Meccanica dei Fluidi
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Meccanica dei Fluidi
Che cos’è un fluido?
2
Solidi, liquidi e gas
In natura le sostanze possono trovarsi in tre stati di
aggregazione:
Caratteristiche di un fluido
FLUIDO sostanza senza “forma” propria (assume la forma
del recipiente che la contiene)
Un fluido può essere:
Liquido - volume limitato dalla superficie libera
Gas - diffusione nell’intero volume disponibile
omogeneo caratteristiche fisiche costanti per tutto il suo volume
disomogeneo caratteristiche fisiche non costanti
Fluido “ideale”: non comprimibile, omogeneo, senza attrito
interno (non viscoso).
Esempio: Sangue
sospensione di cellule in soluzione acquosa di sali e molecole organiche
omogeneo a livello macroscopico, disomogeneo a livello microscopico
La densità
La densità d di un corpo è uguale al rapporto
tra la sua massa m e il suo volume V.
La densità d è direttamente proporzionale alla massa m
e inversamente proporzionale al volume V.
Meccanica dei Fluidi
La pressione e le sue leggi
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Perché i coltelli sono affilati?
La pressione
La stessa forza può avere effetti diversi a seconda della
superficie su cui agisce. Ad esempio chi cammina sulla neve:
La pressione
La pressione è una grandezza scalare
definita come il rapporto tra il modulo
della forza (perpendicolare
alla superficie) e l’area
di questa superficie.
La pressione
Nel Sistema Internazionale l’unità di misura della pressione
è il pascal (Pa).
Non conta la forza in se ma la sua componente
perpendicolare
La pressione
Esempio
Una stanza ha il pavimento di dimensioni 3.5 m per 4.2 m e altezza di
2.4 m.
Quant’è il peso dell’aria contenuta nella stanza alla pressione
atmosferica?
Soluzione
Il peso dell’aria è pari a mg dove m è la massa dell’aria contenuta nella
stanza. La massa è legata al volume dalla relazione m = rV. La densità
dell’aria a 1 bar è pari a 1.21 kg/m3 per cui possiamo scrivere:
P mg rVg
(1.21 kg / m3 )(3.5 4.2 2.4)m3 9.81 m / s 2
418 N
La pressione della forza peso nei liquidi
Ogni liquido è soggetto alla
forza-peso, che determina
una pressione data dalla
legge di Stevino:
La pressione dovuta al peso
di un liquido è proporzionale
sia alla densità del liquido che
alla sua profondità.
Esempio
Qual è la pressione della
colonna d’acqua a cui è
sottoposto un sub che si
trova a una profondità di 4
metri?
In generale, alla pressione
dovuta alla colonna d’acqua,
bisogna aggiungere la
pressione atmosferica che
agisce sulla superficie del
mare: p0 = 10,1 x 104 Pa
La pressione della forza peso nei liquidi
La densità del liquido è il
rapporto tra la sua massa ed il
suo volume:
gdh è la pressione dovuta al
peso della colonna d'acqua.
Ad essa si deve sommare la
pressione atmosferica p0:
Dimostrazione della legge di Stevino
La pressione sulla superficie S è causata dal peso del liquido
sovrastante, di volume V = Sh e massa m = d V = dSh.
La pressione del liquido è:
che nel caso più generale diventa:
ossia
La pressione sul fondo di un recipiente
Prendiamo tre recipienti di forma diversa, chiusi alla base da
una membrana di gomma:
La pressione del liquido non dipende dalla forma del
recipiente.
La pressione sul fondo di un recipiente
La pressione esercitata dal
liquido dipende solo dal livello
del liquido e non dalla
quantità.
Ad esempio, si può riuscire a
spaccare una botte piena
d'acqua aggiungendo solo un
tubo sottile riempito d'acqua.
Vasi comunicanti
I vasi comunicanti sono due o più recipienti uniti tra loro da un
tubo di comunicazione.
Esaminiamo cosa succede quando i vasi comunicanti vengono
riempiti con uno stesso liquido.
Vasi comunicanti
Un liquido versato in un sistema di vasi comunicanti
raggiunge in tutti i recipienti lo stesso livello.
Vasi comunicanti
Caso generale: due liquidi diversi.
