia il punto A che il punto B:
individueremo una circonferenza limite, che prende il nome di
cerchio osculatore a γ in P.
È anche chiaro cosa si debba intendere per raggio di curvatura
e centro di curvatura per una curva γ in P: si tratta
rispettivamente del raggio e del centro del cerchio osculatore a
γ in P.
Maggiore il raggio della circonferenza
↓
minore la curvatura
↓
minore la lunghezza dell'arco AB di
circonferenza
Geodetiche e curvatura intrinseca
Da un punto di vista intrinseco le circonferenze massime non hanno curvatura.
Nel caso del primo percorso le ruote si muovono su paralleli simmetrici rispetto
all'equatore quindi percorrono la stessa distanza; nel secondo percorso la ruota più a
nord percorre invece una distanza minore di quella più a sud (stiamo curvando).
Circonferenze intrinseche
Nella figura a fianco è rappresentata una
circonferenza intrinseca di centro P e raggio s.
Ma da un punto di vista estrinseco avrebbe
centro e raggio diversi:
La misura della raggio intrinseco r non è altro
che la misura in radianti dell'angolo a
r'=sena r
Quindi
c=2p sen r
Quindi il rapporto tra circonferenza e diametro
(intrinseco) non è, nella geometria sulla sfera,
costante e vale
c/(2r) = p sen r / r
La costante p non può dunque essere definita
in modo intrinseco come rapporto tra
circonferenza e diametro.
Si osservi tuttavia che per valori del raggio
intrinseco r molto piccoli (prossimi a zero) si
ritrova la situazione euclidea.
infatti si ha
lim p sen r / r = p
r®0
ricordando che
lim sen r / r = 1
r0
Geodetiche e curvatura estrinseca
Triangoli sferici
Nella figura a fianco vedete un triangolo sferico: i suoi tre lati
sono naturalmente segmenti di S2, cioè archi geodetici.
Chiamiamo triangolo sferico quella regione che ha area
minore delimitata da tre archi minori venti a coppie un
estremo in comune.
Viene dunque a cadere il teorema
euclideo sulla somma degli angoli di un
triangolo. Ma c'è di più: mentre la
somma degli angoli è costante per i
triangoli euclidei, per i triangoli sferici
tale somma varia al variare del triangolo.
Area di fusi sferici
Un fuso sferico è la regione della superficie
sferica compresa tra due semicirconferenze
massime
E' anche evidenziato l'angolo a del fuso.
a : π = A : 2π
A = 2a
E' infine evidente che l'area del doppio fuso
sferico della figura seguente è
A = 4a
Curvatura di una superficie
k = k1k2
La curvatura k=1/(r1r2) in P è positiva.
L'esistenza di regioni sia a curvatura positiva che a curvatura negativa ha delle
implicazioni fondamentali per la geometria sulla superficie: nelle regioni a
curvatura positiva la geometria sarà di tipo ellittico (somma degli angoli di un
triangolo maggiore di π), nelle regioni a curvatura negativa sarà di tipo iperbolico
(somma degli angoli di un triangolo minore di π).
Fine
