Matematica - Curve e superfici
a.a. 2009-2010
Prof. C. Falcolini
Studio e riproduzione delle cupole della
Basilica di San Marco a Venezia
Università degli studi di Roma Tre
studenti: Elio Carradori - Armando Di Gregorio
La Basilica di San Marco a Venezia
La Basilica di San Marco è un monumento unico per la ricchezza della
sua storia, la maestosità della sua facciata e del suo interno, splendido
laboratorio in cui hanno operato per secoli grandi artisti italiani ed
europei. Il carattere bizantino che la contraddistingue appare soprattutto
nei grandi mosaici che narrano le storie di San Marco. La grandezza di
Venezia si è sempre riflessa nell’ arricchimento della Basilica. L'impianto
a croce greca poggia sopra una struttura che nella navata longitudinale
centrale riporta motivi architettonici basilicali: il braccio verticale della
croce è maggiore rispetto a quelli dei transetti, l'altare è posto nell'area
dell'abside. L'impianto architettonico è molto
articolato e ripete un unico modulo ben
individuabile nella cupola centrale che poggia,
mediante i pennacchi e le grandi volte, sui
quattro pilastri. Entrambi i bracci della croce
sono suddivisi in tre navate, al di sopra
della croce poggiano le cinque cupole.
L'articolazione dello spazio è ricca di
suggestioni, all'interno si propone una
sequenza unitaria suddivisa in singole
partiture spaziali, cui il mosaico a fondo
d'oro garantisce continuità ed il particolare
modo di essere della chiesa.
Le cinque cupole della Basilica
Le cupole sono molto leggere per non far gravare pesi eccessivi sul terreno lagunare, e sono
composte da laterizi forati. La chiesa è completamente coperta con cupole, raccordate da
volte a botte (struttura unica in Italia). Esse sono sorrette da un’intelaiatura lignea, le cupole
sono percorribili in quota, vi sono dei ponti aerei che scavalcano il vuoto del transetto. Il
problema della luce è connesso alla presenza delle cupole: La luce infatti entra solamente
dalla piccola finestratura presente sul tamburo in questo modo si ottiene solo un anello di
luce, che sarebbe insufficiente ad illuminare l’ambiente, se l’interno della basilica non fosse
completamente ricoperto da mosaici dorati.
La cupola come somma di più superfici
Per riprodurre matematicamente la cupola studiata si è pensato di dividerla in
diverse superfici da collegare in seguito.
Epicicloide estrusa su una
curva
Epicicloide estrusa su una
curva
Cilindri binati
Semisfera
Cilindro
Questo ragionamento è stato adottato non solo per la parte più grande della
cupola ma anche per i piccoli dettagli, in particolar modo per la lanterna.
La cupola come somma di più superfici
1. Il cilindro della base
-Determiniamo innanzitutto l’equazione generica del cilindro:
cilindro[a_][u_,v_]:=a {Cos[u],Sin[u],v}
-Successivamente determiniamo l’equazione che ci
serve per avere la nostra base:
ParametricPlot3D[cilindro[10][u,v],{u,0,2Pi},{v,0,-2},
PlotRange -> {{-10,10},{-10,10},{-30,30}},Mesh -> None]
Questo valore serve a
determinare il raggio del
cilindro.
Modificando il periodo
possiamo avere la
lunghezza voluta
La cupola come somma di più superfici
2. La sfera della cupola
- Determiniamo anche in questo caso prima di tutto
l’equazione generica della sfera:
sfera[a_][u_,v_]:=a {Cos[u]Cos[v],Sin[u]Cos[v],Sin[v]}
- In seguito stabiliamo l’equazione per determinare
graficamente una semisfera:
ParametricPlot3D[sfera[10][u,v],{u,0,2Pi},{v,0,Pi},Plot
Range ->{{-10,10},{-10,10},{-30,30}},Mesh -> None]
Questi parametri
determinano l’interezza
della sfera.
La cupola come somma di più superfici
3. Le colonnine binate
- Determiniamo innanzitutto l’equazione generica del cilindro:
cilindro[a_][u_,v_]:=a {Cos[u],Sin[u],v}
ParametricPlot3D[cilindro[0.16][u,v],{u,0,2Pi},{v,1.5,4.5},
PlotRange -> Automatic]
- Utilizzando il comando Table otteniamo due colonnine:
}.{x,y,z} [ParametricPlot3D[Table
Show[Table
[rtz[h*2Pi/8][cilindro[0.16][u,v]+{1.5,k,0}],{k,0,1}],{u,0,2Pi},{v,9
,14.5},PlotRange -> {{-5,5},{-5,5},{8,10}}],{h,1,8}]]
Ma questa configurazione
risulta in verità
Gestendo il parametro
h possiamo
inadatta, il raggio
di rotazione
è ampio
e
decidere
il numero
di ripetizioni
ei
non si nota immediatamente
cheinlaquesto caso
gradi di rotazione,
rotazione essendo
applicata
alleincoppie
8 ripetizioni
divise
360° .di
colonne, le mantiene su uno stesso asse
2 a 2, riducendo il raggio di rotazione, si
- Applicando
il comando
Table
e associandolo
ad una
può esasperare
l’errore,
dovuto
al fatto
matrice
di rotazione
rtz[a_][{x_,y_,z_}]:={{Cos[a],che l’asse
delle colonne
binate tende alla
Sin[a],0},{Sin[a],Cos[a],0},{0,0,1},
avremo
tangenza della circonferenza per
valoriuna
rotazione
intorno all’asse z.
