Slides2
annuncio pubblicitario
Lezione II Esperimenti sulla massa classica Legge della Gravitazione Universale m A mB | F |= G 2 r mB mA massa inerziale: mi massa gravitazionale attiva e passiva ma, mp m p = amI (WEP) m p = bm A (Azione-Reazione) mI = mA = mP GM T g= 2 RT Scarsa accuratezza nella conoscenza di masse e raggi dei pianeti Cavendish Experiment (1798) E’ considerato il primo esperimento moderno !!! Miglioramenti 1) Fibre di quarzo, Leve Ottiche (Boys, 1889) 2) Periodo invece che angoli (Heyl, 1942) Accuratezza di qualche parte per mille Source of the CODATA internationally recommended values http://physics.nist.gov/cuu/Constants/bibliography.html G 1) Misure di Proporzionalità tra Massa Attiva e Passiva : Saranno discusse le due verifiche più importanti, dovute a Kreuzer e Bartlett-Van Buren 2) Misure di Unicità del Free Fall: Saranno discusse le principali tecniche sperimentali per verificare l’unicità del Free Fall, con particolare attenzione al funzionamento degli esperimenti con la bilancia di torsione. 3) Effetti di gravitazione Classica: le forze mareali Materiale Didattico Lezione 2 TESTI FONDAMENTALI 1) UFF: D.V.Sivuchin, Fisica Generale per l’illustrazione della bilancia di torsione. 2) MASSA ATTIVA E PASSIVA: Leggere le idee fondamentali dei due esperimenti negli articoli originali (non viene richiesta la conoscenza dettagliata). Gli articoli sono disponibili in rete. TESINA POSSIBILE Verifiche dell’UFF ANALISI DELLE DISCREPANZE SULLE MISURE DI G CON PENDOLI DI TORSIONE La misura di G si basa su misure di 1) Distanza 2) Peso 3) Costante di torsione del pendolo Il risultato di G dipende dal valore mattiva della grande massa attraente. Valori di G diversi ottenuti con masse di diversa natura possono essere interpretati come limite superiore alla dipendenza di mattiva dalla composizione dei materiali. Errore tipico .0.002/6.67 ~ 3 10-4 Differenza tra i due valori di 0.007 Indicazione della presenza di un errore sistematico o di un effetto di violazione? L.B.Kreuzer, Phys. Rev., 169, nr.5 (1007-1012), 1968. Set-up sperimentale Generazione del segnale Cilindro di Teflon (76% di Fluoro, 20 kg) immerso in una mistura di Triclorotilene e Dibromometano (74% di Bromo). Il cilindro si muove avanti e indietro nel contenitore grazie a un filo di nylon che lo traina, se la densità tra liquido e solido è diversa si genera un segnale gravitazionale che dipende dalla posizione del cilindro rispetto al liquido. Sensore: Bilancia di torsione Una torsione indotta sulla bilancia Lettura del segnale Leva ottica: fascio laser riflesso indietro da uno specchietto solidale con il filo di sospensione della bilancia (manubrio). Registrate variazioni dell’angolo a riposo. La strategia di misura 1) Bilancia di torsione 2) Misura di zero: variando la temperatura del sistema liquido+solido si può ottenere rsolido=rliquido per cui DF=0 a cui corrisponde DQbilancia=0 se non ci sono violazioni. 3) I segnali devono dipendere direttamente dalle differenze di massa per ridurre l’errore. 4) Materiali sono scelti per • densità simili • masse chimicamente inerti e omogenee • evidenziare le violazioni sull’equivalenza tra mi e mp possono essere legate alle diverse composizioni nucleari (E/A) e (Z/A) tra solido (76% dii Fluoro) e liquido (74% di Bromo). 1. 2. 1. 2. 