PRESENTAZIONE DI GEOMETRIA
PRESENTAZIONE
DI GEOMETRIA SOLIDA
SOLIDA
CLASSE 4 As
Di Marica Castaldo, Carmen Galdi,
Martina Ferreri e Emanuela Reale
Prof.ssa Russo Lucia
m
P 1- Per tre punti non allineati passa uno ed un
solo piano.
P 2-
a
·A
P (A,B,C)=a
·C
·B
Se due punti di una retta appartengono a
un piano, essa giace interamente sul piano.
·A
P 3- Un qualunque piano divide l’insieme dei
·B
a
punti dello spazio in due regioni dette semispazi
r(A,B)a
r
con le seguenti proprietà:
-Due punti qualsiasi della stessa regione sono gli
estemi di un segmento che non interseca il
piano;
S 1 , S2
semispazi
-- Due punti qualsiasi di regioni diverse sono gli
estremi di un segmento che interseca il piano
-Il piano si dice origine dei semispazi.
S1
a
2
RETTE E PIANI NELLO SPAZIO
D 1- Si chiama fascio proprio di piani l’insieme di tutti e soli i piani che passano
per una stessa retta r, detta sostegno o asse del fascio.
D 2- Si chiama stella propria di piani l’insieme di tutti e soli i piani che hanno un
punto P in comune, detto centro della stella.
·C
a
g
r
b
fascio proprio di piani
stella di
piani
D 3- Si chiama fascio proprio di rette l’insieme di tutte e sole le rette appartenenti ad uno stesso piano α e
passanti per un dato punto C detto centro del fascio.
D 4- Si chiama stella di rette l’insieme di tutte e sole le rette che passano per un punto C detto centro
della stella.
u
C
a
t
fascio di rette
s
r
C
r
s
t
a
stella di rette
u
LA POSIZIONE DI DUE RETTE NELLO
SPAZIO
D - Due rette distinte nello spazio si
dicono:
LA POSIZIONE DI UNA RETTA E
DI UN PIANO NELLO SPAZIO
D- Una retta e un piano nello spazio si dicono :
- incidenti: se hanno un solo punto in comune.
r
s
D
A
a
r
B C
r e s parallele
.P
a
r a = P
- complanari se esiste un piano che le
contiene. In tal caso possono essere
incidenti o parallele.
-paralleli: se non hanno punti in comune, oppure se li
hanno tutti
r
B
D s
r P
A
a
C
res
incidenti
a
r //
a
- sghembe se non esiste un piano che le
contenga entrambe.
T- Se una retta è parallela ad una retta di un piano, essa
è parallela al piano
s
A r
a
C
B
r e s sghembe
a
s
r
b
s//r ra s//a
LA POSIZIONE DI DUE PIANI NELLO SPAZIO
Due piani distinti nello spazio possono essere
:
- incidenti se hanno una retta in comune, che
T- Le intersezioni di piani paralleli con un
piano incidente sono rette parallele.
g
è l’intersezione tra i due piani
- paralleli se non hanno punti in comune
b
a
a
r
b
piani incidenti ab=r
b
a
piani paralleli
ab=
La relazione di parallelismo tra piani (o tra
rette) è una relazione di equivalenza.
L’insieme di tutte le rette parallele ad una
retta data è detto fascio improprio di rette:
esso individua la direzione della retta
L’insieme di tutti i piani paralleli ad un
piano dato si dice fascio improprio di piani
esso individua la giacitura del piano
s
r
a//b r=ag s=bg
r//s
T- Per un punto esterno ad un piano
si può condurre uno ed un solo piano
parallelo al piano dato.
P
.
b
a
Pa b//a Pb
IL TEOREMA DELLE TRE PERPENDICOLARI
Se dal piede di una
perpendicolare a un
piano si manda la
perpendicolare a una
qualunque retta del
piano,
quest’ultima
risulta perpendicolare
al piano delle prime
due.
LA DISTANZA PUNTO- PIANO E RETTA-PIANO
P
La proiezione ortogonale di un punto su un piano è il piede
della perpendicolare condotta dal punto al piano.
La lunghezza del segmento che ha per estremi il punto
H
a
e la sua proiezione sul piano si dice distanza del punto
dal piano.
Se una retta è parallela ad un piano allora tutti i suoi
punti sono equidistanti dal piano.
·A
1
b
a
s
· B
1
·
r
·
A
B
Dist(s,a) –
dist(a,b)
r
Si dice distanza di una retta da un piano ad essa
P
parallelo la distanza di un punto qualsiasi della retta dal
piano.
a
H
Q
r
-Date due rette sghembe
P
esiste una ed una sola retta
perpendicolare ad entrambe.
s
( r, s) e (s,t)
complanari
D-Si dice distanza di due
(r,t) sghembe
rette sghembe il segmento
compreso tra le due rette e
giacente sulla loro
perpendicolare.
dist(r,t) =dist(P,Q)
r
D-Si chiama angolo di una
retta con un piano l’angolo
acuto che la retta forma con
la sua proiezione sul piano.
r’
a
t
TEOREMA DI TALETE NELLO SPAZIO
Un fascio di piani paralleli determina su due rette trasversali segmenti corrispondenti
direttamente proporzionali.
