Le altezze e l’ortocentro
L’altezza di un triangolo è il
segmento di perpendicolare
condotto da un vertice alla retta
cui appartiene il lato opposto.
Il lato, in tal caso, prende il nome di base.
Osservando la figura possiamo dire che:
• CH è l’altezza relativa al lato AB;
• BK è l’altezza relativa al lato CA;
• AL è l’altezza relativa al lato BC.
Le tre altezze di ogni triangolo
(o i loro prolungamenti) si incontrano
in un unico punto, detto ortocentro.
ORTOCENTRO
Posizione dell’ortocentro nei triangoli
acutangoli e rettangoli
Nel triangolo acutangolo le tre altezze
sono interne al triangolo e così anche
l’ortocentro è interno al triangolo.
Osserviamo il disegno qui a lato:
• CA è l’altezza relativa al lato AB;
• AB è l’altezza relativa al lato CA;
• AL è l’altezza relativa al lato BC.
Nel triangolo rettangolo l’ortocentro coincide
con il vertice dell’angolo retto e si trova sul
contorno del triangolo.
Posizione dell’ortocentro nei triangoli
ottusangoli
Nel triangolo ottusangolo alcune altezze “cadono” fuori.
Osserviamo la figura:
• CH è l’altezza relativa al lato AB
(prolungato);
• BK è l’altezza relativa al lato CA
(prolungato);
• AL è l’altezza relativa al lato BC.
Nel triangolo ottusangolo l’ortocentro
è esterno al triangolo.
Le mediane e il baricentro
La mediana relativa a un lato di
un triangolo è il segmento che
congiunge il punto medio del
lato con il vertice opposto.
Osserviamo la figura:
• CM è la mediana relativa ad AB;
• AN è la mediana relativa a BC;
• BR è la mediana relativa al lato AC.
Le tre mediane si incontrano in un
unico punto, detto baricentro, che
è sempre interno al triangolo.
BARICENTRO
Posizione del baricentro
Il baricentro di un triangolo divide ciascuna
mediana in due parti, una doppia dell’altra.
CB′ = 2 B′M
BB′ = 2 B′R
AB′ = 2 B′N
Le bisettrici
La bisettrice di un angolo, in un
triangolo, è il segmento
di bisettrice compreso tra un
vertice e il lato opposto.
Nel triangolo disegnato a lato
i segmenti AG, BS e CK si
dicono bisettrici del triangolo.
Le tre bisettrici si incontrano in
un unico punto, detto incentro.
In qualsiasi triangolo l’incentro
è equidistante dai lati.
INCENTRO
Nel triangolo ABC, dove l’incentro è I: IK = IS = IG
Gli assi
L’asse di un triangolo relativo a
un lato è la retta perpendicolare
al lato nel suo punto medio.
asse
I tre assi di un triangolo si incontrano
in un punto detto circocentro.
• Nei triangoli acutangoli
il circocentro è interno.
• Nei triangoli ottusangoli
il circocentro è esterno.
• Nei triangoli rettangoli
il circocentro è
sull’ipotenusa
ed è il suo
punto medio.
Alcuni esempi
Disegniamo su un foglio tre triangoli isosceli:
uno acutangolo, uno rettangolo, uno ottusangolo.
Ritagliamo i triangoli e pieghiamoli lungo le altezze.
In ciascun triangolo le due parti si sovrappongono
e quindi sono congruenti.
Abbiamo così verificato che in ogni triangolo
isoscele l’altezza relativa alla base AB è anche
mediana perché AH = HB, è bisettrice
perché
, e appartiene
all’asse della base AB perché è
perpendicolare a essa nel suo punto
medio H.
C
Prova tu
Sul triangolo equilatero ABC traccia le altezze e le
mediane relative ai lati BC e CA. In tal modo puoi dire di
aver verificato che ogni altezza è anche ..........................
mediana
A
B
Riassumendo ...
Particolari elementi di un triangolo
CH è l’altezza relativa ad AB:
CH ⊥ AB
CM è la mediana relativa ad AB:
AM = MB
CD è la bisettrice dell’angolo :
a è l’asse relativo al lato AB:
a ⊥ AB in M
Punti notevoli di un triangolo
Esercitati
• Completa le frasi scegliendo tra i termini punto medio, retta, vertice, retta
perpendicolare, segmento di perpendicolare, segmento, uno, due, tre.
L’altezza di un triangolo è il ........................................... condotto da un vertice alla
..................... cui appartiene il lato opposto. segmento di perpendicolare
retta
segmento
La mediana di un triangolo relativa a un lato è il ................................ che congiunge
punto medio
vertice del triangolo con il ...................................
un ................................
del lato opposto.
La bisettrice di un angolo di un triangolo è il segmento di bisettrice che congiunge
vertice
un ...................... con il lato opposto.
retta perpendicolare
L’asse di un triangolo relativo a un lato è la ...................................... al lato nel suo
.................................... . punto medio
• Scrivi il nome dei segmenti tracciati in colore nei quattro triangoli disegnati sotto:
mediana
bisettrice
asse
altezza
Esercitati
• Completa le definizioni trovando la corrispondenza corretta tra le colonne A e B.
c
d
b
a
B
• Traccia la mediana relativa al lato AB del triangolo
acutangolo ABC.
Il baricentro del triangolo è esterno o interno? ..................
interno
C
A
• Individua i punti notevoli rappresentati nelle figure.
baricentro
ortocentro