molto ampi.
La cupola come somma di più superfici
3. Le colonnine binate
- Il metodo utilizzato in precedenza è perciò solo in apparenza valido,
abbiamo deciso quindi di operare diversamente, attraverso un operatore “Table”
applicato ad una matrice di rotazione, abbiamo ripetuto il singolo cilindro.
Colonne=Show[Table[ParametricPlot3D[Table[(rtz[h*2Pi/16][cilindro[0.05][u,v]+
{1.6,0.6,1}])+{0,0,0},{k,0,1}],{u,0,2Pi},{v,10,13.5},
PlotRange -> {{-10,10},{-10,10},{0,15}},PlotStyle -> Gray,Mesh ->
None],{h,1,16}]]
Questi valori rappresentano lo spostamento
sugli assi x,y,z corrispondenti, ma questa volta
applicata all’intero gruppo, così da poterlo
posizionare correttamente nello spazio.
Abbiamo poi ripetuto l’operazione variando
questi parametri che gestiscono la posizione del
cilindro nello spazio, in modo da avere la stessa
serie ma leggermente ruotata rispetto l’asse z.
Unendo i due grafici, abbiamo l’effetto di una
serie di coppie di colonne. Stavolta con una
corretta rotazione.
La cupola come somma di più superfici
4. L’epicicloide estrusa su una curva, la copertura delle lanterne:
- La forma della copertura delle 5 lanterne non è la medesima ripetuta ma varia
sia in quantità di spicchi che per snellezza e dimensione, ciò che abbiamo voluto
ricavare è un equazione unica alla quale modificando i parametri si ottenessero
tutte e cinque le coperture:
La cupola come somma di più superfici
4. L’epicicloide estrusa su una curva, la copertura della lanterna:
- Come si compone la lanterna?
- Prima di tutto la forma di base, l’epicicloide, la formula base.
epicicloide[a_,b_][t_]:={(a+b)*Cos[t]-b*Cos[((a+b)*t)/b],(a+b)*Sin[t]b*Sin[((a+b)*t)/b]}
ParametricPlot[pola[16,2][t],{t,0,2Pi},PlotRange->{{-20,20},{-20,20}}]
Il parametro “t” determina l’interezza della cicloide
Questi parametri gestiscono il numero di cicli
- Passiamo ora ad estrudere l’epicicloide :
ParametricPlot3D[{18*Cos[t]2*Cos[(18)*t/2],18*Sin[t]-2*Sin[18*t/2],v
},{t,0,15},{v,1,10},PlotPoints®50,Mesh -> None]
Aggiungendo questo nuovo parametro, forniamo alla
formula una terza dimensione.
La cupola come somma di più superfici
4. L’epicicloide estrusa su una curva, la copertura della lanterna:
- Ecco il risultato grafico e la funzione matematica delle lanterne.
Lanterna16s=ParametricPlot3D[(({(0.35+0.9Sin[
u+1/10])17*Cos[t]1*Cos[(17)*t],(0.35+0.9Sin[u+1
/10])17*Sin[t]1*Sin[17*t],
(13ArcSin[2u]Sin[0.3+u^2])})/8)+{0,0,15.8},
{u,-2,2Pi},{t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotStyle ->
Gray,Mesh -> None]
Lanterna8s=ParametricPlot3D[(({(1+Sin[u])(9*Co
s[t]-1*Cos[(9)*t]),(1+Sin[u])(9*Sin[t]-1*Sin[9*t]),9ArcSin[u]Sin[0.6+u^2]})/16)+{15,0,8.9},
{u,2Pi,-2},{t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotStyle ->
Gray,Mesh -> None]
La cupola come somma di più superfici
4. L’epicicloide estrusa su una curva, la copertura della lanterna:
- Ecco il risultato grafico e la funzione matematica delle lanterne.
