Nando Geronimi

La probabilità nei giochi
matematici
Frascati 16 ottobre 2011
Nando Geronimi
Centro Pristem Bocconi
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Il primo problema
Il cavaliere de Méré propose a Pascal il seguene problema:
“E’ più facile vincere se si scommette che lanciando 4 volte 1 dado
si presenti almeno una volta il 6, oppure se si scommette che
lanciando 24 volte 2 dadi si presenti almeno una volta il doppio 6?”
Calcolo di de Méré:
Il rapporto tra il numero dei
lanci (4 o 24) e il numero dei
casi possibili (6 o 36) è lo
stesso: 4:6=24:36.
Sembra che le due
probabilità sia uguali.
Calcolo di Pascal:
E1: esca almeno una volta il 6 in 4 lanci”
E2: esca almeno una volta il doppio 6 in
24 lanci”.
P(E1)=1- (5/6)4= 0,5177…
P(E2)=1-(35/36)24 = 0,4914…
1/6+1/6+1/6+1/6=4/6=2/3
(1/6x1/6)+(1/6x1/6)+ ……=24x(1/36)=24/36=2/3
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Il triangolo ottusangolo
In un piano sono dati tre punti non allineati.
Calcolare la probabilità che i tre punti siano vertici di un
triangolo ottusangolo. (Lewis Carrol)
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Il triangolo ottusangolo
Chiamiamo con AB il segmento maggiore.
Tracciamo gli archi R1 e R2 aventi centro
rispettivamente in A e in B, e raggio AB;
chiamiamo con P il loro punto di intersezione.
Il terzo punto C si trova nella regione di piano
compresa tra il segmento AB e gli archi AP e
BP.
Tracciamo un semicerchio di diametro AB.
I segmenti AC e BC sono gli altri due lati di un
triangolo.
Se il punto C è interno al semicerchio il
triangolo è ottusangolo.
P
C2
C1
A
B
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Il triangolo ottusangolo
P
La probabilità richiesta è il rapporto tra l’area
del semicerchio e l’area della regione di piano
individuata dal segmento AB e dai due archi AP
e BP.
C
A
B
Indipendentemente dall’unità di
misura, la probabilità è:
p=(π/2)/((4π/3)-√3) = 0,639…
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Le sfere multicolori
Un’urna contiene sfere di quattro colori: rosso,
bianco, azzurro e verde. Estraendo
contemporaneamente 4 sfere a caso, i seguenti
eventi sono tutti ugualmente possibili:
(a)
(b)
(c)
(d)
4 sfere rosse
1 sfera bianca e 3 rosse
1sfera bianca, 1 azzurra e 2 rosse
4 sfere di colori diversi.
Quante sfere ci sono al minimo nell’urna?
Indichiamo con r, b ,a,v il numero
di sfere di ogni colore, per un totale
di r+b+a+v= n sfere.
Il numero di casi possibili è:
Il numero di casi favorevoli per ogni
estrazione è:
a)
= rx(r-1)x(r-2)x(r-3)/24
b)
c)
d)
=bxrx(r-1)x(r-2))/6
=bxaxrx(r-1))/2
=bxaxrxv
I quattro prodotti devono essere uguali tra
loro
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Le sfere multicolori
Da a) e b) si ricava b=(r-3)/4
Da b) e c) si ricava a= (r-2)/3
Da c) e d) si ricava v= (r-1)/2
Qual è il più piccolo numero che diviso
per 4 dà resto 3, diviso per 3 dà resto 2 e
diviso per 2 da resto 1?
E’ il m.c.m tra2, 3 e 4, diminuito di 1,
cioè 11. Da cui:
n=21
r=11 b=2 a=3 v=5
Indichiamo con r, b ,a,v il numero di
sfere di ogni colore, per un totale di
r+b+a+v= n sfere.
Il numero di casi possibili è: .
Il numero di casi favorevoli per ogni
estrazione è:
a)
= rx(r-1)x(r-2)x(r-3)/24
b)
c)
d)
=bxrx(r-1)x(r-2))/6
=bxaxrx(r-1))/2
=bxaxrxv
I quattro prodotti devono essere uguali tra
loro
FRASCATI, 16 ottobre 2011
La mancia e gli scacchi
“Papà mi regali 10 Euro?”
