L`immagine è cromatica

Telescopio interferometrico (a fibre ottiche)
F. Strumia - Dip. Di Fisica-Pisa
Viene descritto un nuovo tipo di telescopio in cui
l’immagine è costruita per interferenza. I singoli pixels
sono raccolti separatamente e riposizionati mediante
fibre ottiche.L’immagine è la figura di interferenza.
1. Introduzione, modo di funzionamento
2. Immagine: caratteristiche
3. Potere risolvente
4. Come migliorare e semplificare l’immagine
5. Costruzione pratica
Versione del 31.03.11 – [email protected]
Da Newton in poi si è sviluppata la tendenza e la necessità di aumentare
le dimensioni dello specchio Primario, sino a raggiungere il limite della
tecnologia.
OWL: 100m tel.
TMT:telescopio
da 30m
La complessità dei telescopi, il loro costo e le difficoltà costruttive sono
continuamente aumentati sino a divenire proibitivi.
Per es. il progetto del TMT ( D=30m) stima un costo di circa 109 $.
Altri progetti simili prevedono costi analoghi o superiori.
L’idea base del telescopio a fibre ottiche è di raccogliere separatamente i singoli Pixels,
di avvicinarli ed ottenere una immagine per interferenza.
Se si raccoglie la luce con lenti a distanza D e si avvicinano le fibre sino sino a d,
una differenza di fase δ nella luce entrante viene amplificata nella figura di interferenza
del fattore:
Δ= δ D/d
luce
Questa possibilità è già utilizzata in radioastronomia
In questo caso : λ = 74cm.
Il trasferimento del metodo in campo ottico, visibile ed infrarosso,
permetterebbe di:
1. - incrementare la qualità dei risultati (luminosità e risoluzione),
2. - avere immagini dirette per interferenza ottica,
3. - ridurre le dimensioni ed il peso per rendere possibile il
posizionamento nello spazio.
Esempi di radio telescopi
Il possibile schema consiste nel terminare le fibre ottiche
in un piano (non di qualità ottica) ed osservare, nel piano
focale di una lente, la figura di interferenza all’infinito.Il prisma
Per compensare il cromatismo.
Le fibre possono essere messe in fase mediante il comando di attuatori di fase ed un opportuno software
che ottimizzi il contrasto dell’immagine
Trasmissione di fibra commerciale in SiO2
L’immagine è periodica
L’immagine di interferenza è periodica e si ripete quando la differenza di cammino ottico
all’ingresso cambia di λ.
L’angolo di ripetizione dell’interferenza vale dunque:
Θ =λ/D
e può essere molto piccolo ( se λ=1 µm e D=1m
≈ θ= 10-6 rad. Circa 0.206 arcsec)
s.19
Immagine interferenziale di N sorgenti puntiformi lineari.
La luce viene raccolta da una lente e l’immagine si osserva nel suo piano focale.
Nei testi di ottica il reticolo di diffrazione, semplificato come una linea di sorgenti puntiformi
equidistanti b, viene calcolato dal modulo della somma dell’ampiezza complessa. Si ottiene :
Da Möller:”Optics”-1988
Univ. Science Books
La fig. di interferenza nella direzione θ è data dalla somma
delle ampiezze complesse
Il sistema ha simmetria cilindrica lungo l’asse y. Il modulo
quadro da l’intensità
Si ottiene la classica eq. del reticolo di diffrazione:
sin 2[ N sin(  )b / ]
EE*  AA
sin 2 [  sin(  )b / ]
Dove: A2 è l’intensità della singola sorgente , N il numero delle sorgenti disposte
lungo una linea: L’intensità del max.
vale I=
(AN)2 ,mentre la larghezza
del piccosi riduce come 1/N.

N=2
A=4
N=3
A=9
N=4
A=16
N=5
A=25
Se si usano due reticoli incrociati a 90º, il secondo concentrerà
La riga del primo in uno od una serie di punti in cui l’energia
Sarà proporzionale ad AN4.