3. I Segnali La forza d’attrazione gravitazionale è proporzionale alla differenza di massa attiva tra fluido e solido; La differenza di densità misura la differenza di massa passiva tra fluido e solido (La densità è data da misure di massa nel campo terrestre.) Il Metodo ed il suo Limite Rivelazione sincrona al moto del cilindro vibrazioni indotte sul sistema Misura della temperatura per monitorare la densità, essendo noti i coefficienti di dilatazione del solido e del liquido dati da tabelle Errore sistematico: rfilo di nylon che trascina il corpo diversa da rTeflon Dm £ 5 ×10 -5 m L’errore Dy nel punto dell’intersezione definisce il limite superiore Densità uguali r 2 X1 - X 2 mI 1a1 = -GmP1mA2 = F1 3 | X1 - X 2 | X 2 - X1 mI 2 a2 = -GmP 2 mA1 = F2 3 | X 2 - X1 | 1 3a Legge della dinamica: Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria mP1mA2 = mP 2 mA1 | F1 |=| F2 | mP1 mP 2 = m A1 m A2 Crosta ricca di Alluminio (r = 2350 kg/m3 ) dOC = 10 km Mantello ricco di Ferro, (r = 3350 kg/m3 ) D.F.Bartlett & D.Van Buren, Phys. Rev. Lett., 57, nr.1 (21-24), 1986. Se la forza gravitazionale esercitata dal mantello sulla crosta fosse diversa da quella esercitata dalla crosta sul mantello (violazione del principio d’azione e reazione) esisterebbe una forza residua sul Centro di Massa che determinerebbe una deviazione dall’orbita classica legata al parametro: æ ma(a) mb(a) ö S(a, b) = ç ( p) - ( p) ÷ mb ø è ma Metodo Lunar Laser Ranging Accuratezze dell’ordine del cm nella misura dell’orbita Limite concettuale Modelli Accurati composizione Lunare Il rapporto tra mattiva / mpassiva è lo stesso per Fe ed Al con un accuratezza di una parte su 1012 • • • • • • • Forza della crosta sul mantello Dal teorema di Gauss (F=-4pGM) 4 Fab = - p Gra rbtVb k̂ 3 B posizione centro di massa O centro geometrico Indice a crosta Indice b mantello OB=s=zcm OC=t=zmantello a raggio della crosta Fab = òr f dVb b b 4 fb = - p Gra z k̂ 3 Diretta come OC Violando il 3o principio si ha (a) (a) ö æ 4 r r Fab - Fba = - p GtVb rb( p) ra( p) ç a( p) - b( p) ÷ k̂ = 3 rb ø è ra (a) (a) ö æ 4 m m = - p GtVb rb( p) ra( p) ç a( p) - b( p) ÷ k̂ 3 mb ø è ma 4 Fs = - p GtVb rb ra S(a, b)k̂ = S(a, b)Fb 3 Centro di massa della luna M s s = ( rb - ra ) t Vb é4 ù rb r a Fs = -S(a, b)ê p G sM s ú k̂ Þ Ftan = Fs sin(14o ) rb - r a ë3 û Che determina una variazione della velocità angolare orbitale Dr =rb - ra << rb Forza Terra-Luna FMoon = GM Earth M Moon r 2 Fs M Moon r 2 r @ S(a, b) FMoon M Earth a 2 Dr r r s M =7; = 220; = 0.0011; Earth = 80 Dr a a M Moon Fs @ 5S(a, b) FMoon r=385000 km a=3470 km 1 GM Moon M Earth 1 Dr Ftan DE = 2p rFtan = - DV = Dr = F Dr Þ = 4 p Moon 2 2 2r 2 r FMoon w 2 r 3 = cost Þ Dw w = 3 Dr F F = 6p tan = 6p s sin(14o ) 2 r FMoon FMoon Misure di Lunar Laser Ranging d dt = secondi d'arco/secolo Valutazione dalle misure con il satellite LAGEOS dell’effetto delle maree oceaniche sul moto lunare d dt =5 secondi d'arco/secolo Supponendo che lo scarto sia attribuibile agli effetti di violazione: == D/ < 1.10-12 /mese S(a,b) < (1/5) (1/6 p)(1/sin14o ) 1.10-12=5.10-14 Tenendo conto della frazione di composizione di Fe e Al (fattore 0.08) S(Al,Fe)= S(a,b)/0.08 = 7.10-13 .. mI l 2 q = -mp g × l sinq » -mp g × lq q l mp g q »×q mI l .. mPg sinq T= mp g w » mI l mPg 2p w = 2p mI l mP g Se il rapporto fosse diverso da corpo a corpo il periodo cambierebbe a seconda del tipo di pendolo Ideato da Newton (1642-1727) Bessel (1784-1846) q Il rapporto è lo stesso per tutti i corpi esaminati con un’accuratezza di una parte su 60.000 l mPg sinq mPg Si può usare il pendolo per ricavare informazioni sull'attrazione gravitazionale in un particolare luogo. Questo tipo