Slides2

Lezione II
Esperimenti sulla massa
classica
Legge della Gravitazione Universale
m A mB
| F |= G 2
r
mB
mA
massa inerziale: mi
massa gravitazionale attiva e passiva ma, mp
m p = amI
(WEP)
m p = bm A
(Azione-Reazione)
mI = mA = mP
GM T
g=
2
RT
Scarsa accuratezza nella conoscenza
di masse e raggi dei pianeti
Cavendish Experiment
(1798)
E’ considerato il primo esperimento moderno !!!
Miglioramenti
1) Fibre di quarzo, Leve Ottiche (Boys, 1889)
2) Periodo invece che angoli (Heyl, 1942)
Accuratezza di qualche parte per mille
Source of the CODATA internationally recommended values
http://physics.nist.gov/cuu/Constants/bibliography.html
G
1) Misure di Proporzionalità tra Massa Attiva e Passiva : Saranno
discusse le due verifiche più importanti, dovute a Kreuzer e Bartlett-Van Buren
2) Misure di Unicità del Free Fall: Saranno discusse le principali tecniche
sperimentali per verificare l’unicità del Free Fall, con particolare attenzione al
funzionamento degli esperimenti con la bilancia di torsione.
3) Effetti di gravitazione Classica: le forze mareali
Materiale Didattico Lezione 2
TESTI FONDAMENTALI
1) UFF: D.V.Sivuchin, Fisica Generale per l’illustrazione della bilancia di torsione.
2) MASSA ATTIVA E PASSIVA: Leggere le idee fondamentali dei due esperimenti negli
articoli originali (non viene richiesta la conoscenza dettagliata). Gli articoli sono disponibili in rete.
TESINA POSSIBILE
Verifiche dell’UFF
ANALISI DELLE DISCREPANZE SULLE MISURE DI G CON PENDOLI DI TORSIONE
La misura di G si basa su misure di 1) Distanza 2) Peso 3) Costante di torsione del pendolo
Il risultato di G dipende dal valore mattiva della grande massa attraente. Valori di G diversi
ottenuti con masse di diversa natura possono essere interpretati come limite superiore alla
dipendenza di mattiva dalla composizione dei materiali.
Errore tipico
.0.002/6.67 ~ 3 10-4
Differenza tra i due valori di 0.007 
Indicazione della presenza di un errore
sistematico o di un effetto di violazione?
L.B.Kreuzer, Phys. Rev., 169, nr.5 (1007-1012), 1968.
Set-up sperimentale
Generazione del segnale
Cilindro di Teflon (76% di Fluoro, 20 kg) immerso in una mistura di Triclorotilene e Dibromometano
(74% di Bromo).
Il cilindro si muove avanti e indietro nel contenitore grazie a un filo di nylon che lo traina, se la densità
tra liquido e solido è diversa si genera un segnale gravitazionale che dipende dalla posizione del
cilindro rispetto al liquido.
Sensore: Bilancia di torsione
Una torsione indotta sulla bilancia
Lettura del segnale
Leva ottica: fascio laser riflesso indietro da uno specchietto solidale con il filo di sospensione della
bilancia (manubrio). Registrate variazioni dell’angolo a riposo.
La strategia di misura
1) Bilancia di torsione
2) Misura di zero: variando la temperatura del sistema liquido+solido si può ottenere
rsolido=rliquido per cui DF=0 a cui corrisponde DQbilancia=0 se non ci sono violazioni.
3) I segnali devono dipendere direttamente dalle differenze di massa per ridurre l’errore.
4) Materiali sono scelti per
• densità simili
• masse chimicamente inerti e omogenee
• evidenziare le violazioni sull’equivalenza tra mi e mp possono essere legate alle diverse
composizioni nucleari (E/A) e (Z/A) tra solido (76% dii Fluoro) e liquido (74% di Bromo).
1.
2.
1.
2.
3.
