moto di un proiettile - Istituto Santa Maria

MOTO DI UN PROIETTILE
Progetto a cura di
Davide Iacuitto e Leonardo Nardis
GALILEO GALILEI E LO STUDIO DELLA
COMPOSIZIONE DEI MOTI
• Galileo Galilei fu il primo che studiò il
moto dei corpi, con particolare riguardo
al moto parabolico
• Si dedicò in particolar modo al moto di
un corpo lanciato con direzione (e
velocità) orizzontale
• Intuì empiricamente che il moto
parabolico (incluso quello di un
proiettile) derivava dalla composizione di
due moti: il moto orizzontale rettilineo
uniforme
e
il
moto
verticale
uniformemente accelerato, di caduta
libera
MOTO DI UN PROIETTILE LANCIATO CON
DIREZIONE ORIZZONTALE
y
Moto rettilineo uniforme
Vo
Moto rettilineo
uniformemente
accelerato
h
x
Galileo scoprì che il moto parabolico è
causato dalla composizione di due
moti diversi:
-Moto orizzontale, che ha velocità
costante uguale alla velocità iniziale,
ed è un moto rettilineo uniforme
-Moto verticale, di caduta libera. Il suo
moto è rettilineo uniformemente
accelerato
I due moti agiscono contemporaneamente, ma non si influenzano l’uno con
l’altro. Tale fenomeno è definito principio d’indipendenza dei moti
X = Vo t
1
Y = - 2 gt 2 + h
DIMOSTRAZIONE CHE LA TRAIETTORIA
PERCORRE UN RAMO DI PARABOLA
Dalle equazioni precedenti si ottiene:
x
Vo
1
x
Y = - g( )2 + h
2 Vo
x
t=
Vo
1 g
Y=x2+ h
2
2 Vo
t=

 Y = - ax 2 + h
Abbiamo, pertanto, ottenuto l’equazione di una parabola con concavità rivolta
verso il basso (poiché la costante a è negativa) e vertice sull’asse delle
ordinate
MOTO DI UN PROIETTILE LANCIATO CON
DIREZIONE NON ORIZZONTALE (1/2)
Y
Vo y
α
Vo x
X = Vox t
1
Y = - gt 2 + Voy t
2
Vox = Vo cos α
Voy = Vo sen α
X
Passiamo allo studio del
moto di un proiettile lanciato
da terra verso l’alto, con
direzione (e velocità Vo) non
orizzontale.
Dobbiamo
risolvere
un
problema di tipo balistico
Vfx = Vox
Vfy = - gt + Voy
MOTO DI UN PROIETTILE LANCIATO CON
DIREZIONE NON ORIZZONTALE (2/2)
dalle equazioni precedenti otteniamo:
x
t = Vox
1
x
Y = - 2 g(Vox)2 + Voy( x )

Vox
Y=-
1
X2
g
2 Vo2 cos α2
x
+ Vo sen α Vo cos α
Tenendo
conto delle costanti si giunge a: Y = -aX 2+ bX

Anche in questo caso abbiamo ottenuto l’equazione di una parabola, con asse parallelo
all’asse y, rivolta verso il basso, il cui vertice, tuttavia, non è più sull’asse delle ordinate
GITTATA (1/2)
X
t=
Vox
1 2
0 = - gt +
2
X = Vox t
Y=
1
2
gt 2 + Voy t
Voy t
da cui si ottiene:
1
X2
g
2 Vox2
Voy
1
X
Voy
0=+
x  0=x − g 2 +
Vox
2 Vox
Vox
Siamo giunti adesso ad un equazione spuria, dalla quale
otteniamo due valori di x di cui uno uguale a 0 (che è il punto di
origine del lancio) e l’altro che individua il punto di caduta:
• X= 0
• −
1
2
X
g 2
Vox
+
Voy
Vox
=0
GITTATA (2/2)
Per trovare la gittata (x), che ci consente di determinare il punto
di caduta, prendiamo in considerazione la seconda equazione:
−
1
2
X
g
Vox2
=-
Voy
Vox
 X=
2 Vox Voy
g
Poiché è:
Vox = Vo cos α
Voy = Vo sen α
X=
2Vo2 cos α sen α
g
La gittata massima si ottiene a 45°  X =
Vo2
g
La gittata di due oggetti lanciati con angoli diversi, ma la cui
somma sia pari a 90° è sempre uguale (es. 30° e 60°; 15° e 75°)
ALTEZZA MASSIMA
1
2
Y = gt 2 +Voy t
Vfy = Voy – gt
VfY è uguale a 0 poiché nel punto più alto della traiettoria la
componente verticale della velocità è nulla
E quindi si ottiene:
Voy
g
Voy
Voy
g
0 = Voy – gt  t =
Y=
Y=
1 Voy2
- g 2
2
g
Voy2
2g
+
e sostituendo:
 Y=-
1 Voy2
2 g
+
Voy2
g