Vasi comunicanti
Uguagliamo i valori della pressione nei due tubi, che sono dati da:
Le altezze dei due liquidi sono inversamente proporzionali alle loro
densità.
La legge di Pascal
La pressione esercitata su una superficie qualsiasi di un
liquido si trasmette, con lo stesso valore, su ogni altra
superficie a contatto con il liquido.
La legge di Pascal
Il palloncino, posto nell'acqua, mantiene sempre la forma
sferica.
Questo è spiegato dalla legge di Pascal:
La pressione esercitata su qualsiasi superficie di un liquido si
trasmette, con lo stesso valore, su ogni altra superficie a
contatto con il liquido.
Il torchio idraulico
Legge di Pascal
Meccanica dei Fluidi
Il principio di Archimede
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La spinta di Archimede
Spiega perché alcuni corpi in acqua affondano mentre altri galleggiano.
La spinta di Archimede
Legge di Archimede: un corpo immerso in un fluido riceve una
spinta verso l'alto di intensità pari al peso del volume del fluido
spostato.
La spinta di Archimede: la mongolfiera
La legge di Archimede
vale anche per i gas.
La spinta di Archimede: sommergibili
densità maggiore
dell’acqua
densità minore
dell’acqua
Il galleggiamento dei corpi
Quanto detto si verifica con un semplice esperimento, immergendo
in acqua tre bottiglie diverse.
Esempi
Qual è la frazione f
visibile di un iceberg che
galleggia in acqua di
mare?
HRW 1 problema svolto 14.4 pag. 319
Esempi
Soluzione:
Il volume totale dell’iceberg sia 𝑉𝑖 . La sua parte invisibile sta sott’acqua e quindi è pari al volume 𝑉𝑓 del
fluido (acqua di mare) spostato dalla porzione sommersa. Vogliamo trovare la frazione f
𝑓=
𝑉𝑖 − 𝑉𝑓
𝑉𝑓
=1−
𝑉𝑖
𝑉𝑖
Ma non conosciamo nessuno dei due volumi. Abbiamo però un’idea chiave, dal momento che l’iceberg
galleggia il suo peso deve essere equilibrato dal peso della massa d’acqua spostata, cioè dovrà essere
𝑚𝑖 𝑔 = 𝑚𝑓 𝑔
Da cui si deduce che 𝑚𝑖 = 𝑚𝑓 . La massa dell’iceberg è dunque identica alla massa del fluido spostato
(acqua di mare). Non conosciamo né l’una né l’altra, ma leggendo i valori delle loro masse volumiche
(densità) nella tabella, possiamo esprimerle in termini di volume grazie alla definizione di densità. Dato
che le masse sono uguali, avremo
𝜌𝑖 𝑉𝑖 = 𝜌𝑓 𝑉𝑓 ⇒
𝑉𝑓 𝜌𝑖
=
𝑉𝑖 𝜌𝑓
Quindi possiamo scrivere
𝑘𝑔
917 3
𝜌𝑖
𝑚 = 0.1 = 10%
𝑓 =1−
=1−
𝑘𝑔
𝜌𝑓
1024 3
𝑚
Esempi (HRW 1 problema svolto 14.5 pag. 319)
Esercizio
Un pallone aerostatico sferico gonfiato con elio ha un raggio R di 12,0 m. Il pallone, comprese le
corde e il cesto sottostante, ha una massa m di 196 Kg. Qual è il massimo carico M che il pallone può
sollevare? Si assume 𝜌𝐻𝑒 = 0.160
𝐾𝑔
𝑚3
e 𝜌𝑎𝑟𝑖𝑎 = 1.25
𝐾𝑔
𝑚3
. Il volume d’aria spostato da cesto, carico e
funi è trascurabile.
Soluzione:
L’idea chiave sta nel riconoscere che il pallone coi cavi, il cesto, il carico e l’elio contenuto formano
un corpo galleggiante, di massa totale 𝑚 + 𝑀 + 𝑚𝑒𝑙𝑖𝑜 dove quest’ultima è la massa del gas. Il
modulo della forza gravitazionale complessiva di questo corpo deve eguagliare il peso dell’aria
spostata (perché l’aria è il fluido nel quale galleggia). Chiamiamo 𝑚𝑎𝑟𝑖𝑎 la massa di quest’ultima.