I Segnali
La forza d’attrazione gravitazionale è proporzionale alla differenza di massa attiva tra fluido e
solido;
La differenza di densità misura la differenza di massa passiva tra fluido e solido (La densità è
data da misure di massa nel campo terrestre.)
Il Metodo ed il suo Limite
Rivelazione sincrona al moto del cilindro  vibrazioni indotte sul sistema
Misura della temperatura per monitorare la densità, essendo noti i coefficienti di
dilatazione del solido e del liquido  dati da tabelle
Errore sistematico: rfilo di nylon che trascina il corpo diversa da rTeflon
Dm
£ 5 ×10 -5
m
L’errore Dy nel punto dell’intersezione
definisce il limite superiore
Densità uguali
r
2
X1 - X 2
mI 1a1 = -GmP1mA2
= F1
3
| X1 - X 2 |
X 2 - X1
mI 2 a2 = -GmP 2 mA1
= F2
3
| X 2 - X1 |
1
3a Legge della dinamica: Ad ogni
azione corrisponde una reazione uguale
e contraria
mP1mA2 = mP 2 mA1
| F1 |=| F2 |
mP1 mP 2
=
m A1 m A2
Crosta ricca di
Alluminio
(r = 2350 kg/m3 )
dOC = 10 km
Mantello ricco
di Ferro,
(r = 3350 kg/m3 )
D.F.Bartlett & D.Van Buren, Phys. Rev. Lett.,
57, nr.1 (21-24), 1986.
Se la forza gravitazionale esercitata dal mantello sulla
crosta fosse diversa da quella esercitata dalla crosta sul
mantello (violazione del principio d’azione e reazione)
esisterebbe una forza residua sul Centro di Massa che
determinerebbe una deviazione dall’orbita classica legata
al parametro:
æ ma(a) mb(a) ö
S(a, b) = ç ( p) - ( p) ÷
mb ø
è ma
Metodo
Lunar Laser Ranging  Accuratezze dell’ordine del cm nella misura dell’orbita
Limite concettuale
Modelli Accurati composizione Lunare
Il rapporto tra mattiva / mpassiva è lo stesso per Fe ed Al
con un accuratezza di una parte su 1012
•
•
•
•
•
•
•
Forza della crosta sul mantello
Dal teorema di Gauss (F=-4pGM)
4
Fab = - p Gra rbtVb k̂
3
B posizione centro di massa
O centro geometrico
Indice a  crosta
Indice b  mantello
OB=s=zcm
OC=t=zmantello
a raggio della crosta
Fab =
òr
f dVb
b b
4
fb = - p Gra z k̂
3
Diretta come OC
Violando il 3o principio si ha
(a)
(a) ö
æ
4
r
r
Fab - Fba = - p GtVb rb( p) ra( p) ç a( p) - b( p) ÷ k̂ =
3
rb ø
è ra
(a)
(a) ö
æ
4
m
m
= - p GtVb rb( p) ra( p) ç a( p) - b( p) ÷ k̂
3
mb ø
è ma
4
Fs = - p GtVb rb ra S(a, b)k̂ = S(a, b)Fb
3
Centro di massa della luna
M s s = ( rb - ra ) t Vb
é4
ù
rb r a
Fs = -S(a, b)ê p G
sM s ú k̂ Þ Ftan = Fs sin(14o )
rb - r a
ë3
û
Che determina una variazione della velocità angolare orbitale
Dr =rb - ra << rb Forza Terra-Luna
FMoon = GM Earth M Moon r 2
Fs
M Moon r 2 r
@ S(a, b)
FMoon
M Earth a 2 Dr
r
r
s
M
=7; = 220; = 0.0011; Earth = 80
Dr
a
a
M Moon
Fs
@ 5S(a, b)
FMoon
r=385000 km
a=3470 km
1
GM Moon M Earth
1
Dr
Ftan
DE = 2p rFtan = - DV =
Dr
=
F
Dr
Þ
=
4
p
Moon
2
2
2r
2
r
FMoon
w 2 r 3 = cost Þ
Dw
w
=
3 Dr
F
F
= 6p tan = 6p s sin(14o )
2 r
FMoon
FMoon
Misure di Lunar Laser Ranging
d dt =  secondi d'arco/secolo
Valutazione dalle misure con il satellite LAGEOS dell’effetto
delle maree oceaniche sul moto lunare
d dt =5 secondi d'arco/secolo
Supponendo che lo scarto sia attribuibile agli effetti di violazione:
== D/ < 1.10-12 /mese
S(a,b) < (1/5) (1/6 p)(1/sin14o ) 1.10-12=5.10-14
Tenendo conto della frazione di composizione di Fe e Al
(fattore 0.08)
S(Al,Fe)= S(a,b)/0.08 = 7.10-13
..