“No Paolo, devi guadagnarteli! Facciamo tre partite a scacchi,
contro di me e contro tua madre.
Puoi scegliere l’ordine delle partite tra: padre-madre-padre oppure
madre-padre-madre.
Se vinci almeno due partite consecutive ti sarai guadagnato i 10
Euro”.
Sapendo che Paolo, nel gioco degli scacchi è più debole del
padre ma più forte della madre, quale sarà la sua scelta
nell’ordine delle partite per avere la maggiore probabilità di
guadagnarsi i 10 Euro?
FRASCATI, 16 ottobre 2011
La mancia e gli scacchi
Facciamo una simulazione.
Indichiamo con p la
probabilità di vincere contro il
padre e con q la probabilità di
vincere contro la madre.
Supponiamo che le due
probabilità siano
rispettivamente: p=0,20 e
q=0,70.
La probabilità totale di
guadagnare 10 Euro è:
Nel caso madre-padre-madre:
qxpxq
= 0,7x0,2x0,7=0,098
qxpx(1-q) = 0,7x0,2x0,3 =0,042
(1-q)xpxq = 0,3x0,2x0,7 =0,042
La probabilità totale è: 0,182
Nel caso padre-madre-padre:
pxqxp = 0,2x0,7x0,2 = 0,028
pxqx(1-p) = 0,2x0,7x0,8 = 0,112
(1-p)xqxp = 0,8x0,7x0,2 = 0,112
La probabilità totale è: 0,252
FRASCATI, 16 ottobre 2011
4-La mancia e gli scacchi
Generalizziamo:
indichiamo con p la
probabilità di vincere
contro il padre e con
q la probabilità di
vincere contro la
madre.
La probabilità totale
di guadagnare 10
Euro è:
Paolo ha una maggiore
probabilità di avere 10 Euro
giocando in successione con
Padre - Madre - Padre
Nel caso madre-padre-madre:
qxpxq
= q2xp
qxpx(1-q) = pxq- q2xp
(1-q)xpxq = pxq- q2xp
La probabilità totale è: 2xpxq- q2xp
Nel caso padre-madre-padre:
pxqxp = p2xq
pxqx(1-p) = pxq- p2xq
(1-p)xqxp = pxq- p2xq
La probabilità totale è: 2xpxq- p2xq
Dal confronto dei risultati si ha:
2xpxq- p2xq > 2xpxq- q2xp infatti:
- p2xq > - q2xp o q2xp > p2xq
perché q>p
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Il dado irregolare
In un dado irregolare la
probabilità che si presenti una
certa faccia è direttamente
proporzionale al suo valore.
Calcolare la probabilità di
ciascuna faccia.
p(1) = 1/21
p(2) = 2/21
p(3) = 3/21
p(4) = 4/21
p(5) = 5/21
p(6) = 6/21
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Il dado irregolare
Si lanciano due dadi irregolari e si sommano i due valori
ottenuti (per ognuno dei dadi, la probabilità che si presenti
una certa faccia è direttamente proporzionale al suo
valore).
Quale somma ha maggiore probabilità di verificarsi?
Il dado irregolare
Si lanciano due dadi
irregolari e si
sommano i due
valori ottenuti (per
ognuno dei dadi, la
probabilità che si
presenti una certa
faccia è direttamente
proporzionale al suo
valore).
Quale somma ha
maggiore probabilità
di verificarsi?
1
1/21
2
2/21
3
3/21
4
4/21
5
5/21
6
6/21
1
2
3
4
5
6
1/21
2/21
3/21
4/21
5/21
6/21
Il dado irregolare
Si lanciano due dadi
irregolari e si
sommano i due
valori ottenuti (per
ognuno dei dadi, la
probabilità che si
presenti una certa
faccia è direttamente
proporzionale al suo
valore).
Quale somma ha
maggiore probabilità
di verificarsi?
