E’ molto bello trovare sul cammino studenti che hanno voglia di capire e approfondire.
Per aiutarvi a svolgere esercizi che prevedono il calcolo diretto del Montante e dei
relativi valori ottenuti applicando le formule inverse ho esplicitato in questo file i vari
passaggi. Spero risultino chiari …se volete, divertitevi a svolgere qualche esercizio…
LE FORMULE FINANZIARIE
interesse semplice
Premessa: L‘INTERESSE, in economia, è la somma dovuta come compenso
(=remunerazione) per ottenere la disponibilità di un CAPITALE (solitamente una somma
di denaro ottenuta in prestito – si parla di finanziamento – oppure la possibilità di pagare
un determinato acquisto in un periodo successivo – in questo caso si ha una dilazione di
pagamento) per un certo periodo di TEMPO. Il compenso di questa operazione viene
definito in una percentuale (RAGIONE PERCENTUALE o tasso di interesse) e sarà quindi
proporzionale al CAPITALE, al TASSO e al TEMPO,
= INTERESSE
= CAPITALE
r = RAGIONE PERCENTUALE o tasso di interesse
t = tempo periodo in anni, (gg/365; mesi/12)
Formula diretta dell’interesse = Carota
Cxrxt
100
Se il tempo è espresso in mesi:
I=Cxrxt
1.200
Se il tempo è espresso in giorni (anno civile ordinario):
I= Cxrxt
36.500
Se il tempo è espresso in giorni (anno bisestile):
I= Cxrxt
36.600
Se il tempo è espresso in giorni(*)
(anno commerciale):
I= Cxrxt
(*) in questo caso per convenzione
36.000
tutti i mesi si considerano di 30 giorni)
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Al termine del periodo concordato, il debitore dovrà restituire al creditore la somma
ottenuta in prestito cioè C (RIMBORSO) e corrispondere inoltre il compenso per il
servizio ottenuto determinato dall’interesse I (REMUNERAZIONE).
La somma del CAPITALE e dei relativi INTERESSI maturati in un dato periodo di tempo
viene definita MONTANTE (M).
= +
Per costruire la formula diretta del montante già sai che I = Cxrxt quindi:
100
M = C + Cxrxt
100
A questo punto, puoi esplicitare la formula applicando le proprietà invariantive delle
funzioni matematiche che hai studiato con la tua prof. di matematica:
1) Proprietà invariantiva della sottrazione: in una sottrazione possiamo aggiungere o
sottrarre lo stesso numero al minuendo ed al sottraendo e la differenza non
cambia
2) Proprietà invariantiva della divisione: la proprietà invariantiva della divisione
afferma che se si moltiplicano o dividono per lo stesso numero entrambi i termini
della divisione, il risultato non cambia
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Attraverso pochi semplici passaggi matematici otterrai quindi:
M = C + Cxrxt
m.c.m=100 M = 100 C+ Cxrxt
100
100
Puoi raccogliere il termine comune «C» ed ecco definita la formula bella snella
come piace ai matematici:
M = C (100+rxt)
100
Le formule dirette del montante sono quindi le seguenti:
Se il tempo è espresso in ANNI: Se il tempo è espresso in MESI:
M = C (100+ r x t)
M = C (1.200+ r x t)
100
1.200
Se il tempo è espresso in GIORNI (anno civile ordinario):
M = C (36.500+ r x t)
36.500
Se il tempo è espresso in GIORNI (anno bisestile):
M = C (36.600+ r x t)
36.600
Se il tempo è espresso in GIORNI (anno commerciale):
M = C (36.000+ r x t)
36.000
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Partiamo dalla formula generale:
M = C(100+rt)
100
Se vuoi definire la formula che ti consente di quantificare il CAPITALE e cioè arrivare alla
formula C = …. applicando le proprietà di base studiate in matematica dovrai divertirti
un po’ facendo «ballare» le varie componenti della formula (per questo ti ho messo l’immagine
riportata sopra a destra).
Prima di tutto, per avere già C a sinistra ti conviene partire da C(100+rt) = M
100
A questo punto puoi moltiplicare entrambi i termini dell’uguaglianza per 100 in modo da
non avere più 100 a denominatore e arriverai a:
C(100+rt) = 100M
Ora «isolare» C è facile: basta moltiplicare entrambi i termini dell’uguaglianza per
1
. in matematica occorre precisare che (100+ rt)≠0
(100+rt)
Arriverai quindi finalmente alla formula diretta per il calcolo di C:
C=
100M .
