E’ molto bello trovare sul cammino studenti che hanno voglia di capire e approfondire. Per aiutarvi a svolgere esercizi che prevedono il calcolo diretto del Montante e dei relativi valori ottenuti applicando le formule inverse ho esplicitato in questo file i vari passaggi. Spero risultino chiari …se volete, divertitevi a svolgere qualche esercizio… LE FORMULE FINANZIARIE interesse semplice Premessa: L‘INTERESSE, in economia, è la somma dovuta come compenso (=remunerazione) per ottenere la disponibilità di un CAPITALE (solitamente una somma di denaro ottenuta in prestito – si parla di finanziamento – oppure la possibilità di pagare un determinato acquisto in un periodo successivo – in questo caso si ha una dilazione di pagamento) per un certo periodo di TEMPO. Il compenso di questa operazione viene definito in una percentuale (RAGIONE PERCENTUALE o tasso di interesse) e sarà quindi proporzionale al CAPITALE, al TASSO e al TEMPO, = INTERESSE = CAPITALE r = RAGIONE PERCENTUALE o tasso di interesse t = tempo → periodo in anni, (gg/365; mesi/12) Formula diretta dell’interesse = Carota → Cxrxt 100 Se il tempo è espresso in mesi: I=Cxrxt 1.200 Se il tempo è espresso in giorni (anno civile ordinario): I= Cxrxt 36.500 Se il tempo è espresso in giorni (anno bisestile): I= Cxrxt 36.600 Se il tempo è espresso in giorni(*) (anno commerciale): I= Cxrxt (*) in questo caso per convenzione 36.000 tutti i mesi si considerano di 30 giorni) Lezioni di Economia Aziendale - Prof.ssa Monica Masoch - LE FORMULE DEL MONTANTE (interesse semplice) 2 Al termine del periodo concordato, il debitore dovrà restituire al creditore la somma ottenuta in prestito cioè C (RIMBORSO) e corrispondere inoltre il compenso per il servizio ottenuto determinato dall’interesse I (REMUNERAZIONE). La somma del CAPITALE e dei relativi INTERESSI maturati in un dato periodo di tempo viene definita MONTANTE (M). = + Per costruire la formula diretta del montante già sai che I = Cxrxt quindi: 100 M = C + Cxrxt 100 A questo punto, puoi esplicitare la formula applicando le proprietà invariantive delle funzioni matematiche che hai studiato con la tua prof. di matematica: 1) Proprietà invariantiva della sottrazione: in una sottrazione possiamo aggiungere o sottrarre lo stesso numero al minuendo ed al sottraendo e la differenza non cambia 2) Proprietà invariantiva della divisione: la proprietà invariantiva della divisione afferma che se si moltiplicano o dividono per lo stesso numero entrambi i termini della divisione, il risultato non cambia Lezioni di Economia Aziendale - Prof.ssa Monica Masoch - LE FORMULE DEL MONTANTE (interesse semplice) 3 Attraverso pochi semplici passaggi matematici otterrai quindi: M = C + Cxrxt m.c.m=100 → M = 100 C+ Cxrxt 100 100 Puoi raccogliere il termine comune «C» ed ecco definita la formula bella snella come piace ai matematici: M = C (100+rxt) 100 Le formule dirette del montante sono quindi le seguenti: Se il tempo è espresso in ANNI: Se il tempo è espresso in MESI: M = C (100+ r x t) M = C (1.200+ r x t) 100 1.200 Se il tempo è espresso in GIORNI (anno civile ordinario): M = C (36.500+ r x t) 36.500 Se il tempo è espresso in GIORNI (anno bisestile): M = C (36.600+ r x t) 36.600 Se il tempo è espresso in GIORNI (anno commerciale): M = C (36.000+ r x t) 36.000 Lezioni di Economia Aziendale - Prof.ssa Monica Masoch - LE FORMULE DEL MONTANTE (interesse semplice) 4 Partiamo dalla formula generale: M = C(100+rt) 100 Se vuoi definire la formula che ti consente di quantificare il CAPITALE e cioè arrivare alla formula → C = …. applicando le proprietà di base studiate in matematica dovrai divertirti un po’ facendo «ballare» le varie componenti della formula (per questo ti ho messo l’immagine riportata sopra a destra). Prima di tutto, per avere già C a sinistra ti conviene partire da C(100+rt) = M 100 A questo punto puoi moltiplicare entrambi i termini dell’uguaglianza per 100 in modo da non avere più 100 a denominatore e arriverai a: C(100+rt) = 100M Ora «isolare» C è facile: basta moltiplicare entrambi