1
2
3
4
5
6
1/21
2/21
3/21
4/21
5/21
6/21
1
1/21
2:1/441
3:2/441
4:3/441
5:4/441
6:5/441
7:6/441
2
2/21
3:2/441
4:4/441
5:6/441
6:8/441
7:10/441
8:12/441
3
3/21
4:3/441
5:6/441
6:9/441
7:12/441
8:15/441
9:18/441
4
4/21
5:4/441
6:8/441
7:12/441
8:16/441
9:20/441
10:24/441
5
5/21
6:5/441
7:10/441
8:15/441
9:20/441
10:25/441
11:30/441
6
6/21
7:6/441
8:12/441
9:18/441
10:24/441
11:30/441
12:24/441
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Il dado irregolare
Si lanciano due dadi
irregolari e si
sommano i due
valori ottenuti (per
ognuno dei dadi, la
probabilità che si
presenti una certa
faccia è direttamente
proporzionale al suo
valore).
Quale somma ha
maggiore probabilità
di verificarsi?
1
2
3
4
5
6
1/21
2/21
3/21
4/21
5/21
6/21
1
1/21
2:1/441
3:2/441
4:3/441
5:4/441
6:5/441
7:6/441
2
2/21
3:2/441
4:4/441
5:6/441
6:8/441
7:10/441
8:12/441
3
3/21
4:3/441
5:6/441
6:9/441
7:12/441
8:15/441
9:18/441
4
4/21
5:4/441
6:8/441
7:12/441
8:16/441
9:20/441
10:24/441
5
5/21
6:5/441
7:10/441
8:15/441
9:20/441
10:25/441
11:30/441
6
6/21
7:6/441
8:12/441
9:18/441
10:24/441
11:30/441
12:24/441
Somma 8: 70/441 Somma 9: 76/441
Somma 10: 73/441
FRASCATI, 16 ottobre 2011
“Ho un asso!”
Alice sta giocando a bridge, dopo aver guardato le
proprie carte annuncia: “Ho un asso!”.
Qual è la probabilità che Alice abbia un secondo asse?
5359/14498, meno di 1/2
FRASCATI, 16 ottobre 2011
“Ho un asso di quadri!”
Bob sta giocando a bridge, dopo aver guardato le proprie
carte annuncia: “Ho un asso di quadri!”
Qual è la probabilità che Bob abbia un secondo asse?
11686/20825, più di 1/2
FRASCATI, 16 ottobre 2011
7/a “Ho un asso!”
ALICE
Alice e Bob stanno giocando con un mazzo di quattro carte:
asso di picche (1♠),
asso di quadri (1♦),
due di fiori (2♣) e
cinque di cuori (5♥).
Ognuno riceve due carte.
Dopo aver guardato le proprie, Alice annuncia: “Ho un asso!”
Qual è la probabilità che Alice abbia un secondo asse?
BOB
1♠-1♦
5♥-2♣
1♠-2♣
5♥-1♦
1♠-5♥
2♣-1♦
1♦-2♣
5♥-1♠
1♦-5♥
2♣-1♠
Probabilità:1/5
FRASCATI, 16 ottobre 2011
7/a “Ho un asso quadri!”
Alice e Bob stanno giocando con un mazzo di quattro
carte: asso di picche (1♠), asso di quadri (1♦), due di
fiori (2♣) e cinque di cuori (5♥). Ognuno riceve due
carte. Dopo aver guardato le proprie, Bob annuncia.
“Ho un asso di quadri!”.
Qual è la probabilità che Bob abbia un secondo asse?
BOB
ALICE
1♠-1♦
5♥-2♣
1♠-2♣
5♥-1♦
1♠-5♥
2♣-1♦
1♦-2♣
5♥-1♠
1♦-5♥
2♣-1♠
Probabilità:1/3
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Un problema di Laplace
Delle tre urne A, B e C una contiene solo palline nere, mentre le altre
due contengano solo palline bianche.
Si estrae una pallina dall’urna C.
Qual è la probabilità che sia nera?
A
B
C
Se si ignora quale urna contenga le palle nere, la
probabilità di estrarre una palla nera dall’urna C è 1/3.
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Un problema di Laplace
Delle tre urne A, B e C una contiene solo palline nere, mentre le
altre due contengano solo palline bianche.
Si estrae una pallina dall’urna C.
Qual è la probabilità che sia nera?
A
B
C
Se si sa che l’urna A contiene solo palle bianche, la
probabilità di estrare una palla nera dall’urna C è 1/2.
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Un problema di Laplace
(1814
Delle tre urne A, B e C una contiene solo palline nere, mentre le
altre due contengano solo palline bianche.
Si estrae una pallina dall’urna C.
Qual è la probabilità che sia nera?