mI l 2 q = -mp g × l sinq » -mp g × lq
q
l
mp g
q »×q
mI l
..
mPg sinq
T=
mp g
w »
mI l
mPg
2p
w
= 2p
mI l
mP g
Se il rapporto fosse diverso
da corpo a corpo il periodo
cambierebbe a seconda
del tipo di pendolo
Ideato da Newton (1642-1727)
Bessel (1784-1846)
q
Il rapporto è lo
stesso per tutti i corpi esaminati
con un’accuratezza di una
parte su 60.000
l
mPg sinq
mPg
Si può usare il pendolo per ricavare
informazioni sull'attrazione gravitazionale in
un particolare luogo. Questo tipo di misura
era servita proprio per verificare la legge di
gravitazione universale: le osservazioni
venivano eseguite al livello del mare e su
una montagna per vedere se l'accelerazione
di gravità diminuiva come previsto da
Newton.
Esperimenti sul principio di equivalenza e precisioni ottenute
Simon Stevin
Galileo Galilei
Isaac Newton
Friedrich Wilhelm Bessel
Southerns
Zeeman
Loránd Eötvös
Potter
Renner
Dicke, Roll, Krotkov
Braginsky, Panov
Shapiro
Keiser, Faller
Niebauer, et al.
Heckel, et al.
Adelberger, et al.
Baeßler, et al.
Adelberger, et al.
Adelberger, et al.
1585
1590
1686
1832
1910
1918
1909
1923
1935
1964
1972
1976
1981
1987
1989
1990
1999
2006
2008
Drop Tower
Pendolo, Drop Tower
Pendolo
Pendolo
Pendolo
Bilancia di torsione
Bilancia di torsione
Pendolo
Bilancia di torsione
Bilancia di torsione
Bilancia di torsione
Lunar Laser Ranging
Supporto fluido
Drop Tower
Bilancia di torsione
Bilancia di torsione
Bilancia di torsione
Bilancia di torsione
Bilancia di torsione
5x10-2
2x10-2
10-3
2x10-5
5x10-6
3x10-8
5x10-9
3x10-6
2x10-9
3x10-11
10-12
10-12
4x10-11
10-10
10-11
10-12
5x10-13
10-13
3x10-14

Fgrav=g mP
FCentrifuga = mIw 2 r =
r
mIw 2 RT cosQ
q
RT
r
q
RT
Deviazione del filo
a piombo
mI w 2 r sin q mI w 2 RT sin q cos q
a=
=
mP g
mP g
Se il rapporto variasse la deviazione
dipenderebbe dal corpo utilizzato
come massa del filo a piombo
r
q
RT
Deviazione del filo
a piombo
mI w 2 r sin q mI w 2 RT sin q cos q
a=
=
mP g
mP g
a =1.7 x 10-3 a 450 di latitudine
N
Zenit
r
LABORATORIO
S
Fcentrifuga
S
N
a
Frisultante
Fgravitazionale
N

l
2
| FCentrifuga |= mI w 2 r
S
(r = RT cosq)
| FCentrifuga |= mIw 2r
q
r
centrifuga
z
F
= mIw r cosq
2
z
m I 2w 2r cosq ẑ
mI1w 2r cosq ẑ

2
l
-mP1gẑ
-mP2 gẑ
La componente verticale
della forza centrifiga
è bilanciata dalla forza di gravità
Equilibrio della bilancia
lungo l’asse verticale:
mP1g - mI 1w 2r cosq = mP 2 g - mI 2w 2r cosq
Equilibrio dei pesi
(ipotesi di bracci uguali)
z
mI1w 2r cosq ẑ
N

S -mP1gẑ
l
m I 2w 2r cosq ẑ
2
-mP2 gẑ
mP1g - mI 1w 2r cosq = mP 2 g - mI 2w 2r cosq
mI 1 (
Equilibrio dei pesi
(ipotesi di bracci uguali)
mP1
m
g - w 2 r cos q ) = mI 2 ( P 2 g - w 2 r cos q )
mI 1
mI 2
Se i due corpi avessero rapporti diversi tra massa inerziale
e gravitazionale passiva, la relazione di equilibrio potrebbe
essere verificata solo se le due masse inerziali fossero diverse.

