Luogo geometrico:
Asse di un segmento,
Bisettrice di un angolo,
Circonferenza
1
Luogo geometrico
In geometria esistono delle figure formati da punti
che soddisfano a delle particolari condizioni.
Queste figure costituiscono dei luoghi geometrici.
Pertanto:
Definizione: un luogo geometrico è un insieme di
punti che soddisfano tutti ad una stessa
particolare proprietà.
2
Definizione: Il luogo geometrico è un insieme di
punti che soddisfano tutti ad una stessa
particolare proprietà. Ovvero: Il luogo
geometrico è un insieme di punti che verificano
le seguenti condizioni:
1) ogni punto del luogo geometrico verifica una
certa proprietà;
2) ogni punto che verifica la proprietà appartiene
al luogo geometrico
3
Esempi di luoghi geometrici:
1.Asse di un segmento;
2.Bisettrice di un angolo;
3.Circonferenza.
Adesso verranno esaminati
singolarmente i tre luoghi geometrici
4
Asse di un segmento
Si consideri il segmento
s=[AB]
Sul segmento, s=[AB],
si individua il suo punto
medio, C.
Nel file “Asse di un segmento” è descritto il metodo
per individuare, mediante riga e compasso, il punto
medio e l’asse di un segmento.
5
Per il punto medio C
del segmento [AB] si
tracci la
perpendicolare, r, al
segmento, s.
La retta perpendicolare, r, è l’asse del segmento [AB].
Quindi:
Definizione: L’asse di un segmento, s=[AB], è la retta,
r, perpendicolare al segmento e passante per il suo punto
medio, C.
6
Come luogo geometrico l’asse di un segmento è
(teorema) il luogo dei punti che sono equidistanti
dagli estremi del segmento.
Tenendo presente le caratteristiche di un luogo
geometrico, per verificare la precedente
affermazione è necessario dimostrare i seguenti
teoremi:
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Teorema 1: Ogni punto dell’asse (luogo geometrico) è
equidistante (proprietà) dagli estremi del segmento:
Siano dati il segmento [AB],
il suo asse, r, ed un punto D
appartenente all’asse.
Ipotesi:
1) La retta r è perpendicolare al segmento [AB] (per definizione
di asse di un segmento);
2) C punto medio del segmento [AB];
3) Il punto D appartiene alla retta r.
Tesi: Il punto D è equidistante dagli estremi A e B, ovvero
8
[DA] [DB]
Teorema 1: Ogni punto dell’asse è equidistante dagli
estremi del segmento:
Dimostrazione: Si prendono
in considerazione i due
triangoli [ACD] e [BCD]. Si
osserva che:
1) I due triangoli sono rettangoli,
perché la retta r è perpendicolare
al segmento [AB] (ipotesi a).
Quindi gli angoli in C sono
entrambi retti.
2) I segmenti [AC] e [CB] sono congruenti per l’ipotesi b). Quindi
[AC] [CB].
3) Il segmento [DC] è comune ai due triangoli.
9
Teorema 1: Ogni punto dell’asse è equidistante dagli
estremi del segmento:
Pertanto i due triangoli hanno di
congruente due lati e l’angolo
retto compreso tra di essi, quindi
i due triangoli, [ACD] e [BCD],
sono congruenti. Di conseguenza
hanno di congruente tutti gli altri
elementi (gli angoli in A e B, i
due angoli in D e i due segmenti
[AD] e [BD]); in particolare
avranno di congruente i due
segmenti: [DA] [DB].
Questa affermazione coincide con ciò che si voleva dimostrare, per
cui la dimostrazione è terminata.
Questa dimostrazione corrisponde alla prima condizione a cui
devono verificare i punti di un luogo geometrico
10
Questa dimostrazione corrisponde alla prima
condizione a cui devono soddisfare i punti di un
luogo geometrico (ogni punto del luogo
geometrico verifica una certa proprietà; in questo
caso la proprietà è la equidistanza.)
La seconda condizione della definizione di luogo
geometrico (ogni punto che verifica la proprietà
appartiene al luogo geometrico) è fornita dal
seguente teorema.
11
Teorema 2: Un punto equidistante (proprietà) dagli
estremi di un segmento appartiene all’asse del segmento
(luogo geometrico).
Ipotesi: Il punto D è
equidistante dagli estremi del
segmento [AB], ovvero [DA]
= [DB].
Tesi: Il punto D appartiene all’asse r, ovvero la retta r
è perpendicolare al segmento [AB] e passa per il punto
medio, C, del segmento.