di misura era servita proprio per verificare la legge di gravitazione universale: le osservazioni venivano eseguite al livello del mare e su una montagna per vedere se l'accelerazione di gravità diminuiva come previsto da Newton. Esperimenti sul principio di equivalenza e precisioni ottenute Simon Stevin Galileo Galilei Isaac Newton Friedrich Wilhelm Bessel Southerns Zeeman Loránd Eötvös Potter Renner Dicke, Roll, Krotkov Braginsky, Panov Shapiro Keiser, Faller Niebauer, et al. Heckel, et al. Adelberger, et al. Baeßler, et al. Adelberger, et al. Adelberger, et al. 1585 1590 1686 1832 1910 1918 1909 1923 1935 1964 1972 1976 1981 1987 1989 1990 1999 2006 2008 Drop Tower Pendolo, Drop Tower Pendolo Pendolo Pendolo Bilancia di torsione Bilancia di torsione Pendolo Bilancia di torsione Bilancia di torsione Bilancia di torsione Lunar Laser Ranging Supporto fluido Drop Tower Bilancia di torsione Bilancia di torsione Bilancia di torsione Bilancia di torsione Bilancia di torsione 5x10-2 2x10-2 10-3 2x10-5 5x10-6 3x10-8 5x10-9 3x10-6 2x10-9 3x10-11 10-12 10-12 4x10-11 10-10 10-11 10-12 5x10-13 10-13 3x10-14 Fgrav=g mP FCentrifuga = mIw 2 r = r mIw 2 RT cosQ q RT r q RT Deviazione del filo a piombo mI w 2 r sin q mI w 2 RT sin q cos q a= = mP g mP g Se il rapporto variasse la deviazione dipenderebbe dal corpo utilizzato come massa del filo a piombo r q RT Deviazione del filo a piombo mI w 2 r sin q mI w 2 RT sin q cos q a= = mP g mP g a =1.7 x 10-3 a 450 di latitudine N Zenit r LABORATORIO S Fcentrifuga S N a Frisultante Fgravitazionale N l 2 | FCentrifuga |= mI w 2 r S (r = RT cosq) | FCentrifuga |= mIw 2r q r centrifuga z F = mIw r cosq 2 z m I 2w 2r cosq ẑ mI1w 2r cosq ẑ 2 l -mP1gẑ -mP2 gẑ La componente verticale della forza centrifiga è bilanciata dalla forza di gravità Equilibrio della bilancia lungo l’asse verticale: mP1g - mI 1w 2r cosq = mP 2 g - mI 2w 2r cosq Equilibrio dei pesi (ipotesi di bracci uguali) z mI1w 2r cosq ẑ N S -mP1gẑ l m I 2w 2r cosq ẑ 2 -mP2 gẑ mP1g - mI 1w 2r cosq = mP 2 g - mI 2w 2r cosq mI 1 ( Equilibrio dei pesi (ipotesi di bracci uguali) mP1 m g - w 2 r cos q ) = mI 2 ( P 2 g - w 2 r cos q ) mI 1 mI 2 Se i due corpi avessero rapporti diversi tra massa inerziale e gravitazionale passiva, la relazione di equilibrio potrebbe essere verificata solo se le due masse inerziali fossero diverse. l Questo implicherebbe però che le due forze centrifughe sarebbero diverse e quindi le diverse componenti orizzontali indurrebbero una torsione intorno all’asse verticale mP1g - mI 1w 2r cosq = mP 2 g - mI 2w 2r cosq mI 1 ( Equilibrio dei pesi (ipotesi di bracci uguali) mP1 m g - w 2 r cos q ) = mI 2 ( P 2 g - w 2 r cos q ) mI 1 mI 2 Se i due corpi avessero rapporti diversi tra massa inerziale e gravitazionale passiva, la relazione di equilibrio potrebbe essere verificata solo se le due masse inerziali fossero diverse. l l 2 M z = (mI 1 - mI 2 ) w r sin q 2 Rotazione intorno all’asse verticale kjj = M z Parametro di Eotvos q r 2 a1 - a2 h= a1 + a2 z N l 2 S Ruotando il sistema di 1800 si dovrebbe invertire il segno del momento e si otterrebbe una rotazione dalla parte opposta N l 2 S hEotvos =10 -8 I risultati nulli ottenuti da Eotvos ci dicono che il rapporto tra massa inerziale e massa gravitazionale è lo stesso per tutti i corpi a meno di qualche parte per miliardo N l 2 S Roll-Kroktov e Dicke utilizzarono lo stesso apparato in un “contesto differente” misurando la proporzionalità tra Massa Inerziale e Massa Gravitazionale Passiva con un’accuratezza di 1 10-11 Fg1 g sole 1 Le componenti discusse sopra, dovute al campo gravitazionale terrestre ed alla forza centrifuga ad una data latitudine sono costanti nel tempo. Fin1 Fg2 2 Fin2 Sono considerate le forze dovute al sole Fg e la forza di inerzia traslatoria Fin collegata al moto accelerato del centro della terra verso il sole Fg1 1 Fin1 g sole Fg2 2 Fin2 P.G. Roll, R.Kroktov and R.H.Dicke, Ann. Phys.