PADOVA, Master 2016
Pieralberto Marchetti
Universita’ di Padova
Dipartimento G. Galilei di Fisica e Astronomia
Galilei a Padova, 1592-1610 - "Li diciotto anni
migliori di tutta la mia età".
La relatività speciale: Introduzione
• La relatività speciale è la teoria fisica che soggiace alla
concezione attuale della meccanica e
dell’elettromagnetismo classici
• Combinata con la meccanica quantistica fornisce il
paradigma attuale per la fisica delle particelle
elementari
• Essa ha modificato in profondità la nostra concezione
dello spazio e del tempo
• E’ associata in modo essenziale a una quantità fisica: la
velocità della luce
• Referenza: Einstein ‘’Relatività, esposizione divulgativa’’Boringhieri
La velocità della luce: esperimenti
• Forse il primo esperimento
per verificare se la velocità
fosse finita o no fu dovuto a
Galileo (1638) ma fu inconclusivo
• La prima determinazione di una velocità
finita (1676) è dovuta a
Roemer, osservando le eclissi
di un satellite di Giove
ottenendo ≈ 220.000 km/s
• La velocità della luce è ora denotata con
c (forse dal latino celeritas=velocità) e c ≈ 300.000 km/s
L’importanza della velocità della luce
• Ma l’importanza della velocità della luce va al di là della luce
stessa…per capirlo in profondità torniamo all’origine della Fisica…
• Aristotele, probabilmente motivato dal comportamento delle navi a
remi (…se i rematori smettevano di remare la
nave perdeva velocità, con il doppio di rematori
la velocità era doppia…) aveva ipotizzato che la
forza (F) causa del moto fosse proporzionale
alla velocità (v): F ≈ v → sistemi di riferimento con velocita’ diverse
descrivevano moti differenti di un corpo, perché con F diversa…
• Quando Galileo sostenne la tesi di Copernico che
la Terra orbita attorno al Sole (e si muove quindi
alla velocità di 30 km/s- allora stimata 1.5 km/s) ,
gli aristotelici del tempo obbiettarono che in tal
caso avremmo dovuto vedere cadere i sassi non in verticale….
La relatività galileiana
• Galileo rispose a questa obiezione con un colpo di
genio…immaginò degli esperimenti eseguiti
sottocoperta in una nave che si muovesse di moto
rettilineo con velocità uniforme arbitraria: …le stille cadenti
entreranno tutte nel vaso sottoposto…il fumo vedrassi ascender in alto,
trattenervesi e indifferentemente muoversi non più verso questa che quella
parte…(Dialogo sopra i massimi sistemi 1632)
• Trasse la conclusione: in tutti i sistemi di riferimento in
moto relativo rettilineo e uniforme le leggi della fisica
hanno la stessa forma (relatività galileiana)→ i corpi
cadono verticalmente anche se la Terra si muove
• Ma allora non può essere F ≈ v ma F ≈ a (accelerazione)
infatti Galileo (Padova 1607) scrive …a principiar il moto è ben
necessario il movente, ma a continuarlo basta il non haver contrasto…
Addizione delle velocità
• Relatività galileiana → il moto di un punto P é
lo stesso in un sistema (inerziale) S1 e in uno S2 che si muove rispetto
ad esso con velocità uniforme V
Assumendo inoltre il tempo assoluto
e invarianza della lunghezza ->
x1(t) = x2(t) + v t (trasformazioni di Galileo)
e
derivando («dividendo») rispetto a t :
v1(t)=v2(t)+V ( addizione delle velocità)
Disegno con spazio a 2 dimensioni
a tempo fissato
Perciò non c’è un sistema con una velocità privilegiata. Per
disegnare un sistema generico osserviamo che in quello con assi
ortogonali l’asse temporale è parallelo alla linea di moto
del corpo fermo in esso mentre l’asse spaziale
descrive punti simultanei nel tempo.