12
Dimostrazione: Si prende un punto
D equidistante dagli estremi del
segmento [AB]. Si congiunge il
punto D con gli estremi A e B e si
forma il triangolo isoscele [ADB]
(equidistanza di D da A e B:
[AD]=[BD]). Si traccia la retta r
passante per il punto medio C del
segmento [AB], ovvero si
congiunge il punto D con il punto
C. Nel triangolo isoscele [ADB], il
segmento [DC], per costruzione, è
la mediana relativa alla base [AB].
Però, in un triangolo isoscele la mediana coincide con la bisettrice
dell’angolo in D ed con l’altezza relativa alla base [AB]. Pertanto punto
D appartiene all’altezza [DC] e quindi appartiene alla perpendicolare
che passa per il punto medio della base [AB], ovvero all’asse del
13
segmento [AB]. Pertanto il teorema è dimostrato.
Bisettrice di un angolo
Nella figura è disegnato
l’angolo convesso α con
vertice in V e con lati le
semirette r e s.
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Bisettrice di un angolo
Definizione di bisettrice
di un angolo.
La bisettrice di un
angolo è la semiretta, t,
che passa per il vertice,
V, dell’angolo e che lo
divide in due angoli, β e
γ, congruenti.
1
2
15
La bisettrice, come luogo geometrico, viene definita
nel seguente modo:
La bisettrice è il luogo geometrico dei punti che
sono equidistanti dai lati dell’angolo.
Anche per la definizione di bisettrice si distinguono due
casi, che si traducono in due teoremi.
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Teorema 1: Ogni punto della bisettrice (luogo geometrico) di
un angolo è equidistante (proprietà) dai lati dell’angolo.
Sia D un generico
punto della
bisettrice, t.
Il segmento [DF],
perpendicolare al
lato r dell’angolo α,
è la distanza del
punto D al lato r
dell’angolo α.
Il segmento [DE], perpendicolare al lato s dell’angolo α, è la
distanza del punto D al lato s dell’angolo α.
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Teorema 1: Ogni punto della bisettrice (luogo geometrico) di
un angolo è equidistante (proprietà) dai lati dell’angolo.
Verificare che il
punto D è
equidistante, cioè
[DF]=[DE], dai lati
r e s dell’angolo α
risulta abbastanza
semplice.
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Teorema 1: Ogni punto della bisettrice (luogo geometrico) di
un angolo è equidistante (proprietà) dai lati dell’angolo.
Ipotesi:
1) β=γ (bisettrice)
2) [DE]
perpendicolare
(distanza) ad s;
3) [DF]
perpendicolare ad
r.
Tesi: Le distanze del punto D dai lati r ed s dell’angolo α
sono congruenti:
[DE]=[DF]
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Teorema 1: Ogni punto della bisettrice (luogo geometrico) di
un angolo è equidistante (proprietà) dai lati dell’angolo.
Dimostrazione:
Si considerano i triangoli
[EVD] e [FVD].
1) Sono entrambi
rettangoli (δ=ε=90°);
2)Gli angoli β e γ sono
congruenti (β=γ) per
l’ipotesi 1.
3) Poiché in ogni triangolo la somma degli angoli interni vale un
angolo piatto; inoltre dal momento che i due triangoli hanno due
angoli congruenti (δ=ε e β=γ) allora anche i due restanti angoli in D
risultano congruenti.
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Teorema 1: Ogni punto della bisettrice (luogo geometrico) di
un angolo è equidistante (proprietà) dai lati dell’angolo.
4) Il lato [VD] risulta in
comune.
5) Pertanto i due triangoli
hanno tre angoli
congruenti ed un lato in
comune, per cui essi sono
congruenti per il secondo
criterio di congruenza dei
triangoli.
Quindi i due triangoli ([VDE] e [ADF]) hanno di uguale tutti gli altri
elementi. In particolare risulta che i segmenti [DE] e [DF] sono congruenti,
per cui il punto D ha la stessa distanza dai lati s ed r.
21
Teorema 2: Ogni punto del piano equidistante (proprietà) dai
lati di un angolo appartiene alla bisettrice (luogo
geometrico).
Ipotesi:
1) Il punto D è
equidistante dai lati r
ed s dell’angolo α, cioè
[DF]=[DE];
2) I segmenti [DE] e [DF]
sono perpendicolari,
rispettivamente, ad r ed
s.
Tesi: Il punto D appartiene alla bisettrice, t.
(Si omette la dimostrazione)
22
Nel file bisettrice è riportata la costruzione,
mediante riga e compasso, della bisettrice di un
angolo.