(N.Y.) 26, 442-517, (1964). Realizzato all’ Università di Princeton Fg1 1 Fin1 h1 h2 g sole Fg2 2 Fin2 M = (m1P g - m1I a)h1 + (m2 I a - m2 P g )h2 Se la bilancia è sospesa nel suo centro di massa: m1I h1 = m2 I h2 m1I h1 M = (m1P g - m1I a)h1 + (m2 I a - m2 P g ) m2 I Fg1 1 Fin1 g sole Fg2 M = (m1P g - m1I a)h1 + (m2 I a - m2 P g ) 2 Fin2 m1I h1 m2 I m1P m2 P M = m1I ( g - a)h1 + m1I (a g )h1 m1I m2 I M = m1I h1 ( m1P m2 P )g m1I m2 I Fg1 1 Fin1 Fg2 2 Fin2 Vantaggi: Modulazione del segnale di 24 ore (rivoluzione terra) Si evita la rotazione di 180 dell’apparato Svantaggio: Il campo del sole è più piccolo (0.59 cm/s2 contro 1.67 cm/s2) Rumori: Rumore Sismico, Gradienti termici, Rumore Gravitazionale, Accoppiamento con il campo magnetico esterno Accuratezza sul rapporto h: (0,96 + 1.04) x 10-11 Riassunto del metodo - Se vale WEP, tutto l’apparato cade verso il Sole: assenza di torsione del filo -Violazione di WEP: Au è accelerato diversamente da Al e l’effetto ha una periodicità giornaliera. Sensibilità richiesta: m = 30 g, η ∼ 10−11 : Fη ∼ 2 × 10−15 N che corrisponderebbero a ∆v = 2μm/sec in un anno Accorgimenti sperimentali • Il triangolo è equilatero (6 cm) e la misura remotata per limitare gli accoppiamenti gravitazionali spuri • L’intensità luminosa è bassa per limitare l’effetto di pressione di radiazione; • La luce riflessa modulata a 3000 Hz dal moto del filo • Il segnale del fotomoltiplicatore viene demodulato ed utilizzato per applicare un segnale quasi statico al condensatore per bloccare la rotazione (sistema controreazionato) • Il segnale d’errore di controreazione è analizzato nel dominio di Fourier per estrarre la periodicità di 24 ore. Massimizzazione del segnale (materiali diversi) Al Au -Numero di Neutroni/Numero di Protoni 1.08 1.5 -Kcin eletr. livello K/Massa a riposo elettr. 0.003 0.16 -Energia elettrostatica Nuclei/Massa Atomica 0.001 0.004 Specifiche dell'apparato - Sensibilità angolare 10-9 rad - Stabilità in temperatura DT < 10-4 K - Assenza di impurezze di ferro (accoppiamento con campo magnetico Terra ) -Disomogeneità nel gas: se Dr/Dt ~ 10-8 g/day ==> DF ~ 10-7 g cm /s2 Possibili disturbi nella misura: • Gravità locale e sue fluttuazioni: bilancia di piccole dimensioni per ridurre l’effetto del gradiente, di forma triangolare (interazione di ottupolo per il momento delle forze). • Effetti ambientali locali: distribuzione di massa intorno all’apparato di 4 g/ cm2. • Effetti atmosferici: 5 mbar a 100 km su 50 × 50 km2 : η ∼ 10−17 • Contaminazione con elementi magnetici: un eventuale filamento magnetizzato 10 × 10 × 100 μm3 con magnetizzazione 100 Gauss interagisce con il campo magnetico terrestre effetto 20 volte maggiore • Effetti elettrostatici: differenze di potenziale di contatto ∼ 0.5 V su superfici di 10 cm2 a 1 cm di distanza: F ∼ 10−11 N. Dipende dalla concentrazione di gas adsorbito, quindi da T. • Carica degli isolanti con il passaggio di raggi cosmici: tutti i materiali devono avere una conducibilità superficiale non trascurabile. • Pressione del gas: su 10 cm2 , anche con