l

Questo implicherebbe però che le due forze
centrifughe sarebbero diverse e quindi le diverse
componenti orizzontali indurrebbero una
torsione intorno all’asse verticale
mP1g - mI 1w 2r cosq = mP 2 g - mI 2w 2r cosq
mI 1 (
Equilibrio dei pesi
(ipotesi di bracci uguali)
mP1
m
g - w 2 r cos q ) = mI 2 ( P 2 g - w 2 r cos q )
mI 1
mI 2
Se i due corpi avessero rapporti diversi tra massa inerziale
e gravitazionale passiva, la relazione di equilibrio potrebbe
essere verificata solo se le due masse inerziali fossero diverse.

l

l 2
M z = (mI 1 - mI 2 ) w r sin q
2
Rotazione intorno
all’asse verticale
kjj = M z
Parametro di Eotvos
q
r
2 a1 - a2
h=
a1 + a2
z

N
l
2
S
Ruotando il sistema di 1800
si dovrebbe invertire il segno del momento
e si otterrebbe una rotazione dalla parte opposta

N
l
2
S
hEotvos =10
-8
I risultati nulli ottenuti da Eotvos ci dicono che il rapporto
tra massa inerziale e massa gravitazionale è lo stesso per tutti
i corpi a meno di qualche parte per miliardo

N
l
2
S
Roll-Kroktov e Dicke utilizzarono lo stesso apparato in un “contesto
differente” misurando la proporzionalità tra Massa Inerziale e
Massa Gravitazionale Passiva con un’accuratezza di 1 10-11
Fg1
g sole
1
Le componenti discusse sopra, dovute al campo
gravitazionale terrestre ed alla forza
centrifuga ad una data latitudine
sono costanti nel tempo.
Fin1
Fg2
2
Fin2
Sono considerate le forze dovute al sole Fg e la forza di inerzia traslatoria Fin collegata al
moto accelerato del centro della terra verso il sole
Fg1
1
Fin1
g sole
Fg2
2
Fin2
P.G. Roll, R.Kroktov and R.H.Dicke,
Ann. Phys.(N.Y.) 26, 442-517, (1964).
Realizzato all’ Università di Princeton
Fg1
1
Fin1
h1
h2
g sole
Fg2
2
Fin2
M = (m1P g - m1I a)h1 + (m2 I a - m2 P g )h2
Se la bilancia è sospesa nel suo centro di massa:
m1I h1 = m2 I h2
m1I h1
M = (m1P g - m1I a)h1 + (m2 I a - m2 P g )
m2 I
Fg1
1
Fin1
g sole
Fg2
M = (m1P g - m1I a)h1 + (m2 I a - m2 P g )
2
Fin2
m1I h1
m2 I
m1P
m2 P
M = m1I (
g - a)h1 + m1I (a g )h1
m1I
m2 I
M = m1I h1 (
m1P m2 P
)g
m1I m2 I
Fg1
1
Fin1
Fg2
2
Fin2
Vantaggi: Modulazione del segnale di 24 ore (rivoluzione terra)
Si evita la rotazione di 180 dell’apparato
Svantaggio: Il campo del sole è più piccolo (0.59 cm/s2 contro 1.67 cm/s2)
Rumori: Rumore Sismico, Gradienti termici, Rumore Gravitazionale,
Accoppiamento con il campo magnetico esterno
Accuratezza sul rapporto h: (0,96 + 1.04) x 10-11
Riassunto del metodo
- Se vale WEP, tutto l’apparato cade verso il Sole: assenza di torsione del filo
-Violazione di WEP: Au è accelerato diversamente da Al e l’effetto ha una periodicità
giornaliera.