A
B
C
Se si sa che le urne A a e B contengono solo palle bianche, si
ha la certezza che la palla estratta dall’urna C è nera.
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Un problema di Lewis Carroll
(1897)
Un amico mi presenta un sacco che contiene quattro gettoni, ognuno
dei gettoni può essere bianco (B) o nero (N).
Mi invita ad estrarre due gettoni: sono entrambi bianchi.
Poi mi dice: “Volevo dirti, prima di farti estrarre i gettoni, che
almeno uno è bianco. Ma ora già lo sai, non ho più bisogno di
dirtelo.
Prendi ora un altro gettone”
1) Qual è la probabilità di estrarre il terzo gettone bianco?
2) Quale sarebbe la probabilità se mi avesse detto prima del gettone
bianco?
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Un problema di Lewis Carroll
(1897)
E: “prima estrazione due gettoni bianchi”
F: “seconda estrazione un gettone bianco”
1–1
1-2-1
1-3-3-1
1-4-6-4-1
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
P(E) = 1x1/16 + 1/2 x 4/16 + 1/6 x 6/16 + 0 x 4/16 + 0 x 1/16 = 1/4
1
1/2
0
P(E∩F) = 1x1/16 + 1/4 x 4/16 + 0 x 6/16 + 0 x 4/16 + 0 x 1/16 = 1/8
P(F/E) = P(E∩F/E) = (1/8) / (1/4) = 1/2
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Un problema di Lewis Carroll
(1897)
E: “prima estrazione due gettoni bianchi”
F: “seconda estrazione un gettone bianco”
1–1
1-2-1
1-3-3-1
1-4-6-4-1
1/16 1/8
P(E) =
4/16 3/8
6/16 3/8
4/16 1/8
1x1/8 + 1/2 x 3/8 + 1/6 x 3/8 + 0 x 1/8
P(E∩F) = 1x1/8 + 1/4 x 3/8 +
= 3/8
0 x 3/8 + 0 x 1/8 = 7/32
P(F/E) = P(E∩F/E) = (7/32) / (3/8) = 7/12
FRASCATI, 16 ottobre 2011
La lettera attesa
Sono in vacanza e aspetto notizie da due amici che si soggiornano
entrambi in provincia di Trento uno a BONDONE, l’altro a CONDINO.
Ricevo una lettera da quella provincia, del il timbro postale riesco a
leggere solo le due lettere consecutive ON, tutto il resto è
completamente invisibile.
Qual è la probabiltà che la lettera che ho ricevuto provenga da
CONDINO?
FRASCATI, 16 ottobre 2011
La lettera attesa
Sono in vacanza e aspetto notizie
da due amici che si soggiornano
entrambi in provincia di Trento uno
a BONDONE, l’altro a CONDINO.
Ricevo una lettera da quella
provincia, dal timbro postale riesco
a leggere solo le due lettere
consecutive ON, tutto il resto è
completamente invisibile. Qual è la
probabiltà che la lettera che ho
ricevuto provenga da CONDINO?
Entrambe le località sono nomi
formati da sette lettere;
in ognuna si possono avere 6 coppie
di lettere consecutive:
BO – ON – ND – DO – ON - NE
CO - ON – ND - DI – IN - NO
La probabiltà che la lettera che ho
ricevuto provenga da CONDINO è 1/3
FRASCATI, 16 ottobre 2011
QUADRATILANDIA
Sono in visita a Quadratilandia.
Parto da un incrocio e vado verso Nord (vedi la figura).
Ad ogni incrocio lancio una moneta: se viene Testa giro a destra,
se viene Croce giro a sinistra.
Qual è la probabiltà che dopo
aver lanciato 7 volte la moneta
e percorso 8 tratti, mi ritrova
nell’incrocio da cui sono
partito?
FRASCATI, 16 ottobre 2011
QUADRATILANDIA
Indichiamo con +i uno spostamento unitario verso
Si fa ritorno al
Nord, con –i uno spostamento unitario verso Sud,
punto di partenza
con +1 uno spostamento unitario verso Est e con -1
se la somma
uno spostamento unitario verso Ovest.
degli otto
Gli otto possibili spostamenti unitari sono, nell’ordine: movimenti è 0.
+i, ±1, ±i, ±1, ±i, ±1, ±i, ±1.
