elementi di geometria solida
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PRESENTAZIONE DI GEOMETRIA PRESENTAZIONE DI GEOMETRIA SOLIDA SOLIDA CLASSE 4 As Di Marica Castaldo, Carmen Galdi, Martina Ferreri e Emanuela Reale Prof.ssa Russo Lucia m P 1- Per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano. P 2- a ·A P (A,B,C)=a ·C ·B Se due punti di una retta appartengono a un piano, essa giace interamente sul piano. ·A P 3- Un qualunque piano divide l’insieme dei ·B a punti dello spazio in due regioni dette semispazi r(A,B)a r con le seguenti proprietà: -Due punti qualsiasi della stessa regione sono gli estemi di un segmento che non interseca il piano; S 1 , S2 semispazi -- Due punti qualsiasi di regioni diverse sono gli estremi di un segmento che interseca il piano -Il piano si dice origine dei semispazi. S1 a 2 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO D 1- Si chiama fascio proprio di piani l’insieme di tutti e soli i piani che passano per una stessa retta r, detta sostegno o asse del fascio. D 2- Si chiama stella propria di piani l’insieme di tutti e soli i piani che hanno un punto P in comune, detto centro della stella. ·C a g r b fascio proprio di piani stella di piani D 3- Si chiama fascio proprio di rette l’insieme di tutte e sole le rette appartenenti ad uno stesso piano α e passanti per un dato punto C detto centro del fascio. D 4- Si chiama stella di rette l’insieme di tutte e sole le rette che passano per un punto C detto centro della stella. u C a t fascio di rette s r C r s t a stella di rette u LA POSIZIONE DI DUE RETTE NELLO SPAZIO D - Due rette distinte nello spazio si dicono: LA POSIZIONE DI UNA RETTA E DI UN PIANO NELLO SPAZIO D- Una retta e un piano nello spazio si dicono : - incidenti: se hanno un solo punto in comune. r s D A a r B C r e s parallele .P a r a = P - complanari se esiste un piano che le contiene. In tal caso possono essere incidenti o parallele. -paralleli: se non hanno punti in comune, oppure se li hanno tutti r B D s r P A a C res incidenti a r // a - sghembe se non esiste un piano che le contenga entrambe. T- Se una retta è parallela ad una retta di un piano, essa è parallela al piano s A r a C B r e s sghembe a s r b s//r ra s//a LA POSIZIONE DI DUE PIANI NELLO SPAZIO Due piani distinti nello spazio possono essere : - incidenti se hanno una retta in comune, che T- Le intersezioni di piani paralleli con un piano incidente sono rette parallele. g è l’intersezione tra i due piani - paralleli se non hanno punti in comune b a a r b piani incidenti ab=r b a piani paralleli ab= La relazione di parallelismo tra piani (o tra rette) è una relazione di equivalenza. L’insieme di tutte le rette parallele ad una retta data è detto fascio improprio di rette: esso individua la direzione della retta L’insieme di tutti i piani paralleli ad un piano dato si dice fascio improprio di piani esso individua la giacitura del piano s r a//b r=ag s=bg r//s T- Per un punto esterno ad un piano si può condurre uno ed un solo piano parallelo al piano dato. P . b a Pa b//a Pb IL TEOREMA DELLE TRE PERPENDICOLARI Se dal piede di una perpendicolare a un piano si manda la perpendicolare a una qualunque retta del piano, quest’ultima risulta perpendicolare al piano delle prime due. LA DISTANZA PUNTO- PIANO E RETTA-PIANO P La proiezione ortogonale di un punto su un piano è il piede della perpendicolare condotta dal punto al piano. La lunghezza del segmento che ha per estremi il punto H a e la sua proiezione sul piano si dice distanza del punto dal piano. Se una retta è parallela ad un piano allora tutti i suoi punti sono equidistanti dal piano. ·A 1 b a s · B 1 · r · A B Dist(s,a) – dist(a,b) r Si dice distanza di una retta da un piano ad essa P parallelo la distanza di un punto qualsiasi della retta dal piano. a H Q r -Date due rette sghembe P esiste una ed una sola retta perpendicolare ad entrambe. s ( r, s) e (s,t) complanari D-Si dice distanza di due (r,t) sghembe rette sghembe il segmento compreso tra le due rette e giacente sulla loro perpendicolare. dist(r,t) =dist(P,Q) r D-Si chiama angolo di una retta con un piano l’angolo acuto che la retta forma con la sua proiezione sul piano. r’ a t TEOREMA DI TALETE NELLO SPAZIO Un fascio di piani paralleli determina