Nel caso di sorgenti disposte nel piano x,y, la differenza di
cammino ottico δ dipende dalla
loro distanza e dagli angoli θ e φ(rispetto alla normale al piano):
= x+y In generale
= x+y.=bxSin(θ) +by Sin(φ)
≈ bxθ +by φ
z
O
Possiamo considerare due casi: Disposizione
a croce o disposizione in una griglia quadrata
Regolare di punti luminosi. In entrambi i casi
L’intensità della figura di diffrazione è data
dall’equaz (Sommerfel: Optics p.185).
O
Sin 2 (Nx) Sin 2 (Ny)
IA
*
2
Sin (x)
Sin 2 (y)
O
O
O
O

X≈ dθ ; y≈ dφ
O
O
O
O
2
2
Sin (Nx) Sin (Ny)
IA
*
2
2
Sin (x)
Sin (y)
Griglia quadrata di punti
Nel reticolo quadrato l’intensità
del picco cresce con N4
QUADRATO 5X5 : I=25x25 =625
Immagine di interferenza di 4+4 punti di uguale intensità I:
l’intensità delicco è I=16x16=256I.
Figura di interferenza di un quadrato di 10x10 punti: L’intensità
del picco vale 104 =10 000 volte l’intensità raccolta da un
Singolo elemento. Il contrasto è inoltre maggiore.
La figura è periodica,
L’intensità diminuisce
Lateralmente secondo la
fig. di diffrazione
della sezione della fibra
Sulla diagonale tra i picchi di max. il contrasto è elevato:
Quadrato 10x10, Max.=10 000, il contrasto è 10000
s.14
Esempio di figura di diffrazione da una griglia quadrata e regolare di punti
Da: R. Hoover Am. J. Phys. 37: 871-876 (1969)
L’immagine è cromatica perché la posizione angolare del massimo è proporzionale a λ. Si ha un max. per λ e per 2 λ. In
questo intervallo la risoluzione è ≈N. Ne segue che la dispersione cromatica dell’immagine è piccola e basta un modesto
filtro interferenziale (∆λ⁄λ ≈ 1/N) per compensarla.
Alternativamente si può usare un prisma di piccolo angolo ed opportuna dispersione,
messo dopo la lente
La risoluzione nell’immagine è la stessa del reticolo di diffrazione, cioè N.
Se si usano N sorgenti il potere risolvente (PR) risultante è
PR≅ λ/ (DN)
In realtà
PR (Tel.int.)≥1.5 λ/ (DN)
Questo è da confrontare con quello di una lente di diametro D dato dalla
diffrazione
PR(lente)≅ 1.22 λ/ D
Il P.R. è quindi superiore del fattore N rispetto ad una ottica convenzionale.
Tuttavia la dimensione del tel. Interf. È DN e tutto torna in quanto di avrebbe un
P.R. pari a circa una lente di diametro ND.
Fig. di interferenza di 2 sorg. Puntiformi nel caso di un quadrato di 10x10 fibre
ed una differenza di fase di π/10 rad.
s.2
In realtà il PR è circa 1,5 volte superiore (dipende dalla definizione di PR)
Interferenza di 2 sorgenti Puntiformi con 10x10 fibre ed una diff. di fase di π/15 rad.
s.24
Plot3D[(Sin[10 x]/Sin[x])^2*(Sin[10 y]/Sin[y])^2 + (Sin[10 (x + 0.3)]/ Sin[x + 0.3])^2*(Sin[10 (y + 0.3)]/Sin[y + 0.3])^2, {x, -1, 5}, {y, -1, 4}, PlotPoints -> 50,
Per il tel. Interf. si ha: PR= 1.5λ/(ND), ma la sua dimensione è ND per cui il PR è di circa
uguale a quella di uno specchio di diametro ND.
L’immagine è cromatica perché la posizione angolare del massimo è proporzionale a λ.
Si ha un max. per λ e per 2 λ. In questo intervallo la risoluzione è ≈N.
Ne segue che la dispersione cromatica dell’immagine è piccola e basta un modesto
filtro interferenziale (∆λ⁄λ ≈ 1/N) per compensarla.