Le due rette trasversali sono, in generale, sghembe tra loro.
Se le due rette trasversali sono complanari il teorema si riduce al teorema di Talete nel
piano.
r
g
d
g
d
b
a
b
t
s
a
r
s
DIEDRI
D-Si dice diedro ciascuna delle
due parti di spazio delimitate da
due semipiani aventi la stessa
origine ( semipiani compresi ).
I due semipiani si chiamano
facce del diedro e la loro origine
comune si dice spigolo del
diedro.
Un diedro è convesso se è una
figura convessa, concavo se non
è convesso.
D-Si dice sezione normale di un
diedro l’angolo che si ottiene
intersecando il diedro con un
piano perpendicolare al suo
spigolo.
Sezioni normali di uno stesso
diedro sono congruenti.
Diedri congruenti hanno sezioni
normali congruenti e viceversa.
Sezione normale di un diedro
Si dice ampiezza di un diedro l’ampiezza
della sua sezione normale.
Si dice diedro retto un diedro la cui
ampiezza è un angolo retto.
Due piani incidenti si dicono perpendicolari
se formano quattro diedri retti.
Analogamente agli angoli piani, si hanno
diedri acuti, diedri adiacenti, diedri opposti
allo spigolo.
b
a
Diedri
retti
Piani
perpendic
olari
POLIEDRO
Un poliedro è una figura solida
limitata da un numero finito di
poligoni appartenenti a piani diversi e
tali che il piano di ogni poligono non
attraversi il solido.
- I poligoni sono detti facce del poliedro, i lati dei
poligoni spigoli del poliedro, i vertici dei poligoni
vertici del poliedro.
-Si dice diagonale di un poliedro il segmento che
giunge due vertici non situati sulla stessa faccia.
- Un poliedro si dice regolare quando le sue facce
sono poligoni regolari congruenti e anche i suoi
angoloidi e suoi diedri sono congruenti
PRISMA
D-Si chiama prisma indefinito il
solido costituito da tutte le rette
parallele tra loro passanti per i punti
di un poligono convesso e non
appartenenti al piano di questo.
Le rette passanti per i vertici del
poligono si dicono spigoli del
prisma.
Prisma
indefinito
L’insieme di tutte le rette parallele
che passano per un lato del poligono
formano una striscia di piano che si
dice faccia del prisma indefinito
Se il poligono che genera il prisma
ha n lati (n vertici) il prisma risulta
delimitato da n diedri.
Le sezioni di un prisma indefinito
con piani paralleli tra loro sono
poligoni congruenti
h
Prisma particolari
D-Si dice prisma finito o prisma la
parte di prisma indefinito compreso
tra due piani paralleli distinti (piani
delle basi).
Le sezioni poligonali appartenenti ai
piani delle basi sono le basi del
C’
prisma.
L’altezza del prisma è la distanza tra i
due piani di base
Le facce laterali di un prisma sono
parallelogrammi.
Gli spigoli laterali di un prisma sono
congruenti.
Un prisma si dice retto se gli spigoli
sono perpendicolari ai piani delle basi.
Le facce laterali di un prisma retto
sono rettangoli
Un prisma si dice regolare se è retto
ed ha per basi poligoni regolari.
Le facce laterali di un prisma regolare
sono rettangoli tutti congruenti tra
loro.
D’
b
B’
E’
A’
C
D
a
E
Prisma retto
B
A
ANGOLOIDE
D-Dato un poligono convesso ABCD… e un punto V
non appartenente al piano del poligono, si chiama
superficie piramidale indefinita la figura formata dagli
angoli AVB , BVC, CVD…
Il punto V si chiama vertice della superficie
piramidale.
Le semirette AV , BV, CV, DV.. si chiamano spigoli .
Gli angoli AVB, BVC , CVD … ...... si chiamano facce.
D-Si chiama angoloide la parte di spazio formata da
tutte le semirette che hanno origine in V e che passano
per un punto di un poligono convesso
T- L’ampiezza di ogni faccia di un angoloide è minore
delle somma di tutte le altre.
T- La somma delle ampiezze delle facce di un angoloide
è minore di un angolo giro.
Le sezioni di un angoloide con dei piani
paralleli sono poligoni simili
I perimetri dei poligoni sono
proporzionali alle distanze del vertice dai
piani delle sezioni
Le aree dei poligoni sono proporzionali ai
quadrati delle distanze del vertice dai
piani sezioni
V
E
a
E
D
B
A
Superficie
piramidale
a
C
D
E ’ C
’
A
B’
’ D
’
C
A
B
Sezione
angoloide
TRIEDRI
D-Si dice triedro un angoloide con tre
facce.