su due rette trasversali segmenti corrispondenti direttamente proporzionali. Le due rette trasversali sono, in generale, sghembe tra loro. Se le due rette trasversali sono complanari il teorema si riduce al teorema di Talete nel piano. r g d g d b a b t s a r s DIEDRI D-Si dice diedro ciascuna delle due parti di spazio delimitate da due semipiani aventi la stessa origine ( semipiani compresi ). I due semipiani si chiamano facce del diedro e la loro origine comune si dice spigolo del diedro. Un diedro è convesso se è una figura convessa, concavo se non è convesso. D-Si dice sezione normale di un diedro l’angolo che si ottiene intersecando il diedro con un piano perpendicolare al suo spigolo. Sezioni normali di uno stesso diedro sono congruenti. Diedri congruenti hanno sezioni normali congruenti e viceversa. Sezione normale di un diedro Si dice ampiezza di un diedro l’ampiezza della sua sezione normale. Si dice diedro retto un diedro la cui ampiezza è un angolo retto. Due piani incidenti si dicono perpendicolari se formano quattro diedri retti. Analogamente agli angoli piani, si hanno diedri acuti, diedri adiacenti, diedri opposti allo spigolo. b a Diedri retti Piani perpendic olari POLIEDRO Un poliedro è una figura solida limitata da un numero finito di poligoni appartenenti a piani diversi e tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido. - I poligoni sono detti facce del poliedro, i lati dei poligoni spigoli del poliedro, i vertici dei poligoni vertici del poliedro. -Si dice diagonale di un poliedro il segmento che giunge due vertici non situati sulla stessa faccia. - Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari congruenti e anche i suoi angoloidi e suoi diedri sono congruenti PRISMA D-Si chiama prisma indefinito il solido costituito da tutte le rette parallele tra loro passanti per i punti di un poligono convesso e non appartenenti al piano di questo. Le rette passanti per i vertici del poligono si dicono spigoli del prisma. Prisma indefinito L’insieme di tutte le rette parallele che passano per un lato del poligono formano una striscia di piano che si dice faccia del prisma indefinito Se il poligono che genera il prisma ha n lati (n vertici) il prisma risulta delimitato da n diedri. Le sezioni di un prisma indefinito con piani paralleli tra loro sono poligoni congruenti h Prisma particolari D-Si dice prisma finito o prisma la parte di prisma indefinito compreso tra due piani paralleli distinti (piani delle basi). Le sezioni poligonali appartenenti ai piani delle basi sono le basi del C’ prisma. L’altezza del prisma è la distanza tra i due piani di base Le facce laterali di un prisma sono parallelogrammi. Gli spigoli laterali di un prisma sono congruenti. Un prisma si dice retto se gli spigoli sono perpendicolari ai piani delle basi. Le facce laterali di un prisma retto sono rettangoli Un prisma si dice regolare se è retto ed ha per basi poligoni regolari. Le facce laterali di un prisma regolare sono rettangoli tutti congruenti tra loro. D’ b B’ E’ A’ C D a E Prisma retto B A ANGOLOIDE D-Dato un poligono convesso ABCD… e un punto V non appartenente al piano del poligono, si chiama superficie piramidale indefinita la figura formata dagli angoli AVB , BVC, CVD… Il punto V si chiama vertice della superficie piramidale. Le semirette AV , BV, CV, DV.. si chiamano spigoli . Gli angoli AVB, BVC , CVD … ...... si chiamano facce. D-Si chiama angoloide la parte di spazio formata da tutte le semirette che hanno origine in V e che passano per un punto di un poligono convesso T- L’ampiezza di ogni faccia di un angoloide è minore delle somma di tutte le altre. T- La somma delle ampiezze delle facce di un angoloide è minore di un angolo giro. Le sezioni di un angoloide con dei piani paralleli sono poligoni simili I perimetri dei poligoni sono proporzionali alle distanze del vertice dai piani delle sezioni Le aree dei poligoni sono proporzionali ai quadrati delle distanze del vertice dai piani sezioni V E a E D B A Superficie piramidale a C D E ’ C ’ A B’ ’ D ’ C A B Sezione angoloide TRIEDRI D-Si dice triedro un angoloide con tre facce. V La somma delle facce di un triedro è minore di un angolo giro : AVB +BVC +CVA < 2P Criteri di congruenza dei triedri 1. Due triedri che hanno