Disegno con spazio a 1 dimensione per sistemi S e S’
L’etere
• Quando con l’esperimento di
interferenza di Young si concluse
che la luce non era fatta di particelle,
come suggerito nell’antichità e
ripreso in modo matematizzato da
Newton, ma era un fenomeno ondulatorio, come
proposto da Hooke e Huygens,
si pensò necessaria l’esistenza di
un mezzo in cui le onde luminose
si propagavano. Tale mezzo fu
chiamato etere e si assunse che c fosse
la velocità di propagazione della luce nell’etere
Crepe nella relatività galileiana
• Per la legge di addizione delle velocita’ ad
esempio se una palla si muove a una velocita’
v rispetto al pavimento di un treno che viaggia
a velocita’ u, l’osservatore fermo sulla
banchina vede la palla muoversi a velocita’
u+v. Analogamente se da un razzo che si
muove con velocita’ v rispetto all’etere viene
emesso in avanti un raggio di luce che ha
velocita’ c nell’etere , un osservatore solidale
al razzo vedra’ la luce viaggiare a velocita’ c-v.
Questa “ovvia” proprieta’ fu dimostrata errata
dall’esperimento (Michelson-Morley 1887)
L’esperimento di Michelson-Morley
• Che ‘razzo’ usarono? La Terra che si
muove a una velocità di 30km/s
rispetto al Sole!
• Tempi per la luce previsti con l’addizione delle
velocità: v=velocità della Terra
t||≈ (2d/c )(1+v2/c2)
t ≈ (2d/c )(1+v2/2c2)
•
cioè t||≠ t
•
Ma trovarono t||=t
•
c come costante della Natura
• Come soluzione Einstein (ma similmente Poincaré) propose
(1905) oltre all’equivalenza tra sistemi inerziali
• Il postulato della Relativita’ Ristretta:
la velocita’ della luce e’ sempre la stessa
c≈300000km/s qualunque sia la velocita’
del sistema ( inerziale) in cui la si osserva
(la luce emessa da un razzo con velocita’ v rispetto alla Terra,
dalla Terra viene vista viaggiare a velocita’ c e non c-v come ci si
aspetta, quindi in MM i tempi sono uguali come in un sistema in
quiete)
• Una conseguenza e’ che il tempo non è
assoluto (già Poincaré 1902) e quello di un
sistema in moto rispetto a noi viene visto
trascorrere piu’ lentamente.
Conseguenza: il tempo rallenta con V
• Orologio luce: scandisce il tempo con un raggio
riflesso, quando il raggio ritorna al punto di emissione
segna l’unità di tempo
lunghezza l, idealmente
l
l = 150.000 km ->
orologio fermo t=2l/c =1 s
• Consideriamo ora un orologio-luce fermo su un razzo
che viaggia con velocità V, ortogonale a l, rispetto alla
Terra. Sulla lunghezza l entrambi i sistemi concordano
perché possono
V ->
confrontarla
direttamente essendo
ortogonale a V
il tempo rallenta con V
• Consideriamo ora il tempo del razzo (tr = 2l/c)
visto dalla Terra (tT)
• Poiché la velocità della luce è c
in tutti e due i sistemi, ma la luce
deve percorrere una distanza più lunga rispetto a
quella nel razzo (2 l) impiegherà un tempo
maggiore tT>tr
Pitagora: ct=(l2 +V2t2)1/2
tT=2t = 2 l/ (c2 -V2)1/2
-> t = l / (c2 -V2)1/2
= tr/ (1 -V2/ c2)1/2
Quindi non c’è un tempo assoluto e poiché tT>0,
V<c, ossia c è la velocità massima dei sistemi
Verifica sperimentale
• Una delle prime verifiche della dilatazione del
tempo relativistica fu basata sui raggi cosmici:
vi sono particelle elementari (muoni) create da
urti nell’alta atmosfera (≈ 5-10 Km) e che
viaggiano verso la superfice terrestre a
velocita’ prossime a c, piu’ precisamente
(1-v2 /c2)-1/2 ≈10 (si puo’ verificare tramite rivelatori) .