La costruzione è stata effettuata utilizzando il
GeoGebra.
23
Circonferenza
La circonferenza, al pari dell’asse di un
segmento e della bisettrice di un angolo,
costituisce un luogo geometrico.
La circonferenza, come luogo geometrico, è
definita come l’insieme di punti del piano che
hanno che hanno tutti la stessa distanza da un
punto assegnato, chiamato centro. Il segmento
che per estremi un punto della circonferenza ed
il suo centro è chiamato raggio.
24
I punti C, D, G, E, F, H hanno tutti la stessa distanza,
rispettivamente a, b, d, e, f, g, da un punto prefissato, O.
a=b=d=e=f=g
25
L’insieme di tutti i punti equidistanti dal punto prefissato,
O, costituisce la circonferenza, come è rappresentato in
figura. Il segmento, R=[OA], che ha per estremi il
centro, O, della circonferenza ed un suo punto, ad
esempio il punto A, è il raggio della circonferenza.
26
La parte di piano costituita dai punti della circonferenza e
dai quelli interni alla circonferenza si chiama cerchio.
27
Disegno circonferenza
Quanti punti sono necessari per disegnare una
circonferenza?
Risposta: Sono sufficienti tre punti non allineati,
cioè che non appartengono alla stessa retta.
28
Circonferenza per tre punti
Dati tre punti non allineati come si individua la
circonferenza?
Adesso verrà illustrato il metodo per individuare il
centro ed il raggio della circonferenza.
29
Su di un piano sono disegnati tre punti, A, B e C, non
allineati, cioè non appartengono alla stessa retta..
30
Si disegnano i due segmenti:
a=[AB]
b=[BC]
31
Si disegna l’asse, c, del segmento a=[AB].
Come detto in precedenza, ogni punto dell’asse, c, è
equidistante dagli estremi del segmento [AB].
32
Si disegna l’asse, d, del segmento b=[CB].
Ogni punto dell’asse, d, è equidistante dagli estremi
del segmento [CB].
33
I due assi, c e d, si intersecano nel punto O.
34
Il punto O, poiché appartiene all’asse c, è equidistante
dagli estremi del segmento [AB] (definizione di asse di
un segmento). Quindi:
e=[OA]=[OB]=f
35
Il punto O, poiché appartiene all’asse d, è equidistante
dagli estremi del segmento [CB] (definizione di asse di
un segmento). Quindi:
g=[OC]=[OB]=f
36
Unendo i due risultati precedenti
e=[OA]=[OB]=f=[OC]=g
si ha che il punto O,intersezione degli assi c e d, risulta
equidistante dai tre punti non allineati A, B, e C. Quindi …
37
Quindi puntando il compasso nel punto O e apertura
(raggio) pari alla lunghezza di uno dei tre segmenti, e, f , g,
si traccia la circonferenza h.
38
Elementi di una circonferenza
O: centro della circonferenza
Il raggio, R, di una
circonferenza è qualsiasi
segmento che congiunge il
centro della circonferenza
con un suo punto.
Corda
La corda è un segmento che
congiunge due punti di una
circonferenza. Nella figura è
il segmento a=[AB].
39
Per rispondere alla domanda, si
individua una corda, a=[AB], e
si congiungono i suoi estremi,
A e B, con il centro, O, della
circonferenza. In questo modo
si individua il triangolo
[AOB]. Questi è un triangolo
isoscele poiché il centro O è
equidistante da A e B:
[OA]=[OB]=R raggio.
Poiché in ogni triangolo un lato, in questo caso la corda [AB],
ha una lunghezza che è sempre inferiore alla somma delle
lunghezze degli altri due lati, [OA] e [OB], si ha
[AB]<[OA]+[OB] [AB]<R+R [AB]< 2·R [AB]< d
40
Corda
Se dal centro della circonferenza
si conduce la perpendicolare alla
corda [AB], allora il punto H è il
punto medio del segmento [AB].
La giustificazione di tale
affermazione è semplice: basta
tener conto delle proprietà di un
triangolo isoscele.
In un triangolo isoscele, [AOB], la perpendicolare, [OH], alla base
- corda, [AB], è anche bisettrice e mediana. Quindi H è il punto
medio della corda [AB]. Il segmento [OH] è chiamata distanza
41
della corda [AB] dal centro della circonferenza, O.
In una stessa circonferenza, o
in circonferenze congruenti,
due corde congruenti hanno
la stessa distanza dal centro
della circonferenza.