Sensibilità richiesta: m = 30 g, η ∼ 10−11 : Fη ∼ 2 × 10−15 N che
corrisponderebbero a ∆v = 2μm/sec in un anno
Accorgimenti sperimentali
• Il triangolo è equilatero (6 cm) e la misura remotata per limitare gli accoppiamenti
gravitazionali spuri
• L’intensità luminosa è bassa per limitare l’effetto di pressione di radiazione;
• La luce riflessa modulata a 3000 Hz dal moto del filo
• Il segnale del fotomoltiplicatore viene demodulato ed utilizzato per applicare un segnale
quasi statico al condensatore per bloccare la rotazione (sistema controreazionato)
• Il segnale d’errore di controreazione è analizzato nel dominio di Fourier per estrarre la
periodicità di 24 ore.
Massimizzazione del segnale (materiali diversi)
Al
Au
-Numero di Neutroni/Numero di Protoni
1.08
1.5
-Kcin eletr. livello K/Massa a riposo elettr.
0.003
0.16
-Energia elettrostatica Nuclei/Massa Atomica
0.001
0.004
Specifiche dell'apparato
- Sensibilità angolare 10-9 rad
- Stabilità in temperatura DT < 10-4 K
- Assenza di impurezze di ferro (accoppiamento con campo magnetico Terra )
-Disomogeneità nel gas: se Dr/Dt ~ 10-8 g/day ==> DF ~ 10-7 g cm /s2
Possibili disturbi nella misura:
• Gravità locale e sue fluttuazioni: bilancia di piccole dimensioni per ridurre
l’effetto del gradiente, di forma triangolare (interazione di ottupolo per il
momento delle forze).
• Effetti ambientali locali: distribuzione di massa intorno all’apparato di 4 g/ cm2.
• Effetti atmosferici: 5 mbar a 100 km su 50 × 50 km2 : η ∼ 10−17
• Contaminazione con elementi magnetici: un eventuale filamento magnetizzato
10 × 10 × 100 μm3 con magnetizzazione 100 Gauss interagisce con il campo
magnetico terrestre  effetto 20 volte maggiore
• Effetti elettrostatici: differenze di potenziale di contatto ∼ 0.5 V su superfici di
10 cm2 a 1 cm di distanza: F ∼ 10−11 N. Dipende dalla concentrazione di gas
adsorbito, quindi da T.
• Carica degli isolanti con il passaggio di raggi cosmici: tutti i materiali devono
avere una conducibilità superficiale non trascurabile.
• Pressione del gas: su 10 cm2 , anche con un vuoto di 10−6 mbar le temperature
devono differire di meno di 3 × 10−6 ◦C.
• Moto browniano (rumore termico): una energia kT/2 è associata a ogni grado
di libertà. L’ampiezza di rotazione corrispondente è ∆θ = 4.5 × 10−7 rad, 200
volte più grande dell’effetto cercato. Si raffredda elettronicamente quel grado
di libertà e nell’analisi dei dati si fa una media temporale su più periodi. In ogni
caso la densità di rumore termico è funzione delle frequenza, anche se
l’energia totale è fissata.
• Misura della rotazione: basata sulla leva ottica e misura della posizione della
figura di diffrazione, larga 10−5 rad, a livello di 3 × 10−9 rad. Sono necessari 107
fotoelettroni.