Lanterna12s=ParametricPlot3D[(({(0.55+Sin[u])(9*Cos[
t]-1*Cos[(9)*t]),(0.55+Sin[u])(9*Sin[t]-1*Sin[9*t]),4u(9ArcSin[2u]Sin[1.3+u^2])})/9)+{0,14.5,11.3},{u,2Pi,2},{t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotStyle -> Gray,Mesh ->
None]
Lanterna12s=ParametricPlot3D[(({(0.55+Sin[u])(9*Co
s[t]-1*Cos[(9)*t]),(0.55+Sin[u])(9*Sin[t]-1*Sin[9*t]),9ArcSin[2u]Sin[0.3+u^2]})/9)+{0,-14.5,12.8},{u,2Pi,2},{t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotStyle -> Gray,Mesh ->
None]
La cupola come somma di più superfici
4. L’epicicloide estrusa su una curva, la copertura della lanterna:
- Dedichiamo una pagina alla spiegazione della formula base della lanterna
{[(N+Sin[u])*N* Cos[t]-N*Cos[N*t],
(N+Sin[u])*N* Sin[t]-N*Sin[N*t],
Questa è la formula dell’epicicloide
opportunamente modificata.
{[(N+Sin[u])*N* Cos[t]-N*Cos[N*t],
(N+Sin[u])*N* Sin[t]-N*Sin[N*t],
+Nu+(ArcSin[Nu]*Sin[N+u^2])]}
Questa è la formula che
determina la curva lungo la quale
+Nu+(ArcSin[Nu]*Sin[N+u^2])]}
corre l’epicicloide.
- Le N sono tutte variabili che permettono di modificare la superficie
prodotta. In questa maniera a partire da UNA funzione possiamo
determinare diverse forme geometriche, questo perché secondo la nostra
analisi le 5 lanterne derivano da una singola curva modificata nei suoi
parametri.
N: questo valore determina l’ampiezza generale della superficie
N: questo valore termina il numero degli spicchi
N: questo valore determina la larghezza del “collo” della curva
N: questo valore determina la larghezza della “base” della curva
N: questo valore determina rispetto l’asse z la porzione di curva considerata
N: questo valore determina la maggiore o minore curvatura del flesso della funzione
La cupola come somma di più superfici
5. L’epicicloide estrusa su una curva, il coronamento della lanterna
- Per il coronamento delle lanterne abbiamo deciso di seguire un’altra via,
quella della composizione di diverse superfici, che si tratta di un percorso molto
diverso.
- Vanno individuate le diverse curve che composte approssimino in maniera
soddisfacente la superficie reale, quindi in maniera empirica vanno spostate
ingrandite
e modificate
in modo che si uniscano.
Moltiplicare per un elenco equivale a
Base coronamento
lanterna
scalare la superficie lungo gli assi x,y,z
corrispondenti, possiamo quindi
ingrandire lungo x,y,z in maniera
autonoma.
Moltiplicando o dividendo tutto per un
singolo valore invece modifica le
dimensioni nelle 3 dimensioni in maniera
proporzionale.
coronamento est=ParametricPlot3D[((({(1+Sin[u])(9*Cos[t]1*Cos[(9)*t]),(1+Sin[u])(9*Sin[t]1*Sin[9*t]),
9ArcSin[u](Cos[u]Sin[u])}){1,1,1.5})/75)+{15,0,9.75},{u,0.5,1.5},
{t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotRange -> Automatic,PlotRange ->
{{-20,20},{-20,20},{0,50}},PlotStyle -> Gray,Mesh -> None]
Serve a
modificare la
posizione lungo
gli assi
corrispondenti
La cupola come somma di più superfici
5. L’epicicloide estrusa su una curva, il coronamento della lanterna
- Per la parte superiore del coronamento abbiamo individuato due curve
diverse, una concava e una convessa:
sopraovest=ParametricPlot3D[((({
(0.65+Sin[u])(9*Cos[t]1*Cos[(9)*t]),
(0.65+Sin[u])(9*Sin[t]1*Sin[9*t]),
4u+(9ArcSin[2u]Sin[0.8+u^2])})1.63)/75)+{15,0,11.7}
,{u,2Pi,-2},{t,0,2Pi},PlotPoints -> 50,PlotRange -> {{20,20},{-20,20},{0,50}},PlotStyle -> Gray,Mesh ->
None]
sopranord=ParametricPlot3D[(((({
(1+Sin[u])(9*Cos[t]1*Cos[(13)*t]),
(1+Sin[u])(9*Sin[t]1*Sin[13*t]),
9ArcCos[u](Sin[u]Sin[u])})1.85)+{0,0,9.5})/75)
+{0,-14.5,13.6},{u,-0.9,0},{t,0,2Pi},PlotPoints ->
50,PlotRange -> {{-20,20},{20,20},{0,50}},PlotStyle -> Gray,Mesh -> None]
Particolare della lanterna
5. L’epicicloide estrusa su una curva, il coronamento della lanterna
Rappresentazione effettiva delle cupole