Alternativamente si può usare un prisma di piccolo angolo ed opportuna dispersione,
messo dopo la lente
Una proprietà importante
Il tel. Interferenziale dovrebbe essere poco sensibile alle fluttuazioni di n causate
dalla turbolenza dell’atmosfera:
La turbolenza dell’atmosfera e le conseguenti variazioni di n riducono il potere risolvente dei
Telescopi convenzionali, in quanto una sorgente puntiforme fluttua attorno ad un certo angolo
In funzione della turbolenza. Nelle migliori condizioni di seeing raramente si raggiunge un PR
Equivalente ad una apertura di circa 0.5 m. Nel telescopio Interf. questo effetto è
Probabilmente ridotto perché l’immagine è costruita solo sui ritardi di fase della luce in arrivo
e non dallo spostamento del punto. Posizionando attivamente le fibre l’effetto del tremolio
dell’immagine viene eliminato e rimane solo la fluttuazione di dn/dλ .
Per questo basta un puntamento attivo della fibra mediante attuatori x-y. Resta la variazione
di dispersione dn/dλ dell’atmosfera. dn/dλ è sensibile in vicinanza di righe o bande di
assorbimento ma in un punto intermedio tra le bande di assorbimento, dn/dλ è piccolo.
Quindi in queste zone spettrali si possono avere immagini assai poco influenzate dalla
turbulenza dell’atmosfera.
Indice n tra due righe
di assorbimento in a. u.;
Nel punto intermedio
Si ha un punto di
flesso col minimo di
dispersione
Purtroppo non ci sono dati sulla turbolenza di n dell’atmosfera
Per n si ha questo dato per l’atm standard
(n-1)x108 = 8342.13+2406030(130-σ2)-1 +15997(38.9-σ2)-1
Dove σ è il numero d’onda in µm-1, da:
(Edlen B.-1966, “The refractive index of air”, Metrologia 2:71-79)
Per es. in un intervallo di 100 nm a λ=1 µm si ha ad 1 atm di densità.
Δn=35.8 x 10-8
•
•
•
•
•
•
Per avere queste figure di interferenza, le fibre devono essere
in fase. Non importa che ingresso ed uscita siano disposti su
una superficie di qualità ottica.
•
•
Se si possono mettere in fase non serve nessuna lavorazione
di qualità ottica.
Per avere un’immagine della
sorgente basta che tutte le fibre abbiano la stessa fase.
Come mettere in fase le fibre?
3 punti in fase: l’aggiustamento
della fase del terzo non dipende
dalla fase dei primi due.
2 punti, variando la fase,
l’immagine scorre lungo x
2punti,
sempre in fase
I=4
3 punti in fase
I=9
3 in fase
Terzo sfasato
Di π/2
4 punti: i primi 3 in fase, il quarto in fase per n=1
Tre in fase più un quarto punto: alla fase I=16
Terzo sfasato di 0.9π
Il max. non è 9 ma
Circa 8.5
Ne consegue che variando β sino a quando il max. = 9 si otterrà la
messa in fase delle tre fibre.
Questo agendo su un solo parametro. Quindi velocemente
S.46
È possibile aggiustare la fase a circa 0.01π
Massimo di intensità in funzione della fase del terzo punto
da o a π
Se c' è un errore di fase il picco è più basso, ma con lo sfasamento del terzo è
sempre possibile la messa in fase corretta e questo procedendo a gruppi di tre.
Procedendo di 3 in 3, si deve sempre controllare un solo parametro.
Nel caso di N punti per la messa in fase si può fare cercando il max. del picco
(I=N2) aggiustando le singole fasi : non è chiaro se si converge e quanto
rapidamente. Una soluzione è procedere a gruppi di 3+3 e poi 6+6, 12+12 etc.
secondo lo schema:
Ad ogni passo si controlla un
solo parametro agendo
Simultaneamente su tutte le fasi
del gruppo precedente. Si
dovrebbe andare più in fretta
delle derive termiche.