La pressione di radiazione è bassa. Il calore assorbito con l’1 % dei fotoni non
causa
differenze
di
pressione
apprezzabili
con
10−8 mbar.
La stabilità a bassa frequenza si ottiene principalmente con la stabilizzazione in
temperatura e con una lettura che sposta il segnale a frequenze più alte:
modulazione e demodulazione.
Sistema di modulazione del segnale
La bilancia sposta l’immagine di una
sorgente luminosa oscurata dall’ombra di un
filo oscillante
Si osserva l’intensità luminosa complessiva
dovuta alle code della figura di diffrazione
che dipendono dal centraggio.
Se la luce è centrata l’intensità è modulata
con armoniche pari e in particolare alla
seconda armonica della frequenza di
risonanza del filo
Se la bilancia è ruotata l’intensità contiene
componenti alla frequenza di oscillazione
del filo.
Nel caso della modulazione in ampiezza si
raddrizza il segnale e si applica un filtro
passa basso.
Modulazione del segnale
Controllo della temperatura
Misura in feedback
Problemi più difficili:
• Rumore non gaussiano: un
impulso abbastanza breve
di grande ampiezza eccita
vari modi
• Effetti di temperatura,
presenti nelle deformazioni
meccaniche, nelle proprietà
dei materiali come il
modulo di Young, nei
circuiti
elettrici,
nelle
batterie.
• In ultima analisi si cerca
una correlazione tra le
misure fatte e le indicazioni
delle sonde di temperatura
e se ne sottrae l’effetto
misurato.
Verifiche UFF: Braginsky & Panov
Fg1
1
Fin1
Fg2
2
Fin2
V.B.Braginsky and V.I.Panov
Sov. Phys. JEPT 34, 463-466 (1972)
Realizzato all’Università di Mosca
Accuratezza: h=10-12
Verifiche UFF: Braginsky & Panov
Al
Pt
Miglioramenti
1) Fibra più lunga
2) Disposizione delle masse
simmetrizzata per ridurre i
disturbi locali.
Purtroppo l’articolo e’ poco dettagliato
V.B.Braginsky and V.I.Panov
Sov. Phys. JEPT 34, 463-466 (1972)
Realizzato all’Università di Mosca
Accuratezza: h=10-12
Verifiche UFF: Adelberger et al.
Phys Rev. D 50 (1994) 3614
• Pendolo di torsione ben simmetrizzato con masse intercambiabili e a geometria
variabile per annullare i momenti di multipolo di ordine superiore;
• Misure dell’accelerazione rispetto al centro galattico .
h=10-13
Verifiche UFF: Adelberger et al.
Compensatori dei gradienti gravitazionali
a) compensa Q21
b) compensa Q22
Verifiche UFF: STEP
Barlier et al.  STEP (“Satellite Test for the Equivalence Principle”)
STEP will compare the accelerations of four pairs of test
masses in orbit. The free-floating test masses will be isolated
from disturbances inside a cryogenic dewar with
superconducting shielding and ultra-high vacuum, and their
accelerations will be measured by a superconducting circuit
using a quantum interference device (SQUID) for the best
sensitivity. The dewar is part of a "drag-free" satellite, i.e. a
satellite compensated for drag by proportional thrusters,
using the test masses as reference. This technique reduces
low-frequency acceleration disturbances from air drag,
magnetic field, and solar pressure to an acceptable level.
Gravity gradient disturbances are eliminated by precise
placement of the mass centers on each other. The mission will
be flown in a near-circular sun-synchronous orbit, to minimize
temperature variations, for period of six months. The best
altitude is approximately 550km.
Accuracy Goal: 1 parte su 1017
Verifiche UFF: Eotvos e la Vo Forza
Una ri-analisi dell’esperimento originale di Eotvos sviluppata da E. Fischbach e dai suoi
collaboratori [Phys. Rev Lett. 56, 3-6,(1986)] mostrò una suggestiva deviazione da UFF. La
violazione di UFF viene interpretata in termini dell’esistenza della 5o interazione fondamentale
che dipenderebbe dalla composizione degli oggetti.