La somma dei diversi i (+i, ±i, ±i, ±i) si può scrivere
in 23=8 modi diversi e 3 di questi hanno somma 0:
(+i, +i, -i, -i)
(+i, -i, +i, -i)
(+i, -i, -i, +i)
La somma dei diversi 1 (±1, ±1, ±1, ±1) si può scrivere
in 24 =16 modi diversi e 6 di questi hanno somma 0:
(+1, +1, -1, -1) (+1, -1, +1, -1) (+1, -1, -1, +1)
(-1, +1, +1, -1) (-1, +1, -1, +1) (-1, -1, +1, +1)
La probabilità che mi ritrova al punto di partenza è 3/8 x 6/16 = 9/64
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Le scelte di Ali-Baba
Il sultano disse ad Ali-Baba:
“Ecco due urne, 13 palline bianche e 13 palline nere. Ripartisci tu
le palline nelle due urne, io poi farò in modo di renderle
indistinguibili tra loro.
Tu prenderai una sola pallina da una delle due urne; se la pallina
sarà bianca, tu sarai libero, altrimenti sarai impiccato”.
Ali-Baba ripartisce le 26 palline in modo da massimizzare la
probabilità di salvarsi.
Quale probabilità ha Ali-Baba di salvarsi?
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Le scelte di Ali-Baba
Il sultano disse ad Ali-Baba:
“Ecco due urne, 13 palline bianche e 13 palline nere. Ripartisci tu
le palline nelle due urne, io poi farò in modo di renderle
indistinguibili tra loro.
Tu prenderai una sola pallina da una delle due urne; se la pallina
sarà bianca, tu sarai libero, altrimenti sarai impiccato”.
Ali-Baba ripartisce le 26 palline in modo da massimizzare la
probabilità di salvarsi.
Quale probabilità ha Ali-Baba di salvarsi?
(1/2)x1 + (1/2)x12/25 = 27/50
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Triangoli
Ci sono cinque segmenti lunghi rispettivamente 2,4,6,8,10 cm.
Scegliendo a caso tre segmenti, che probabilità abbiamo di poter
costruire un triangolo?
Le terne possibili sono
1Solo le terne (4,6,8) –
(4,8,10) – (6,8,10) soddisfano la condizione per costruire un
triangolo.
La probabilità è 3/10
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Divisori
M è un numero intero che ha la proprietà che se scegliamo a caso
un numero x dall’insieme dei primi 1000 numeri interi positivi, la
probabilità che x sia un divisore di M è 1/100.
Se M≤1000, trovare il massimo valore che può assumere.
Il numero deve avere esattamente 10 divisori, la sua
scomposizione in fattori primi deve essere tale che abbia due soli
fattori, uno con eponente 4 e l’altro con esponente 1.
Il fattore elevato alla quarta potenza deve essere < 5 perché 54=625
(che dovremmo poi moltiplicare per il secondo fattore primo).
Restano due soli casi possibili: 24 x61=976 (24 x 67=1072)
34 x11=891 (34 x13=1053)
M=976
FRASCATI, 16 ottobre 2011
La data di compleanno
Bob è stato invitato ad una serata a casa di Alice, una amica
matematica.
Quando Bob arriva alla festa, Alice lo accoglie calorosamente con
queste parole: “Grazie al tuo arrivo, ora siamo in numero
sufficiente affinchè la probabilità che almeno due dei presenti
festeggino il loro compleanno nello stesso giorno è maggiore di ½,
escludendo naturalmente il caso che uno sia nato il 29 febbraio”.
Qual è la probabiltà che almeno uno dei presenti festeggi il
compleanno nello stesso giorno di Bob?