S.45
Anche usando fibre di SiO2 ,l’espansione termica è rilevante e cambia l’indice di
rifrazione n e la lunghezza della fibra:
a=1.4 10-7/ ˚C
Per L=10m e T=1˚C
l ≈ 1.4 mm > λ
Una soluzione possibile è collocare le fibre in un mezzo ad alta capacità termica (H2O),
ben isolato, in modo da avere un drift termico molto lento abbinato ad un programma
di messa in fase sufficientemente veloce.
Pa è un singolo elemento
ottico di raccolta
Risoluzione nell’immagine
La risoluzione nell’immagine è la stessa del reticolo di diffrazione,
cioè N.
Se si usano N sorgenti il potere risolvente (PR) risultante è
PR≅ λ/ (DN)
In realtà a seconda della definizione è unpoco superioe
(Tel.int.)≈1.5 λ/ (DN)
quello di una lente di diametro D è dato dalla diffrazione
PR(lente)≅ 1.22 λ/ D
Il P.R. è quindi superiore del fattore N rispetto ad una ottica convenzionale. Tuttavia la
dimensione del tel. Interf. È DN e tutto torna in quanto di avrebbe un P.R. pari a circa una
lente di diametro ND.
Ovviamente la risoluzione angolare va moltiplicata per il rapporto D/d, che puo essere 105
O superiore.
Fig. di interferenza di 2 sorg. Puntiformi nel caso di un
quadrato di 10x10 fibre ed una differenza di fase di π/10 rad.
s.2
Per il tel. Interf. si ha: PR= 1.5λ/(ND), ma la sua dimensione è
ND per cui il PR è di circa
uguale a quella di uno specchio di diametro ND.
L’immagine è cromatica perché la posizione angolare del
massimo è proporzionale a λ.
Si ha un max. per λ e per 2 λ. In questo intervallo la risoluzione è
≈N.
Ne segue che la dispersione cromatica dell’immagine è piccola e
basta un modesto
filtro interferenziale (banda passante: ∆λ⁄λ ≈ 1/N) per
compensarla.
Alternativamente si può usare un prisma di piccolo angolo ed
opportuna dispersione,
messo dopo la lente
Come realizzarlo in pratica?
Quale disegno costruttivo?
Schema base: la distanza tra i punti di raccolta è libera e viene
scelta per ottimizzare il risultato
I punti di raccolta ed entrata possono essere singoli
Ed indipendenti o collettivi.
Per quelli singoli si possono adattare piccoli strumenti
Commerciali opportunamente modificati:
Per raccogliere i singoli punti si possono usare piccoli telescopi commerciali
automatizzati nel puntamento
s.16
Lente
Movimento attivo x,y
fibra
x
y
Nel piano focale va messo il movimento attivo x,y per assicurare un costante accoppiamento
con la fibra e correggere le turbolenze dell’ atm. Nella fibra entra tutta l’informazione
Necessaria, consistente nelle piccole differenze di fase tra le sorgenti.
s.1
L’immagine di interferenza si forma nel piano focale di una lente posta davanti
all’uscita delle fibre
Le fibre possono essere messe in fase mediante il comando di attuatori di fase ed
un opportuno software che ottimizzi il contrasto dell’immagine
Usando raccoglitori indipendenti posssono esserci difficoltà
per un puntamento adeguato (strabismo), che deve essere molto
preciso a causa della grande risoluzione possibile.
Nel caso di una croce di punti il telescopio può essere realizzato usando N+N piccoli
Telescopi commerciali con puntamento automatico e modificati con accoppiamento attivo
x-y alla fibra: è una soluzione poco costosa ed i tel. possono essere messi
su rotaia per variare D , cioè la risoluzione, il campo visivo, od in orbita.
Nel caso di un quadrato una soluzione pratica è costruire gli NxN elementi formati da
una lente che alimenta la fibra fissata ad un movimento attivo x-y.
Tutti i singoli elementi sono poi posizionati su un unico piano rigido per il puntamento.