i termini dell’uguaglianza per 1 . in matematica occorre precisare che (100+ rt)≠0 (100+rt) Arriverai quindi finalmente alla formula diretta per il calcolo di C: C= 100M . (100+rt) Lezioni di Economia Aziendale - Prof.ssa Monica Masoch - LE FORMULE DEL MONTANTE (interesse semplice) 5 Le formule inverse del Montante per il calcolo del CAPITALE saranno quindi: Se il tempo è espresso in ANNI: C = ( 100 M ) (100+rt) Se il tempo è espresso in MESI: C = ( 1200 M ) (1200+rt) Se il tempo è espresso in GIORNI (anno civile ordinario): C = ( 36.500 M ) (36.500+rt) Se il tempo è espresso in GIORNI (anno bisestile): C = ( 36.600 M ) (36.600+rt) Se il tempo è espresso in GIORNI (anno commerciale): C = ( 36.000 M ) (36.000+rt) Lezioni di Economia Aziendale - Prof.ssa Monica Masoch - LE FORMULE DEL MONTANTE (interesse semplice) 6 Partiamo ancora dalla formula generale: M = C(100+rt) 100 Se vuoi definire la formula che ti consente di quantificare la RAGIONE PERCENTUALE e cioè arrivare alla formula → r = … sempre partando da C(100+rt) = M per avere r a sinistra 100 Puoi moltiplicare entrambi i termini dell’uguaglianza per 100 in modo da non avere più 100 a denominatore e arriverai a: C(100+rt) = 100M Moltiplicando entrambi i termini dell’uguaglianza per l’inverso di C e cioè per 1 Ovviamente specificando che C≠0 C Arriverai a: (100+rt) = 100M ora puoi anche togliere le parentesi e avrai: C 100+rt = 100M puoi sottrarre 100 a entrambi i termini dell’uguaglianza e otterrai: C rt = 100M -100 facendo il m.c.m avrai: rt= 100M -100C puoi raccogliere 100: C C e arriverai a rt= 100(M-C) e ricordarti che M-C= I quindi rt=100 I C C E siamo quasi arrivati al nostro obiettivo di trovare r= … dividendo per t entrambi i termini dell’uguaglianza otterrai infatti: Lezioni di Economia Aziendale - Prof.ssa Monica Masoch - LE FORMULE DEL MONTANTE (interesse semplice) 7 r= 100 I . Ct Le formule inverse del Montante per il calcolo del TASSO DI INTERESSE saranno quindi: Se il tempo è espresso in ANNI: r = ( 100 I ) Ct Se il tempo è espresso in MESI: r = ( 1.200 I ) Ct Se il tempo è espresso in GIORNI (anno civile ordinario): r = ( 36.500 I ) Ct Se il tempo è espresso in GIORNI (anno bisestile): r = ( 36.600 I ) Ct Se il tempo è espresso in GIORNI (anno commerciale): r = ( 36.000 I ) Ct Lezioni di Economia Aziendale - Prof.ssa Monica Masoch - LE FORMULE DEL MONTANTE (interesse semplice) 8 Anche questa volta partiamo dalla formula generale: M = C(100+rt) 100 Ci puoi già arrivare partendo dal penultimo passaggio visto prima per esplicitare r, comunque se vuoi definire la formula che ti consente di quantificare il TEMPO e cioè arrivare alla formula → t = … sempre partendo da C(100+rt) = M per avere t a sinistra 100 Puoi moltiplicare entrambi i termini dell’uguaglianza per 100 in modo da non avere più 100 a denominatore e arriverai a: C(100+rt) = 100M Moltiplicando entrambi i termini dell’uguaglianza per l’inverso di C e cioè per 1 Ovviamente specificando che C≠0 C Arriverai a: (100+rt) = 100M ora puoi anche togliere le parentesi e avrai: C 100+rt = 100M puoi sottrarre 100 a entrambi i termini dell’uguaglianza e avrai: C rt = 100M -100 facendo il m.c.m otterrai: rt= 100M -100C puoi raccogliere 100: C C e arriverai a rt= 100(M-C) e ricordarti che M-C= I quindi rt=100 I C C E siamo quasi arrivati al nostro ultimo obiettivo di trovare t= … dividendo per r entrambi i termini dell’uguaglianza avrai infatti: 9 Lezioni di Economia Aziendale - Prof.ssa Monica Masoch - LE FORMULE DEL MONTANTE (interesse semplice) t= 100 I . Cr Le formule inverse del Montante per il calcolo del TEMPO saranno quindi: Se il tempo è espresso in ANNI: t = ( 100 I ) Cr Se il tempo è espresso in MESI: t = ( 1.200 I ) Cr Se il tempo è espresso in GIORNI (anno civile ordinario): t = ( 36.500 I ) Cr Se il tempo è espresso in GIORNI (anno bisestile): t = ( 36.600 I ) Cr Se il tempo è espresso in GIORNI (anno commerciale): t = ( 36.000 I ) Cr Lezioni di Economia Aziendale - Prof.ssa Monica Masoch - LE FORMULE DEL MONTANTE (interesse semplice) 10