Quando esse sono ferme (si possono produrre in
laboratorio) esistono solo per un tempo (medio)
t ≈ 2· 10-6 s, quindi in fisica classica potrebbero percorrere (in media) 600 m. Eppure
sono osservate sulla superfice terrestre,
cio’ e’ possibile solo se il loro tempo e’
dilatato, e il fattore di dilatazione relativistico (1-v2 /c2)-1/2 ≈10 e’ in accordo con i dati
sperimentali.
c e la relatività della simultaneità
• Poiché c è la stessa in tutti i sistemi inerziali, invece di t
possiamo usare ct e per un raggio di luce si ha x=ct
• In sistema S1 , O equidistante da A e B , tutti fermi, emette
luce verso entrambi e si muove con velocità v rispetto a S2.
Come vede il fenomeno S2?
Relativistico
Non relativistico
In relatività la luce raggiunge simultaneamente A e B
in S1 ma non in S2!
Sistemi di riferimento relativistici
• In S1 vediamo che l’asse temporale
è parallelo alle linee che descrivono il
moto di A O B e l’asse spaziale è
parallelo alla linea di simultaneità
• Possiamo allora vedere con questa informazione
come S2 vede gli assi di S1
• Vediamo che la traiettoria della luce
biseca l’angolo tra gli assi.
• -> Sistemi
relativistici con
varie velocità
relative
Velocità della luce e causalità
• Nella zona in grigio una particella si muove con
v(uniforme)<c (interno del cono
di luce), in quella in nero con v>c
• Vediamo che D ,che è all’interno
del cono di luce di A, per tutti i
sistemi è successivo ad A, ma B,
raggiungibile da A solo con v>c,
è simultaneo ad A nel sistema
verde, successivo nel sistema rosso e precedente nel
sistema blu (ordine temporale relativo). Dunque se v>c
la causalità è violata: in un sistema di riferimento…una
particella con v>c potrebbe arrivare prima di partire…
Assoluto e relativo
• Durate temporali (e lunghezze
spaziali longitudinali) sono dunque
relative al sistema di riferimento
(inerziale), rimane assoluta di un
corpo la sua immagine nello
spazio-tempo.
Ad esempio se abbiamo
una sbarra solidale al sistema S’, la
sua immagine spazio-temporale
(area tratteggiata nella figura) è la stessa per
tutti gli osservatori, ma il modo in cui
è divisa in spazio e tempo (le linee del
tratteggio indicano punti simultanei nel sistema)
dipendono dal sistema.
Il tempo relativo
• Il tempo acquista un carattere relativo analogo
allo spazio galileiano; lo spazio non è più
legato al tempo in modo assoluto (come per
Galileo-Newton) ma forma un tuttuno
inscindibile detto spazio-tempo di Minkowski.
Citando proprio lui (1908) «Henceforth space by
itself, and time by itself, are doomed to fade away
into mere shadows, and only a kind of union of the
two will preserve an independent reality.»
Perché percepiamo un tempo assoluto?
• Forse la ragione sta nell’enorme valore della velocità
della luce c , 3000000000 su scale umane (m/s) [in un
secondo dalla Terra raggiunge la Luna]. Vediamo infatti
che se iniziamo a riscalare gli assi in modo da avere
come unità m e s, gli assi spaziali si avvicinano e
tendono a coincidere definendo un tempo assoluto.
[nella figura l’asse temporale invece di essere c s come nella
precedente è (c/10) s, dovremmo ancora ridurlo di un fattore 3
milioni!]
Massa = Energia
• Un altro effetto della Relativita’ e’ che un corpo fermo
ha energia per il solo fatto di avere massa: la celebre
E= m c2
Consideriamo due corpi (1 e 2) di ugual massa
m (non-relativistica ) in una scatola con massa
totale M. Il corpo 2 ha energia che
trasferisce a 1 tramite radiazione di energia E
a cui è associato un impulso p=E/c (teoria elett-magn.)