D
Una soluzione semplice e conveniente
s.32
+Attenuatore variabile e
regolatore di fase
Schema di un singolo elemento di una struttura di NxN elementi
Nel calcolare l’immagine di interferenza
abbiamo considerato solo una
corrispondenza biunivoca tra ingresso ed uscita delle
fibre ed usato punti equidistanti.
In realtà esistono diversi parametri liberi sulla
disposizione ed intensità dei punti:
alcune disposizione possono essere vantaggiose per
cambiare il periodo della figura.
Nel caso di una croce si ha un reticolo
Ruotando gli assi di 45º
con I max.=196
croce7x7 ruotata di 45º
croce 7x7
Combinando una croce e la sua rotazione di 45º: si ottiene un
buon miglioramento dell’immagine e contrasto con un N
minimo di punti.
I max. = 28x28=784
Croce di 7x7 +
Diagonali, che da
la figura precedente
Nel calcolare l’immagine di interferenza abbiamo considerato solo una corrispondenza biunivoca tra ingresso ed
uscita delle fibre e punti equidistanti. In realtà esistono diversi parametri liberi sulla disposizione ed intensità dei
punti: alcune disposizione possono essere vantaggiose per cambiare il periodo della figura
Se le distanze tra i punti sono uguali o multipli pari ed interi
il periodo dell’immagine è 2π. Se si usano contemporaneamente periodi tra loro
razionali è possibile aumentare il periodo dell’immagine a nπ.
Interferenza di 9 punti equidistanti
4π
8 interi posti a:
0, 1, 2, 2.5, 3, 4.5, 5, 6.5
2π
Usando posizioni diverse
Si può allargare il campo
Di ripetizione dei massimi
8 punti equidistanti
La larghezza del picco
È invariata ma il campo
raddoppia!
7 punti messi a: 0, 0.5, 2.5, 3, 4, 4.5, 5
10 punti secondo: 0,1.5, 2, 2.5, 3, 4, 4.5, 5, 6, 7. Il periodo raddoppia!
E così il campo di vista. La larghezza del picco non cambia e il R.P. raddoppia!
I=(7x7)2=2401
Disponendo i punti a quadrato frazionario raddoppia il campo e la risoluzione, ma
rimangono piccole fluttuazioni residue da correggere con eventuale software.
Interferenza di 7x7 punti equidistanti
Combinando passi diversi si puo allargare il campo di vista:
N=16 punti. Periodo 10π anziché 2π. Disponendo in quadrato:
Disponendoli in quadrato:
Si ha un campo di vista 5 volte più ampio. La larghezza del
picco è uguale a quella di una interferenza di 16 punti e quindi la
risoluzione dell’immagine è di 80x80 pixels. Naturalmente
l’immagine va ripulita delle piccole oscillazioni residue con un
opportuno programma.Tuttavia è probabile che un ulteriore
miglioramento si possa ottenere ottimizzando tutti i parametri
liberi. La posizione dei punti di raccolta è mostrata nella figura
Questo è solo un esempio di una
Combinazione di 16x16 punti, ma
soluzioni migliori possono essere trovate
CONCLUSIONI
LUMINOSITA’:
Il tel. Inter. può essere molto luminoso e di basso costo: si possono usare
specchi parabolici fuori asse per alimentare le fibre. In un insieme di
NxN=N2 specchi di superficie A, l’area di raccolta è S=A*N2.
Per es. un 10x10 con A=0.5 m2 da S=50 m2
ALTO CONTRASTO:
Se si ottiene una buona regolazione dell’interferenza, il contrasto
lungo la diagonale dell’immagine è garantito dall’eq. dell’array quadrato
2
2
Sin
(Nx)
Sin
(Ny)
4
IA
*
2
Sin (x)
Sin 2 (y)
Il contrasto
 potrebbe essere così elevato da permettere di distinguere eventuali
exopianeti, la cui luminodità relativa alla stella è dell’ordine di 10-8
Il contrasto nel caso del quadrato è circa proporzionale a N4
s.33
Il Potere risolvente è elevato: dipende da N e dal rapporto
D/d. Con D= 1m , d=0.1 mm⇒ D/d = 10 000 e con un quadrato
10x10 si avrebbe un P. R.>105
Il minimo angolo risolvibile è λ/N. La ripetizione del picco si ha per ogni
multiplo di λ, a cui corrisponde una apertura angolare θ pari a θ = λ/D.