V
La somma delle facce di un triedro è
minore di un angolo giro : AVB +BVC +CVA
< 2P
Criteri di congruenza dei triedri
1. Due triedri che hanno due facce e il diedro
C
compreso congruenti sono congruenti
A
B
2. Due triedri che hanno due diedri e la
faccia compresa congruenti sono
congruenti
3. Due triedri che hanno le tre facce
congruenti sono congruenti
4. Due triedri che hanno i tre diedri
congruenti sono congruenti.
triedro
PIRAMIDE
PIRAMIDE
D-Si chiama piramide l’intersezione tra un
angoloide di vertice V ed un semispazio
contenente V e tale che il suo piano origine
intersechi tutti gli spigoli laterali.
Il vertice dell’angoloide si dice vertice della
piramide
La sezione dell’angoloide con il piano origine del
semispazio si chiama base della piramide
Una piramide si dice retta se ha per base un
poligono circoscrittibile ad una circonferenza il cui
centro coincide con il piede dell’altezza della
piramide
-In una piramide retta i segmenti che congiungono
il vertice con i punti di tangenza dei lati del
poligono di base con la circonferenza inscritta sono
congruenti
In una piramide retta l’altezza della faccia laterale
si chiama apotema
Una piramide retta si dice regolare se ha per base
un poligono regolare.
I triangoli che delimitano la piramide si dicono
facce della piramide ed i loro lati spigoli
Secondo il numero delle facce la piramide si dice
triangolare, quadrangolare, ecc...
Nelle piramidi regolari gli spigoli laterali sono
congruenti e
le facce laterali sono triangoli isosceli
L’altezza di una piramide è il segmento di
perpendicolare condotto dal vertice al piano di
base.
V
C
D
H
A
Piramide
quadrangolare
B
Piramide retta
quadrandolare
I SOLDI DI ROTAZIONE
Si chiama solido di rotazione il solito generato dalla rotazione
di una figura piana intorno a una retta r, secondo un angolo
LA SFERA
La sfera è un solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio
attorno al suo diametro. La semicirconferenza che ruota genera una
superficie detta superficie sferica. Il raggio della semicirconferenza è detto
raggio della sfera.
IL CILINDRO
Un cilindro è un solido generato dalla rotazione completa di un rettangolo
attorno a uno dei suoi lati. Il lato attorno al quale ruota il rettangolo è detto
altezza del cilindro. Gli altri due lati perpendicolari all’altezza sono detti
raggi di base. Un cilindro si dice equilatero se la sua altezza è congruente al
diametro della base
IL CONO
Un cono è un solido generato dalla
rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno a uno dei cateti. Il
cateto attorno a cui ruota il triangolo è l’altezza, l’altro cateto è il raggio di
base. L’ipotenusa è detta apotema del cono
LE AREE DEI SOLIDI NOTEVOLI
Il prisma retto
La misura dell’area della superficie laterale di un prisma retto è uguale al prodotto della misura del
perimetro di base per la misura dell’altezza del prisma:
A=2p∙h
Il parallelepipedo rettangolo
La superficie laterale del parallelepipedo rettangolo è la somma di quattro rettangoli congruenti a due a
due
A= 2(a+b)∙c
L’area della superficie totale:
A= 2(a∙b + a∙c + b ∙c)
Il cubo
Le facce del cubo sono sei quadrati congruenti, quindi, se indichiamo con s la misura dello spigolo, si ha:
2
2
A=s
A=6s
La piramide retta
La misura dell’area della superficie laterale di una piramide retta è uguale al prodotto della misura del
semiperimetro di base per la misura dell’apotema della piramide:
A= p ∙ a
Il tronco di primaride retta
La misura dell’area della superficia laterale del tronco di piramide retta è uguale al prodotto
della somma delle misure dei semipermetri delle due basi per la misura dell’apotema:
A=(p+p’) ∙ a
Il cilindro
La misura dell’area della superficie laterale di un cilindro è uguale al prodotto delle misure
delle lunghezze della circonferenza di base e dell’altezza del cilindro:
A= 2π ∙ r ∙ h
Il cono
La misura dell’area della superficie laterale del cono è uguale al prodotto delle misure della
lunghezza della semicirconferenza di base dell’apotema del cono:
A= π ∙ r ∙ a
Il tronco di cono
La misura dell’area della superficie laterale del tronco di cono è uguale al prodotto delle
misure dell’apotema e della somma delle lunghezze delle semicirconferenze di base:
A= π ∙ a ∙ (r+r’)
L’area della superficie sferica
La misura dell’aria della superficie sferica è uguale a quattro volte quella del suo cerchio
massimo:
2
S=4 π r
L’area delle parti della superficie della sfera
Si calcola mediante la formula:
S=2 π Rh