un vuoto di 10−6 mbar le temperature devono differire di meno di 3 × 10−6 ◦C. • Moto browniano (rumore termico): una energia kT/2 è associata a ogni grado di libertà. L’ampiezza di rotazione corrispondente è ∆θ = 4.5 × 10−7 rad, 200 volte più grande dell’effetto cercato. Si raffredda elettronicamente quel grado di libertà e nell’analisi dei dati si fa una media temporale su più periodi. In ogni caso la densità di rumore termico è funzione delle frequenza, anche se l’energia totale è fissata. • Misura della rotazione: basata sulla leva ottica e misura della posizione della figura di diffrazione, larga 10−5 rad, a livello di 3 × 10−9 rad. Sono necessari 107 fotoelettroni. La pressione di radiazione è bassa. Il calore assorbito con l’1 % dei fotoni non causa differenze di pressione apprezzabili con 10−8 mbar. La stabilità a bassa frequenza si ottiene principalmente con la stabilizzazione in temperatura e con una lettura che sposta il segnale a frequenze più alte: modulazione e demodulazione. Sistema di modulazione del segnale La bilancia sposta l’immagine di una sorgente luminosa oscurata dall’ombra di un filo oscillante Si osserva l’intensità luminosa complessiva dovuta alle code della figura di diffrazione che dipendono dal centraggio. Se la luce è centrata l’intensità è modulata con armoniche pari e in particolare alla seconda armonica della frequenza di risonanza del filo Se la bilancia è ruotata l’intensità contiene componenti alla frequenza di oscillazione del filo. Nel caso della modulazione in ampiezza si raddrizza il segnale e si applica un filtro passa basso. Modulazione del segnale Controllo della temperatura Misura in feedback Problemi più difficili: • Rumore non gaussiano: un impulso abbastanza breve di grande ampiezza eccita vari modi • Effetti di temperatura, presenti nelle deformazioni meccaniche, nelle proprietà dei materiali come il modulo di Young, nei circuiti elettrici, nelle batterie. • In ultima analisi si cerca una correlazione tra le misure fatte e le indicazioni delle sonde di temperatura e se ne sottrae l’effetto misurato. Verifiche UFF: Braginsky & Panov Fg1 1 Fin1 Fg2 2 Fin2 V.B.Braginsky and V.I.Panov Sov. Phys. JEPT 34, 463-466 (1972) Realizzato all’Università di Mosca Accuratezza: h=10-12 Verifiche UFF: Braginsky & Panov Al Pt Miglioramenti 1) Fibra più lunga 2) Disposizione delle masse simmetrizzata per ridurre i disturbi locali. Purtroppo l’articolo e’ poco dettagliato V.B.Braginsky and V.I.Panov Sov. Phys. JEPT 34, 463-466 (1972) Realizzato all’Università di Mosca Accuratezza: h=10-12 Verifiche UFF: Adelberger et al. Phys Rev. D 50 (1994) 3614 • Pendolo di torsione ben simmetrizzato con masse intercambiabili e a geometria variabile per annullare i momenti di multipolo di ordine superiore; • Misure dell’accelerazione rispetto al centro galattico . h=10-13 Verifiche UFF: Adelberger et al. Compensatori dei gradienti gravitazionali a) compensa Q21 b) compensa Q22 Verifiche UFF: STEP Barlier et al. STEP (“Satellite Test for the Equivalence Principle”) STEP will compare the accelerations of four pairs of test masses in orbit. The free-floating test masses will be isolated from disturbances inside a cryogenic dewar with superconducting shielding and ultra-high vacuum, and their accelerations will be measured by a superconducting circuit using a quantum interference device (SQUID) for the best sensitivity. The dewar is part of a "drag-free" satellite, i.e. a satellite compensated for drag by proportional