(100+rt)
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Le formule inverse del Montante per il calcolo del CAPITALE saranno quindi:
Se il tempo è espresso in ANNI:
C = ( 100 M )
(100+rt)
Se il tempo è espresso in MESI:
C = ( 1200 M )
(1200+rt)
Se il tempo è espresso in GIORNI (anno civile ordinario):
C = ( 36.500 M )
(36.500+rt)
Se il tempo è espresso in GIORNI (anno bisestile):
C = ( 36.600 M )
(36.600+rt)
Se il tempo è espresso in GIORNI (anno commerciale):
C = ( 36.000 M )
(36.000+rt)
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Partiamo ancora dalla formula generale:
M = C(100+rt)
100
Se vuoi definire la formula che ti consente di quantificare la RAGIONE PERCENTUALE e cioè
arrivare alla formula r = … sempre partando da C(100+rt) = M per avere r a sinistra
100
Puoi moltiplicare entrambi i termini dell’uguaglianza per 100 in modo da non avere più 100 a
denominatore e arriverai a:
C(100+rt) = 100M
Moltiplicando entrambi i termini dell’uguaglianza per l’inverso di C e cioè per 1
Ovviamente specificando che C≠0
C
Arriverai a: (100+rt) = 100M ora puoi anche togliere le parentesi e avrai:
C
100+rt = 100M
puoi sottrarre 100 a entrambi i termini dell’uguaglianza e otterrai:
C
rt = 100M -100 facendo il m.c.m avrai: rt= 100M -100C puoi raccogliere 100:
C
C
e arriverai a rt= 100(M-C) e ricordarti che M-C= I quindi rt=100 I
C
C
E siamo quasi arrivati al nostro obiettivo di trovare r= … dividendo per t entrambi i termini
dell’uguaglianza otterrai infatti:
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r=
100 I .
Ct
Le formule inverse del Montante per il calcolo del TASSO DI INTERESSE saranno quindi:
Se il tempo è espresso in ANNI:
r = ( 100 I )
Ct
Se il tempo è espresso in MESI:
r = ( 1.200 I )
Ct
Se il tempo è espresso in GIORNI (anno civile ordinario):
r = ( 36.500 I )
Ct
Se il tempo è espresso in GIORNI (anno bisestile):
r = ( 36.600 I )
Ct
Se il tempo è espresso in GIORNI (anno commerciale):
r = ( 36.000 I )
Ct
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MONTANTE (interesse semplice)
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Anche questa volta partiamo dalla formula generale:
M = C(100+rt)
100
Ci puoi già arrivare partendo dal penultimo passaggio visto prima per esplicitare r, comunque
se vuoi definire la formula che ti consente di quantificare il TEMPO e cioè arrivare alla
formula t = … sempre partendo da C(100+rt) = M per avere t a sinistra
100
Puoi moltiplicare entrambi i termini dell’uguaglianza per 100 in modo da non avere più 100 a
denominatore e arriverai a:
C(100+rt) = 100M
Moltiplicando entrambi i termini dell’uguaglianza per l’inverso di C e cioè per 1
Ovviamente specificando che C≠0
C
Arriverai a: (100+rt) = 100M ora puoi anche togliere le parentesi e avrai:
C
100+rt = 100M
puoi sottrarre 100 a entrambi i termini dell’uguaglianza e avrai:
C
rt = 100M -100 facendo il m.c.m otterrai: rt= 100M -100C puoi raccogliere 100:
C
C
e arriverai a rt= 100(M-C) e ricordarti che M-C= I quindi rt=100 I
C
C
E siamo quasi arrivati al nostro ultimo obiettivo di trovare t= … dividendo per r entrambi i
termini dell’uguaglianza avrai infatti:
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t=
100 I .
Cr
Le formule inverse del Montante per il calcolo del TEMPO saranno quindi:
Se il tempo è espresso in ANNI:
t = ( 100 I )
Cr
Se il tempo è espresso in MESI:
t = ( 1.200 I )
Cr
Se il tempo è espresso in GIORNI (anno civile ordinario):
t = ( 36.500 I )
Cr
Se il tempo è espresso in GIORNI (anno bisestile):
t = ( 36.600 I )
Cr
Se il tempo è espresso in GIORNI (anno commerciale):
t = ( 36.000 I )
Cr
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