Se
[AB][CE]
allora
[OF][OH]
L’affermazione precedente può essere invertita: In una
circonferenza se due corde, [AB] e [BC], che hanno uguali
distanze dal centro, [OF][OH], allora le due corde sono
congruenti, [AB][CE].
42
Arco di una circonferenza
Un arco è ciascuna delle due
parti in cui viene divisa una
circonferenza quando su di
essa vengono presi due suoi
punti.
Nella figura, il primo arco è
la parte, k; il secondo arco è
la parte restante della
circonferenza.
Secondo arco
Primo arco
43
Arco e corda
I punti D e F sono gli
estremi dei due archi
(FID) e (FED).
Gli estremi dei due archi
sono anche estremi della
corda [DF].
Allora si dice che la corda
[DF] sottende i due archi
(FID) e (FED).
44
Elementi di una circonferenza
L’arco compreso tra gli
estremi di un diametro, d, si
chiama semicirconferenza, q.
La parte di piano compresa tra
il
diametro
e
la
semicirconferenza si chiama
semicerchio.
Semicerchio
Semicirconferenza
45
Proprietà relative ad una circonferenza
L
46
Rette e circonferenze
Una retta nei confronti
di una circonferenza può
trovarsi in tre differenti
posizioni.
Una retta, s, è esterna
ad una circonferenza se
non ha punti in
comune con essa.
Ulteriore modo di definire retta esterna: Una retta, s, è esterna ad
una circonferenza se la sua distanza, [OD], dal centro è maggiore del
47
raggio della circonferenza:
Raggio < [OD]
Una retta, t, è tangente ad una
circonferenza se ha un solo
punto in comune con essa.
Ulteriore modo di definire retta tangente: Una retta, t, è
tangente ad una circonferenza se la sua distanza, [OD], dal
centro
è
uguale
al
raggio
della
circonferenza:
Raggio = [OD]
48
Una retta, w, è secante ad una
circonferenza se ha due punti
in comune con essa.
Ulteriore modo di definire retta secante: Una retta, w, è
secante ad una circonferenza se la sua distanza, [OK], dal
centro è minore al raggio della circonferenza:
Raggio > [OD]
49
Angoli al centro e alla circonferenza
Per il centro, O, della
circonferenza si tracciano due
semirette che passano per i punti
A e C. L’angolo, α=[AOC], che
si viene a formare, viene
chiamato angolo al centro.
Quindi, un angolo al centro,
α=[AOC], è un angolo che ha il
vertice
nel
centro
della
circonferenza.
I lati dell’angolo al centro intersecano la circonferenza nei punti A e
C individuando l’arco (AC). Allora si dice che l’angolo [AOC]
insiste sull’arco (AC).
50
Per un punto appartenente alla circonferenza si tracciano due semirette
secanti; una delle due semirette può essere anche tangente alla
circonferenza (seconda figura.) L’angolo convesso che si viene a formare
si chiama angolo alla circonferenza.
Quindi l’angolo alla circonferenza è un angolo convesso avente per
vertice un punto della circonferenza e i lati entrambi secanti la
circonferenza oppure uno secante e l’altro tangente alla circonferenza.51
Una situazione particolare si ottiene
quando, in una stessa circonferenza, un
angolo al centro, α, ed un angolo alla
circonferenza, β, insistono sullo stesso
arco (AB).
Ebbene, l’angolo al centro, α, è sempre
il doppio del corrispondente angolo
alla circonferenza, β. Perché?
α = 2·β
Nella figura a fianco gli angoli alla
circonferenza β, γ, e δ e l’angolo al
centro α insistono tutti sullo stesso
arco, (AB).
Allora si verifica che:
α = 2·β = 2·γ = 2·δ
52
Adesso si dimostrerà che l’angolo al
centro, α, è il doppio del
corrispondente
angolo
alla
circonferenza, β,
α = 2·β
Per
dimostrare
l’affermazione
precedente, si considera u particolare
angolo alla circonferenza: un lato,
[BC], passa per il centro della
circonferenza.
Dimostrazione: 1) Nel disegnare gli angoli, si forma il triangolo [COA];
2) Il triangolo [COA] è isoscele, perché i lati [AO] e [BO] sono uguali,
essendo raggi della circonferenza; quindi gli angoli alla base, β e ε, sono
uguali:
β=ε
3) L’angolo al centro α è anche esterno del triangolo [COA];
53
4) Un teorema afferma che l’angolo
esterno di un triangolo è uguale alla
somma dei due angoli non adiacenti.