thrusters, using the test masses as reference. This technique reduces low-frequency acceleration disturbances from air drag, magnetic field, and solar pressure to an acceptable level. Gravity gradient disturbances are eliminated by precise placement of the mass centers on each other. The mission will be flown in a near-circular sun-synchronous orbit, to minimize temperature variations, for period of six months. The best altitude is approximately 550km. Accuracy Goal: 1 parte su 1017 Verifiche UFF: Eotvos e la Vo Forza Una ri-analisi dell’esperimento originale di Eotvos sviluppata da E. Fischbach e dai suoi collaboratori [Phys. Rev Lett. 56, 3-6,(1986)] mostrò una suggestiva deviazione da UFF. La violazione di UFF viene interpretata in termini dell’esistenza della 5o interazione fondamentale che dipenderebbe dalla composizione degli oggetti. Torneremo su questo argomento prossimamente. Le forze di marea La forza di marea compare quando si considerano corpi estesi soggetti alle reciproche attrazioni gravitazionali. In genere i sistemi per cui interessa studiare tale forza sono sistemi binari, come ad esempio i sistemi stella-pianeta (Sole-Terra) o pianeta-satellite (Terra-Luna), in cui si considera un corpo esteso che ruota attorno ad un’altra massa gravitazionale. A R C d q A’ MÄ ro Si prenda ad esempio il sistema Sole-Terra: la Terra compie un moto di rivoluzione attorno al Sole con un periodo di un anno. Nel sistema di riferimento solidale alla Terra, l’attrazione gravitazionale viene compensata dalla forza centrifuga vero soltanto nel centro di massa del pianeta. Risultante delle forze che agiscono su un punto qualunque della superficie terrestre A: sul centro di massa FG (C)- FCe(C)=0 A questo effetto si aggiungono I termini dovuti al fatto che la terra e’ un corpo esteso per cui: FM (A)=FG(A)−FCe(C)≠0 Forza mareale aM ( A¢) = - GM Ä GM Ä GM Ä + @ 2R (ro - R)2 ro2 ro3 (ro >> r) se q =0 x A R C ax = -x d q A’ GM Ä ro3 GM Ä ay = -y 3 ro GM Ä az = 2z 3 ro ro MÄ z y F potenziale corrispondente a questo campo di forza GM Ä é 2 1 2 1 2 ù GM Ä 2 é 3cos2 q -1ù F = 3 êz - x - y ú = 3 R ê ú ro ë 2 2 û ro 2 ë û R = x 2 + y 2 + z 2 cos q = z / R Le forze di marea R ro GM aG ( A¢) = 2 R M Luna æ R ö -7 ç ÷ = 0.5603´10 M Terra è RTL ø 3 æ R ö MÄ aG ( A¢) = 2ç ÷ aMareale ( A¢) è ro ø M 3 M Sole æ R ö -7 ç ÷ = 0.2580 ´10 M Terra è RTS ø 3 Le forze di marea: torsione Effetto di torsione Poniamo una bilancia di torsione in un punto dello spazio ove è presente un campo gravitazionale a simmetria sferica. La componente del momento torcente lungo l’asse x è é GM GM ù 3 3GM M x = ò ê y(2z 3 ) - z(-y 3 )úr d x = 3 ro ro û ro ë ò y z rd x = 3 x 3GM I yz ro3 Ikl è il generico elemento del tensore momento d’inerzia della bilancia I kl = ò (r 2dlk - x k x l ) rd 3 x z y Per un campo gravitazionale generato da una qualunque distribuzione di masse M n = c 2 åe kl nkl 1 R k 0l 0 (-Ilk + dlk I lk ) 3 e123 = e 231 = e 312 = 1 e 321 = e 213 = e132 = -1 Il momento torcente mareale cambia localmente iI momento angolare della bilancia. L’accelerazione angolare che ne risulta, è una misura locale dell’effetto mareale Le forze di marea Un metodo alternativo per la misura dei gradienti di campo gravitazionale Sensibilità tipiche in accelerazione differenziale 10-11 m/s-2 su metro Ñ × a (r ) = Il Gradiometro triassiale Superconduttore di Paik ¶ax (r ) ¶a y (r ) ¶az ( r ) + + =0 ¶x ¶y ¶z Misure Indipendenti dei 3 componenti forniscono un test della legge quadratica inversa