Dobbiamo quindi avere
𝑚 + 𝑀 + 𝑚𝐻𝑒 𝑔 = 𝑚𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑔 ⇒ 𝑀 = 𝑚𝑎𝑟𝑖𝑎 − 𝑚𝐻𝑒 − 𝑚
Le masse dell’elio e dell’aria spostate sono ignote ma ne conosciamo i valori di massa volumica che
ci permettono di riscrivere la precedente equazione in termini di densità. Abbiamo detto che,
trascurando gli altri elementi, il volume del fluido spostato si riduce al solo volume del pallone
sferico 𝑉 =
𝑀 = 𝜌𝑎𝑟𝑖𝑎
4
3
𝜋𝑅3 . Quindi possiamo scrivere
4
𝜋 12.0𝑚
4
3
𝑉 − 𝜌𝐻𝑒 𝑉 − 𝑚 = 𝜋𝑅 𝜌𝑎𝑟𝑖𝑎 − 𝜌𝐻𝑒 − 𝑚 = 3
3
= 7694 𝑘𝑔
3
1.25 − 0.160 𝑘𝑔
𝑚3
− 196𝑘𝑔
Meccanica dei Fluidi
La pressione atmosferica
34
La pressione atmosferica
Tutti gli oggetti sulla Terra sono sottoposti alla pressione esercitata
dalla colonna d'aria che li sovrasta: la pressione atmosferica.
La pressione atmosferica
Nel 1654 a Magdeburgo ebbe luogo un esperimento storico, in cui 16
cavalli non riuscirono a separare due semisfere metalliche tra cui era
stato fatto il vuoto.
La pressione atmosferica, agendo solo all'esterno delle semisfere, le
rendeva inseparabili.
La pressione atmosferica
Venne misurata da Evangelista Torricelli, che
capovolse un tubo pieno di mercurio in una
bacinella piena di mercurio.
La pressione esercitata dalla colonna di mercurio
deve uguagliare la pressione atmosferica sulla
superficie libera.
Al livello del mare h=76 cm e
La pressione atmosferica
Unità di misura della pressione
atmosferica:
il pascal (Pa): 1 Pa = 1N/1m2;
l'atmosfera: 1 atm = 1,01 x 105 Pa;
il bar: 1 bar = 105 Pa (circa 1 atm) usato in
meteorologia con il sottomultiplo mbar.
La pressione diminuisce con l'altitudine
perché la colonna d'aria che ci sovrasta è
più bassa e più rarefatta.
La diminuzione della pressione
atmosferica è pari a circa 1300 Pa per
ogni 100 m di innalzamento.
La pressione atmosferica
Strumenti di misura della pressione
atmosferica:
barometri a mercurio;
barometri metallici.
In meteorologia si disegnano le
curve in cui la pressione
atmosferica ha lo stesso valore: le
isobare.
A: alta pressione (bel tempo)
B: bassa pressione
(maltempo).
Meccanica dei Fluidi
Cenni di dinamica dei fluidi
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La corrente di un fluido
La corrente di un fluido è il
movimento ordinato di un liquido o di
un gas.
La portata q è il rapporto tra il volume
di fluido V che attraversa una
sezione in un tempo t ed il tempo t
stesso:
La corrente di un fluido
La sezione trasversale di un fluido attraverso cui si misura la
portata è una superficie immaginaria immersa nel fluido.
Correnti stazionarie
Si dice stazionaria una corrente la cui portata attraverso
qualsiasi sezione del conduttore è costante nel tempo.
L’equazione di continuità
La portata q di un fluido che scorre a velocità v in una
conduttura di sezione S è data dalla formula:
Quindi la portata è direttamente proporzionale sia alla
sezione del tubo che alla velocità del fluido.
La portata
Moto di un liquido in una conduttura
Un liquido, a differenza di un gas, si può considerare
incompressibile, cioè mantiene inalterato il proprio volume.
In un tubo singolo:
L’equazione di continuità
Nel tubo singolo senza sorgenti e pozzi vale l'equazione di
continuità:
la portata del liquido in A e in B è costante;
la sezione trasversale della conduttura e la velocità del liquido
sono inversamente proporzionali.