due facce e il diedro C compreso congruenti sono congruenti A B 2. Due triedri che hanno due diedri e la faccia compresa congruenti sono congruenti 3. Due triedri che hanno le tre facce congruenti sono congruenti 4. Due triedri che hanno i tre diedri congruenti sono congruenti. triedro PIRAMIDE PIRAMIDE D-Si chiama piramide l’intersezione tra un angoloide di vertice V ed un semispazio contenente V e tale che il suo piano origine intersechi tutti gli spigoli laterali. Il vertice dell’angoloide si dice vertice della piramide La sezione dell’angoloide con il piano origine del semispazio si chiama base della piramide Una piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrittibile ad una circonferenza il cui centro coincide con il piede dell’altezza della piramide -In una piramide retta i segmenti che congiungono il vertice con i punti di tangenza dei lati del poligono di base con la circonferenza inscritta sono congruenti In una piramide retta l’altezza della faccia laterale si chiama apotema Una piramide retta si dice regolare se ha per base un poligono regolare. I triangoli che delimitano la piramide si dicono facce della piramide ed i loro lati spigoli Secondo il numero delle facce la piramide si dice triangolare, quadrangolare, ecc... Nelle piramidi regolari gli spigoli laterali sono congruenti e le facce laterali sono triangoli isosceli L’altezza di una piramide è il segmento di perpendicolare condotto dal vertice al piano di base. V C D H A Piramide quadrangolare B Piramide retta quadrandolare I SOLDI DI ROTAZIONE Si chiama solido di rotazione il solito generato dalla rotazione di una figura piana intorno a una retta r, secondo un angolo LA SFERA La sfera è un solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro. La semicirconferenza che ruota genera una superficie detta superficie sferica. Il raggio della semicirconferenza è detto raggio della sfera. IL CILINDRO Un cilindro è un solido generato dalla rotazione completa di un rettangolo attorno a uno dei suoi lati. Il lato attorno al quale ruota il rettangolo è detto altezza del cilindro. Gli altri due lati perpendicolari all’altezza sono detti raggi di base. Un cilindro si dice equilatero se la sua altezza è congruente al diametro della base IL CONO Un cono è un solido generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno a uno dei cateti. Il cateto attorno a cui ruota il triangolo è l’altezza, l’altro cateto è il raggio di base. L’ipotenusa è detta apotema del cono LE AREE DEI SOLIDI NOTEVOLI Il prisma retto La misura dell’area della superficie laterale di un prisma retto è uguale al prodotto della misura del perimetro di base per la misura dell’altezza del prisma: A=2p∙h Il parallelepipedo rettangolo La superficie laterale del parallelepipedo rettangolo è la somma di quattro rettangoli congruenti a due a due A= 2(a+b)∙c L’area della superficie totale: A= 2(a∙b + a∙c + b ∙c) Il cubo Le facce del cubo sono sei quadrati congruenti, quindi, se indichiamo con s la misura dello spigolo, si ha: 2 2 A=s A=6s La piramide retta La misura dell’area della superficie laterale di una piramide retta è uguale al prodotto della misura del semiperimetro di base per la misura dell’apotema della piramide: A= p ∙ a Il tronco di primaride retta La misura dell’area della superficia laterale del tronco di piramide retta è uguale al prodotto della somma delle misure dei semipermetri delle due basi per la misura dell’apotema: A=(p+p’) ∙ a Il cilindro La misura dell’area della superficie laterale di un cilindro è uguale al prodotto delle misure delle lunghezze della circonferenza di base e dell’altezza del cilindro: A= 2π ∙ r ∙ h Il cono La misura dell’area della superficie laterale del cono è uguale al prodotto delle misure della lunghezza della semicirconferenza di base dell’apotema del cono: A= π ∙ r ∙ a Il tronco di cono La misura dell’area della superficie laterale del tronco di cono è uguale al prodotto delle misure dell’apotema e della somma delle lunghezze delle semicirconferenze di base: A= π ∙ a ∙ (r+r’) L’area della superficie sferica La misura dell’aria della superficie sferica è uguale a quattro volte quella del suo cerchio massimo: 2 S=4 π r L’area delle parti della superficie della sfera Si calcola mediante la formula: S=2 π Rh