Per λ= 1μm e D=1m so ha θ =10-6 rad. Pari a 0.206 arc.sec. ( Sirio si vede
sotto un angolo di 0.006 arc.sec.
).
Il vantaggio maggiore di questo strumento deriva dal fatto che non è necessario
costruire superfici ottiche di grandi dimensioni e precisione.
E’ però necessario sviluppare un software efficiente che , leggendo i singoli pixels
di una CCD possa posizionare correttamente l’ingresso della fibra e mettere
rapidamente in fase tutti i cammini ottici. Nel caso si possa ripulire con un software
opportuno l’immagine della disposizione a croce si avrebbe una ulteriore utile
semplificazione dello strumento.
s.34
Questo tipo di telescopio è utile per investigare, con elevata luminosità e risoluzione.
Sorgenti quasi puntiformi, deboli e lontane (studiare oggetti al limite dell’universo)
Può funzionare dal visibile al vicino infrarosso ( dipende dalla trasmittività delle fibre).
Un altro vantaggio si ha dall’essere il sistema particolarmente insensibile alla
turbolenza atmosferica e dall’essere leggero , poco voluminoso e facilmente collocabile
in orbita, specie nella disposizione di lenti fissate ad un piano rigido.
L’assenza di lenti o specchi di alta qualità ottica semplifica la costruzione, ma tutto
dipende dallo sviluppo di un adeguato software per il controllo delle fasi delle fibre
ed per eventuale ripulitura dell’immagine.
Un programma efficiente e veloce può compensare,
entro certi limiti, imperfezioni costruttive (componenti di media o
bassa qualità e richiedere specifiche costruttive meno stringenti)
Da un punto di vista pratico il vantaggio maggiore deriva
dall’essere sensibilmente meno costoso dei telescopi con
un unico grande specchio. Si stima un costo equivalente
di almeno 1/10.
La ripetizione del picco si ha per multipli di λ, a cui corrisponde una apertura angolare θ
pari a
θ = λ/D
e , per λ= 1μm e D=1m si ha θ =10-6 rad.=0. 206
arc. Sec. (d”)
Il campo di vista è molto piccolo. Per confronto, nella tab. è dato il diametro angolare di
alcune stelle.
Per esempio, volendo osservare una stella come Sirio, che dalla terra è vista
con un angolo
di 6 millesimi di arcsec., scegliendo D= 10 m il campo visivo risulta di 0.0206 arcsec.
e l’immagine della stella corrisponderebbe a circa 1/3 del campo.Si contengono le
Dimensioni usando disposizioni a periodi razionali.
CONCLUSIONI
Il tel. Inter. può essere molto luminoso e di basso costo: si possono usare
specchi parabolici fuori asse per alimentare le fibre. In un insieme di
NxN=N2 specchi di superficie A, l’area di raccolta è S=A*N2.
Per es. un 10x10 con A=0.5 m2 da S=50 m2
ALTO CONTRASTO:
Se si ottiene una buona regolazione dell’interferenza, il contrasto
lungo la diagonale dell’immagine è garantito dall’eq. dell’array quadrato
2
2
Sin
(Nx)
Sin
(Ny)
4
IA
*
2
Sin (x)
Sin 2 (y)
Il contrasto
di distinguere eventuali exopianeti,
 potrebbe essere così elevato da permettere
la cui luminodità relativa alla stella è dell’ordine di 10-8
Da un punto di vista pratico il vantaggio maggiore deriva
dall’essere
sensibilmente meno costoso dei telescopi con un unico
grande specchio.
Con un costo equivalente di almeno 1 /10 se ne possono
costruire molti. Inoltre il tel Interf. è
nelle possibilità finanziarie
di istituzioni meno ricche.