Sotto effetto di p la scatola si muove, ma quando
l’energia della radiazione è stata assorbita da 2, avendo
(non-relativ.) 2 la stessa massa il baricentro del
sistema sembra si sia mosso senza l’azione di
forze esterne. Il problema si risolve se l’assorbimento
di E ha variato la massa di δm, corrispondente, poiché
la radiazione si muove con velocità c, a un impulso
δm c= p =E/c,
-> E= δm c2
1
2
Energia e velocità della luce
• La formula E=mc2 e’ valida pero’ solo se la particella di
massa m e’ in quiete; se si muove con velocita’ v la
formula diventa
E= mc2/(1-v2/c2)1/2
che per v/c piccolo diventa E≈mc2+(1/2)m v2 (energia di massa+cinetica)
• Da qui si vede che puo’ essere ammessa , per E>0,
massa m=0 solo se v=c (lo 0 del numeratore e’ compensato dallo 0
del denominatore) , e in effetti particelle che hanno massa
nulla (come le particelle quantistiche di cui é fatta
microscopicamente la luce, i fotoni) si muovono
sempre a velocita’ c
massa(
) ≠ massa (
)
• Inoltre poiche’ nei sistemi (isolati) l’energia si conserva
ma non la massa , compaiono fenomeni impossibili
nella meccanica Newtoniana
Creazione e decadimenti di particelle
• Nuove particelle possono crearsi
in un urto di altre particelle, ad
esempio due protoni all’accele ratore LHC del CERN di Ginevra,
verifica continua della Relatività
• Decadimenti: una particella di massa
M puo’ decadere (“trasformarsi”) in altre particelle di
massa m1, m2 ,… purche’ M>m1+m2+…
(ad esempio un neutrone isolato decade in media in 15
minuti in un protone un elettrone e un antineutrino)
Ma per capire come sia possibile occorre anche la
Meccanica Quantistica, particelle relativistiche
classiche non possono “sparire” e “trasformarsi”…
Relatività generale: Introduzione
• La relatività generale è la teoria fisica che soggiace
alla concezione attuale della gravità
• Dopo la rivoluzione attuata dalla relatività speciale,
essa ha ulteriormente modificato la nostra
concezione dello spazio e del tempo in presenza di
materia
• E’ associata in modo essenziale a una coppia di
costanti fisiche: la velocità della luce (c) e la
costante di gravitazione di Newton (G)
• Referenza: Einstein ‘’Relatività, esposizione
divulgativa’’Boringhieri
Gravità e accelerazione
• In presenza di gravità un corpo libero cade con
accelerazione g. In un sistema in assenza di
gravità un corpo non «cade» ma rimane fermo.
• Supponiamo che tale sistema in
assenza di gravità sia sottoposto ad
accelerazione costante –g, diventi
cioè un «ascensore a gravità 0».
L’ osservatore (Einstein in fig.) accelerato
vedrà allora «cadere» i corpi liberi con accelerazione g e
potrebbe concludere di essere fermo in presenza di una
gravità g ( Newton in fig).
Relatività+gravità=Relatività
• Uno dei postulati della relatività generale, la
teoria della gravitazione di Einstein, è appunto il
principio di equivalenza che asserisce che in una
piccola regione dello spazio-tempo è impossibile
distinguere tra gli effetti della gravità e di una
accelerazione.
• Se aggiungiamo ora il principio di relatività
generale di equivalenza di tutti i sistemi di
riferimento, anche quelli accelerati, non solo
quelli inerziali della relatività speciale, possiamo
usare situazioni che si presentano in sistemi
accelerati per capire come funziona la gravità.
La gravità deforma la geometria
• Nell’ascensore a gravità 0 accelerato un
raggio di luce che entra perpendicolarmente
alla parete viene visto incurvarsi verso il
pavimento dell’ascensore (per un osservatore
esterno è il pavimento che si avvicina
alla traiettoria del raggio).
• Per il principio di equivalenza concludiamo che la gravità incurva le traiettorie dei
raggi di luce che non sono più rette. Poiché la
gravità è prodotta dalla massa (o dall’energia),
concludiamo che la geometria dello spazio non
è data a priori ma determinata dalla materia
(verifica sperimentale:curvatura dei raggi
di
di luce dalle stelle in prossimità del Sole)
La gravità deforma il tempo
• Ma anche il tempo si deforma in presenza di
gravità…Consideriamo un disco che ruota, l’osservatore
solidale al disco è sottoposto a una accelerazione centrifuga
che , nulla al centro, cresce all’allontanarsi da esso. Per il
principio di equivalenza è come se fosse sottoposto a un
campo gravitazionale che cresce allontanandosi dal centro.