FRASCATI, 16 ottobre 2011
La data di compleanno
Probabilità che due persone non
siano nate nello stesso giorno:
Probabilità che tre persone non
siano nate nello stesso giorno:
364/365
364/365 x 363/365
Probabilità che quattro persone 364/365 x 363/365 x 362/365
non siano nate nello stesso giorno:
FRASCATI, 16 ottobre 2011
La data di compleanno
NUMERO DI AMICI
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
ULTIMO FATTORE
364
363
362
361
360
359
358
357
356
355
354
353
352
351
350
349
348
347
346
345
344
343
342
341
340
339
338
337
336
335
334
333
332
331
330
329
328
327
326
325
324
323
322
321
320
319
318
317
316
315
314
313
312
311
310
309
308
307
306
305
304
303
302
301
PRODOTTI SUCCESIVI
364
132132
47831784
17267274024
6,21622E+12
2,23162E+15
7,98921E+17
2,85215E+20
1,01536E+23
3,60454E+25
1,27601E+28
4,50431E+30
1,58552E+33
5,56517E+35
1,94781E+38
6,79785E+40
2,36565E+43
8,20881E+45
2,84025E+48
9,79886E+50
3,37081E+53
1,15619E+56
3,95416E+58
1,34837E+61
4,58445E+63
1,55413E+66
5,25296E+68
1,77025E+71
5,94803E+73
1,99259E+76
6,65525E+78
2,2162E+81
7,35778E+83
2,43542E+86
8,0369E+88
2,64414E+91
8,67278E+93
2,836E+96
9,24536E+98
3,0047E+101
9,7354E+103
3,1445E+106
1,0125E+109
3,2502E+111
1,0401E+114
3,3178E+116
1,0551E+119
3,3446E+121
1,0569E+124
3,3292E+126
1,0454E+129
3,272E+131
1,0209E+134
3,1749E+136
9,8422E+138
3,0412E+141
9,367E+143
2,8757E+146
8,7995E+148
2,6839E+151
8,1589E+153
2,4722E+156
7,4659E+158
2,2472E+161
POTENZE DI 365 PROBABILITA’ DATA DIVERSA
365
0,99726
133225
0,991796
48627125
0,983644
1,77E+10
0,972864
6,48E+12
0,959538
2,36E+15
0,943764
8,63E+17
0,925665
3,15E+20
0,905376
1,15E+23
0,883052
4,2E+25
0,858859
1,53E+28
0,832975
5,59E+30
0,80559
2,04E+33
0,776897
7,45E+35
0,747099
2,72E+38
0,716396
9,92E+40
0,684992
3,62E+43
0,653089
1,32E+46
0,620881
4,83E+48
0,588562
1,76E+51
0,556312
6,43E+53
0,524305
2,35E+56
0,492703
8,57E+58
0,461656
3,13E+61
0,4313
1,14E+64
0,401759
4,16E+66
0,373141
1,52E+69
0,345539
5,55E+71
0,319031
2,03E+74
0,293684
7,39E+76
0,269545
2,7E+79
0,246652
9,85E+81
0,225028
3,59E+84
0,204683
1,31E+87
0,185617
4,79E+89
0,167818
1,75E+92
0,151266
6,38E+94
0,135932
2,33E+97
0,12178
8,5E+99
0,108768
3,1E+102
0,096848
1,1E+105
0,08597
4,1E+107
0,076077
1,5E+110
0,067115
5,5E+112
0,059024
2E+115
0,051747
7,3E+117
0,045226
2,7E+120
0,039402
9,8E+122
0,03422
3,6E+125
0,029626
1,3E+128
0,025568
4,8E+130
0,021995
1,7E+133
0,018862
6,3E+135
0,016123
2,3E+138
0,013738
8,4E+140
0,011668
3,1E+143
0,009878
1,1E+146
0,008335
4,1E+148
0,007011
1,5E+151
0,005877
5,5E+153
0,004911
2E+156
0,00409
7,3E+158
0,003396
2,7E+161
0,00281
9,7E+163
0,002317
PERCENTUALE DATA UGUALE
0,273973
0,820417
1,635591
2,713557
4,046248
5,62357
7,433529
9,462383
11,69482
14,11414
16,70248
19,44103
22,31025
25,29013
28,3604
31,50077
34,69114
37,91185
41,14384
44,36883
47,56953
50,72972
53,83443
56,86997
59,82408
62,68593
65,44615
68,09685
70,63162
73,04546
75,33475
77,49719
79,53169
81,43832
83,21821
84,8734
86,40678
87,82197
89,12318
90,31516
91,40305
92,39229
93,28854
94,09759
94,82528
95,47744
96,0598
96,57796
97,03736
97,4432
97,80045
98,11381
98,3877
98,62623
98,83324
99,01225
99,1665
99,29894
99,41227
99,50888
99,59096
99,66044
99,71905
99,76831
FRASCATI, 16 ottobre 2011
La data di compleanno
Scegliendo a caso
24persone quale
ritenete sia la
probabilità che
due o più di esse
abbiano lo stesso
giorno di
nascita?