L’equazione di continuità
La proporzionalità inversa tra sezione del tubo e velocità del
liquido, SAvA = SBvB, significa che nelle strettoie il liquido
fluisce più in fretta: se S si dimezza v raddoppia e viceversa.
Quando si annaffia si
blocca parzialmente la
sezione del tubo con
un dito per far sì che
l'acqua, uscendo a v
maggiore, arrivi più
lontano.
L’equazione di continuità
Se il condotto si apre in più diramazioni, bisogna considerare la superficie
totale. In ogni tratto si avrà sempre Q = v S.
NOTA. Nell’ultimo tratto conta la sezione totale dei canali!
Equazione di continuità
Esempio di applicazione al flusso sanguigno
Negli esseri umani il sangue fluisce dal
cuore nell’aorta, dalla quale passa nelle
arterie maggiori. Queste si ramificano
nelle piccole arterie (arteriole), che a
loro volta si ramificano in miriadi di
piccoli capillari. Il sangue ritorna al
cuore attraverso le vene. Il raggio
dell’aorta è circa 1.2 cm e il sangue che
vi scorre attraverso ha una velocità di
circa 40 cm/sec. Un capillare tipico ha
un raggio di circa 4 10-2 cm e il sangue
vi scorre attraverso ad una velocità di
circa 5 10-4 m/s. Stimare quanti capillari
vi sono nel corpo.
Equazione di continuità
Esempio di applicazione al flusso sanguigno
Soluzione:
Supponiamo che la densità del sangue non cambi significativamente dall’aorta ai capillari. Per
l’equazione di continuità la portata di volume nell’aorta deve essere uguale alla portata attraverso
tutti i capillari. L’area totale dei capillari è data dall’area di un capillare moltiplicata per il numero N
dei capillari.
2
Siano 𝐴1 l’area dell’aorta e 𝐴2 l’area di tutti i capillari in cui fluisce il sangue. Allora 𝐴2 = 𝑁 𝜋𝑟𝑐𝑎𝑝
dove N è il numero dei capillari e 𝑟𝑐𝑎𝑝 ∼ 4 ⋅ 10−4 𝑐𝑚 è il valor medio stimato per il raggio di un
capillare. Dall’equazione di continuità abbiamo
2
2
𝑣1 𝐴1 = 𝑣2 𝐴2 ⇒ 𝑣2 𝑁𝜋𝑟𝑐𝑎𝑝
= 𝑣1 𝜋𝑟𝑎𝑜𝑟𝑡𝑎
Quindi
2
𝑣1 𝑟𝑎𝑜𝑟𝑡𝑎
0.40 𝑚/𝑠
𝑁=
=
2
𝑣2 𝑟𝑐𝑎𝑝
5 ⋅ 10−4 𝑚/𝑠
Dell’ordine di 10 miliardi di capillari.
1.2 ⋅ 10−2 𝑚
4 ⋅ 10−6 𝑚
2
∼ 7 ⋅ 109
Equazione di continuità
Esempio di applicazione al flusso sanguigno
Rappresentazione
schematica
della
variazione
di
sezione
totale e di velocità media
del sangue nei vari distretti
del sistema circolatorio.
La velocità nei capillari è
molto bassa dell’ordine del
millimetro al secondo.
La bassa velocità è
essenziale per i processi
biochimici di scambio di
sostanze necessari alla
vita.
L’equazione di Bernoulli
Un fluido che scorre in un tubo a diametro variabile e piegato in
direzione verticale è soggetto a diverse forze:
oltre alla forza d'attrito.
L’equazione di Bernoulli
Per il fluido varia: la quota y, la velocità v e la pressione p a cui è sottoposto.
Nelle ipotesi di: fluido incompressibile, corrente stazionaria e attrito inesistente, vale
l'equazione di Bernoulli:
L’equazione di Bernoulli
L’equazione di Bernoulli è una conseguenza diretta del principio di conservazione
dell’energia
Ecinetica E potenziale E pressione costante
1 2
1 2
Etotale mv1 mgh1 p1V mv2 mgh2 p2 V
2
2
Dividendo tutto per V e ricordando la definizione di densità possiamo scrivere
Etotale 1 2
1 2
rv1 rgh1 p1 rv2 rgh2 p2 costante
V
2
2
Esercizio
In una casa l’acqua calda circola in un impianto di riscaldamento. Se l’acqua viene pompata ad una
velocità di 0.5 m/sec attraverso un tubo del diametro di 4.0 cm nello scantinato ad una pressione di 3
atm, quali saranno la velocità di flusso e la pressione in un tubo di 2.6 cm al secondo piano situato 5 m
sopra?