Torneremo su questo
argomento prossimamente.
Le forze di marea
La forza di marea compare quando si considerano corpi estesi soggetti alle reciproche
attrazioni gravitazionali. In genere i sistemi per cui interessa studiare tale forza sono sistemi
binari, come ad esempio i sistemi stella-pianeta (Sole-Terra) o pianeta-satellite (Terra-Luna),
in cui si considera un corpo esteso che ruota attorno ad un’altra massa gravitazionale.
A
R
C
d
q
A’
MÄ
ro
Si prenda ad esempio il sistema Sole-Terra: la Terra compie un moto di rivoluzione attorno
al Sole con un periodo di un anno.
Nel sistema di riferimento solidale alla Terra, l’attrazione gravitazionale viene compensata
dalla forza centrifuga  vero soltanto nel centro di massa del pianeta.
Risultante delle forze che agiscono su un punto qualunque della superficie terrestre A:
sul centro di massa  FG (C)- FCe(C)=0
A questo effetto si aggiungono I termini dovuti al fatto che la terra e’ un corpo esteso per cui:
FM (A)=FG(A)−FCe(C)≠0
Forza mareale
aM ( A¢) = -
GM Ä
GM Ä
GM Ä
+
@
2R
(ro - R)2
ro2
ro3
(ro >> r) se q =0
x
A
R
C
ax = -x
d
q
A’
GM Ä
ro3
GM Ä
ay = -y 3
ro
GM Ä
az = 2z 3
ro
ro
MÄ
z
y
F potenziale corrispondente a questo campo di forza
GM Ä é 2 1 2 1 2 ù GM Ä 2 é 3cos2 q -1ù
F = 3 êz - x - y ú = 3 R ê
ú
ro ë
2
2 û
ro
2
ë
û
R = x 2 + y 2 + z 2 cos q = z / R
Le forze di marea
R
ro
GM
aG ( A¢) = 2
R
M Luna æ R ö
-7
ç
÷ = 0.5603´10
M Terra è RTL ø
3
æ R ö MÄ
aG ( A¢)
= 2ç ÷
aMareale ( A¢)
è ro ø M
3
M Sole æ R ö
-7
ç
÷ = 0.2580 ´10
M Terra è RTS ø
3
Le forze di marea: torsione
Effetto di torsione
Poniamo una bilancia di torsione in un punto dello spazio ove è presente un
campo gravitazionale a simmetria sferica.
La componente del momento torcente lungo l’asse x è
é
GM
GM ù 3 3GM
M x = ò ê y(2z 3 ) - z(-y 3 )úr d x = 3
ro
ro û
ro
ë
ò y z rd x = 3
x
3GM
I yz
ro3
Ikl è il generico elemento del tensore momento d’inerzia della bilancia
I kl = ò (r 2dlk - x k x l ) rd 3 x
z
y
Per un campo gravitazionale generato da una qualunque distribuzione di masse
M n = c 2 åe
kl
nkl
1
R k 0l 0 (-Ilk + dlk I lk )
3
e123 = e 231 = e 312 = 1
e 321 = e 213 = e132 = -1
Il momento torcente mareale cambia localmente iI momento angolare della bilancia.
L’accelerazione angolare che ne risulta, è una misura locale dell’effetto mareale
Le forze di marea
Un metodo
alternativo per
la misura dei
gradienti di
campo
gravitazionale
Sensibilità tipiche in accelerazione
differenziale
10-11 m/s-2 su metro
Ñ × a (r ) =
Il Gradiometro triassiale
Superconduttore di Paik
¶ax (r ) ¶a y (r ) ¶az ( r )
+
+
=0
¶x
¶y
¶z
Misure Indipendenti dei 3 componenti forniscono
un test della legge quadratica inversa