5) Applicando il teorema al triangolo
isoscele [COA] si ottiene:
α=β+ε
6) Essendo gli angoli alla base uguali
β=ε
Si ottiene:
α = β + ε = 2·β
ed il teorema risulta dimostrato C.V.D.
2
1
2
54
Un’applicazione del teorema è riferita al
caso in cui triangolo è inscritto in una
semicirconferenza; cioè un lato
coincide con il diametro della
circonferenza.
Osservando la figura si nota che
l’angolo al centro, α, e l’angolo alla
circonferenza, β, insistono sullo stesso
arco,
(AB),
che
è
una
semicirconferenza.
Essendo l’angolo al centro un angolo piatto, allora l’angolo alla
circonferenza, per il teorema dimostrato, è la metà di un angolo piatto,
cioè è un angolo retto. Pertanto il triangolo [ACB] è un triangolo
rettangolo.
Generalizzando si ha che qualsiasi triangolo
semicirconferenza è sempre un triangolo rettangolo.
inscritto in una
55
Poligoni inscritti in una circonferenza
Un poligono si dice che è
inscritto
in
una
circonferenza se tutti i suoi
vertici appartengono alla
circonferenza.
La
circonferenza
circoscritta al poligono.
è
56
Una condizione affinché un
poligono sia inscrivibile in
una
circonferenza
è
necessario che gli assi dei
lati
del
poligoni
si
incontrino tutti in uno
stesso punto. Questo è il
centro della circonferenza
circoscritta al poligono.
Casi particolari
poligoni inscritti
una circonferenza.
di
ad
57
Qualsiasi triangolo, [ABC],
si può inscrivere in una
circonferenza. Gli assi dei
tre lati, a, b, d, si
intersecano sempre in un
punto, O.
Il centro della circonferenza
circoscritta
si
chiama
circocentro.
58
Un qualsiasi quadrilatero si
può inscrivere in una
circonferenza se la somma
degli angoli opposti è uguale
ad un angolo piatto.
59
In un qualsiasi rettangolo si
verifica la condizione che la
somma degli angoli opposti
è uguale ad un angolo piatto.
Infatti tutti gli angoli interni
sono retti, per cui:
Pertanto tutti i rettangoli si
possono inscrivere in una
circonferenza, il cui centro
è il punto di intersezione
delle diagonali.
1
2
60
Poligoni circoscritti ad una circonferenza
Un poligono si dice
circoscritto ad una
circonferenza se tutti i
suoi lati sono tangenti
alla circonferenza.
La circonferenza si
dice che è inscritta al
poligono.
61
Una condizione affinché
un
poligono
sia
circoscrivibile ad una
circonferenza
è
necessario
che
le
bisettrici degli angoli
interni si
incontrino
tutti in uno stesso
punto. Questo è il centro
della
circonferenza
inscritta al poligono.
Casi particolari di
poligoni circoscritti ad
una circonferenza.
62
Qualsiasi triangolo, [ABC],
si può circoscrivere ad una
circonferenza. Le bisettrici,
j, k, i, degli angoli interni,
α, β, γ, si intersecano
sempre in un punto, O.
Il centro della circonferenza
inscritta si chiama incentro.
63
Un qualsiasi quadrilatero
si può circoscrivere ad
una circonferenza se la
somma di due lati
opposti è congruente
alla somma degli altri
due.
AB DC BC AD
ae bd
64
Il rombo è un
quadrilatero che ha
tutti i lati congruenti
fra di loro, pertanto
soddisfa
alla
condizione che la
somma di due lati
opposti è congruente
alla somma degli altri
due.
Pertanto un qualsiasi rombo si può sempre circoscrivere ad
una circonferenza il cui centro è il punto di intersezioni delle
diagonali.
65
Poligoni regolari
Un poligono si dice
regolare se tutti i lati e
tutti gli angoli interni
sono congruenti.
abcdef
α =β = γ =δ = ε = ς
a=b=c=d=e=f
AB BC CD DE EF FA
66
Un poligono si dice regolare se si
può sempre inscrivere e circoscrivere
in una circonferenza.
Le due circonferenze, quella inscritta
e quella circoscritta hanno lo stesso
centro.
Il
raggio
della
circonferenza
circoscritta si chiama semplicemente
Raggio ed è la distanza tra il centro
della circonferenza circoscritta ed un
vertice del poligono.
Mentre il raggio della circonferenza inscritta al poligono si
chiama apotema. L’apotema è la distanza tra il centro della
circonferenza inscritta ed uno dei lati del poligono.
67