Soluzione:
Usiamo l’equazione di continuità a densità costante per determinare la velocità del flusso al secondo
piano e, successivamente, l’equazione di Bernoulli per determinare la pressione.
Prima calcoliamo la velocità di flusso al secondo piano, che indicheremo con 𝑣2 , essendo nota la velocità
di flusso nel seminterrato (𝑣1 ), utilizzando l’equazione di continuità. Ricordando che le aree sono
proporzionali al quadrato del raggio (𝐴 = 𝜋𝑟 2 ) otteniamo
𝑣1 𝐴1
𝑣1 𝜋𝑟12
0.50𝑚/𝑠 0.020𝑚
𝑣2 =
=
=
𝐴2
0.012𝑚 2
𝜋𝑟22
2
= 1.2 𝑚/𝑠
Per trovare la pressione al secondo piano usiamo l’equazione di Bernoulli
𝑃2 = 𝑃1 + 𝜌𝑔 𝑦1 − 𝑦2 +
1
𝜌(𝑣12 − 𝑣22 )
2
= 3.0 105 𝑁𝑚 −2 + 1.0 103 𝑘𝑔𝑚 −3 9.8 𝑚𝑠 −2 −5.0𝑚
1
+
1.0 103 𝑘𝑔𝑚 −3 0.5 𝑚𝑠 −1 2 − 1.2 𝑚𝑠 −1
2
Il termine dovuto alla velocità in questo caso contribuisce molto poco.
2
= 2.5 105 𝑁𝑚 −2 = 2.5 𝑎𝑡𝑚
L’attrito nei fluidi
L'attrito viscoso si oppone al moto degli oggetti nei fluidi.
1) Attrito con le pareti della conduttura.
In condizione laminare (senza vortici) le lamine di fluido a
contatto con la parte risentono dell'attrito e lo trasmettono in
parte al resto del fluido.
Attrito con le pareti della conduttura
Si verifica sperimentalmente che vale la legge:
F: forza necessaria per mantenere in moto il fluido a velocità v;
S: area dello strato di fluido;
d: distanza dalla parete;
: coefficiente di viscosità (dipende dal fluido).
Attrito con le pareti della conduttura
Unità di misura (nel sistema MKS):
N s/m2 = Pa s
Coefficienti di viscosità per diversi fluidi:
Legge di Poiseuille
L’equazione di Poiseuille mette in
relazione
la
differenza
di
pressione, condizione essenziale
per il moto di un fluido, con le
caratteristiche geometriche del
condotto, la viscosità del liquido e
la portata che risulta direttamente
proporzionale alla differenza di
pressione:
R 4
P1 P2
Q
8L
La velocità è maggiore al centro
del condotto e decresce a mano a
mano che ci si avvicina alle pareti
secondo un profilo parabolico.
Il moto avviene in regime
laminare.
Attrito su un corpo in moto nel fluido
2) Attrito su un corpo in moto nel fluido.
Un’automobile accelera partendo da ferma.
Attrito su un corpo in moto nel fluido
Nel caso più semplice di una sfera di raggio r che si muove in
un fluido di viscosità a velocità v la forza FV di attrito
viscoso è data dalla legge di Stokes:
Attrito su un corpo in moto nel fluido
Un paracadutista è soggetto alla:
forza-peso FP diretta verso il basso;
forza d'attrito viscoso FV diretta
verso l'alto e che aumenta al
crescere della velocità di caduta v.
A un certo istante
Attrito su un corpo in moto nel fluido
Quando Ftot = 0 il paracadutista scende a v=costante (I
principio dinamica) fino alla fine: è chiamata velocità limite.
Per una massa di 100 kg attaccata ad un paracadute di
diametro di 10 m, la velocità limite è circa 3 m/s.
Attrito su un corpo in moto nel fluido
Si ha Ftot = 0 quando FP = FV .
Uguagliando la formula di Stokes alla forza-peso otteniamo:
che dà una velocità limite