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930
FRASCATI, 16 ottobre 2011
La suddivisione dei bastoni
Se rompiamo un’infinità di bastoni, qual è la probabilità che
almeno uno sia rotto esattamente a metà?
(Lewis Carrol)
Immaginiamo di dividere ogni bastone in (n+1) parti con
n numero dispari e che gli n punti abbiano tutti la stessa
probabilità di essere punto di rottura.
FRASCATI, 16 ottobre 2011
La suddivisione dei bastoni
La probabilità che 1 bastone non sia diviso nel suo punto
centrale è (n-1)/n.
La probabilità che con n bastoni nessuno sia diviso nel suo
centro è ((n-1)/n)^n = (1-1/n)^n.
La probabiltà che con n bastoni almeno uno sia diviso al suo
centro è: 1- (1-1/n)^n.
Al tendere di n all’inifnito si ha:
lim (n→ ∞) (1- (1-1/n)^n) = 1- 1/e ≈ 0,632
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Il paradosso di Pietroburgo
Si lancia una moneta da 1 centesimo.
Se viene testa il lanciatore paga 1 dollaro all’avversario;
se viene croce il lancio viene ripetuto e se ora viene testa il
lanciatore paga 2 dollari.
Se viene croce si ripete il lancio e se viene testa il lanciatore
paga 4 dollari. In breve, la posta viene raddoppiata ad ogni
lancio e si continua sinchè non viene richiesto il pagamento.
Quanto dovrebbe mettere di posta l’avversario per avere il
privilegio di giocare a questo gioco?
L’avversario ha sempre il diritto di scegliere se iniziare una
nuova partita o di finire il gioco.
(Daniel Bernoulli)
1$
T
C
C
T
C
T
C
T
FRASCATI, 16 ottobre 2011
2$
4$
8$
Il paradosso di Pietroburgo
Qualsiasi somma, diciamo pure un milione
di dollari per ogni singola partita.
In ogni singola partita si ha la probabilità:
½ di vincere 1 $
¼ di vincere 2 $
1/8 di vincere 4$
…….
La vincita totale prevedibile è.
(1x1/2)+(2x1/4)+(4x1/8)…..
La somma di questa serie illimitata è infinita
Qualsiasi somma pagasse in anticpito per ogni singola
partita l’avversario vincerebbe alla fine giocando un
sufficiente numero di partite.
1$
T
C
C
T
C
T
C
T
Si suppone che si disponga di un capitale illimitato e
che si possa giocare un numero illimitato di partite.
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Un problema di Lewis Carroll
(1887)
Un sacco contiene due gettoni, ognuno può essere bianco ( )
oppure nero ( ).
Nel sacco si aggiungono due gettoni bianchi (+ + ) ed uno nero
( + ).
Si estraggono tre gettoni: due sono bianchi (- ) e uno è nero
(- )
Si aggiunge un nuovo gettone bianco (+
anche questo è bianco (- ).
) e si estrae un gettone:
Qual è la probabilità che ora il sacco contenga due gettoni bianchi?
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Un problema di Lewis Carroll
(1887)
Un sacco contiene due gettoni, ognuno può essere bianco ( )
oppure nero ( ).
Nel sacco si aggiungono due gettoni bianchi (+ + ) ed uno nero
( + ).
Si estraggono tre gettoni: due sono bianchi (- ) e uno è nero
(- )
Si aggiunge un nuovo gettone bianco (+
anche questo è bianco (- ).
?
±
) e si estrae un gettone:
?
?
±
±
Qual è la probabilità che ora il sacco contenga due gettoni bianchi?
FRASCATI, 16 ottobre 2011
Un problema di Lewis Carroll
(1887)
Un sacco contiene due gettoni, ognuno può essere bianco ( )
oppure nero ( ).
Nel sacco si aggiungono due gettoni bianchi (+ + ) ed uno nero
( + ).
Si estraggono tre gettoni: due sono bianchi (- ) e uno è nero
(- )
Si aggiunge un nuovo gettone bianco (+
anche questo è bianco (- ).
?
±
) e si estrae un gettone:
?
?
±
±
Qual è la probabilità che ora il sacco contenga due gettoni bianchi?
FRASCATI, 16 ottobre 2011