• L’orologio-luce situato al centro è sincrono con quello
dell’osservatore esterno, ma poiché allontanandosi dal centro
il percorso del raggio di luce diventa progressivamente più
lungo, il tempo segnato rallenta. Per il principio di equivalenza
possiamo concludere che un osservatore in assenza di gravità
vedrà l’orologio di un
osservatore in un campo
gravitazionale rallentare
tanto di più quanto più
intenso è il campo.
Buchi neri
• Il tempo è visto rallentare sempre più al crescere de
l’intensità della gravità a cui è sottoposto l’orologio: ci sono
situazioni fisiche in cui possiamo vedere il tempo
«fermarsi» ?
• I raggi luminosi si incurvano verso la sorgente della gravità,
immaginiamo allora che tale gravità sia così intensa che i
raggi di luce possano raggiungere la sorgente dell’attrazione
gravitazionale ma non possano allontanarsi da essa. Una
tale sorgente è un buco nero e la superficie da cui la luce
non può allontanarsi è il suo orizzonte.
La perdita del tempo globale
• Un osservatore distante dal buco nero
vedrebbe l’orologio di un astronauta che vi
puntasse verso rallentare fino a «fermarsi»
sull’orizzonte che non vedrebbe quindi mai
raggiunto ( nell’orologio luce, la luce sarebbe così attirata
dal buco nero che ci metterebbe un tempo «infinito» a lasciare
lo specchio…). E’ come se per l’osservatore esterno
non ci fosse un tempo aldilà dell’orizzonte
• Ma per l’astronauta che vi sta cadendo dentro
(linea verde in fig.) invece i raggi di luce
dell’orologio luce continuano a seguire
l’astronave e il tempo c’è ancora anche al di
là dell’orizzonte,solo che superato l’orizzonte
non può più comunicarlo all’esterno
Spazio-tempo senza
gravità, linee di
simultaneità blu, linee
dei raggi di luce nere
Spazio-tempo di un buco
nero, orizzonte=linea
rossa
Buchi neri: prove sperimentali
• Vediamo quindi che con la relatività non
solo il tempo dipende dagli osservatori,
ma addirittura non è più garantita
l’esistenza di un tempo globale per tutti
gli osservatori!! Le verifiche sperimentali
dell’esistenza dei buchi neri sono sempre
più stringenti , in particolare si osserva la
radiazione della materia attirata verso
l’orizzonte, i buchi neri infatti continuano
ad aumentare la loro massa e il loro
orizzonte “inghiottendo” la materia
vicina
attratta
gravitazionalmente,
emettendo radiazione. Attualmente si
ritiene che ci sia un buco nero al centro
di molte galassie compresa la nostra…
STELLA DIVORATA DA UN BUCO NERO
Le equazioni di Einstein
• L’equazione delle gravità di Einstein spiega come
cambia la geometria dello spazio-tempo in
presenza della materia che induce la gravità, con
il vincolo di preservare l’energia e l’impulso totale
di materia+ gravità.
• Le orbite seguite dai corpi in presenza della
gravità sono quelle più brevi in quella geometria.
• Lo spazio-tempo non è più dunque un
‘’contenitore passivo’’ ma diventa dinamico.
• Una applicazione importante di questa idea che
ha avuto di recente una clamorosa conferma è
quella delle onde gravitazionali
Accelerazione e onde
• Per rimanere nel più
usuale
ambito
elettromagnetico:
una
carica accelerata emette
onde elettromagnetiche
come si può intuire
disegnando le linee di
forza e considerando che
la
velocità
di
propagazione dei segnali
elettromagnetici è finita:c
Onde gravitazionali
• La stessa cosa succede in
relatività generale per masse
accelerate, in cui l’onda è una
distorsione dello stesso
spazio-tempo.
• Ma visto che la interazione
gravitazionale ha una
intensità 1/1041 volte quella
elettromagnetica occorrono
campi gravitazionali davvero
intensi per osservarle…
Come sono state viste
280 riflessioni portano a un cammino di
1220 Km
Δn ≈560 Δl/λ; Δl ≈10-6 raggio atomo
LIGO (Laser Interferometer Gravitationalwave Observatory): l’interferometro
Il segnale
Segnale confrontato con
le previsioni della
relatività generale
Interpretazione del
segnale
