T - Dipartimento di Matematica
annuncio pubblicitario
Alcune Applicazioni della Matematica Stefano Serra Capizzano e-mail: [email protected] La matematica a Como • • • • • Algebra Analisi Informatica Teorica Informatica Geometria Analisi Numerica Calcolo Scientifico • Fisica Matematica Modellistica • Economia Matematica • Statistica Fisica Sfuocamento di un segnale T(segnale vero) = segnale sfuocato T [ 14 , 12 , 14 ] Funzione di sfuocamento Impulso T Segnale vero Segnale sfuocato Formulazione algebrica La funzione di sfuocamento T è un’applicazione lineare! Siano • f il vettore contenente i campionamenti del segnale vero • g il vettore contenente i campionamenti del segnale sfuocato • T la matrice costruita a partire dallo sfuocamento di un impulso Il vettore g è ottenuto mediante g = T*f La matrice T dell’esempio è 1 2 1 1 2 1 1 T 4 1 2 1 1 2 1 Una PSF più realistica T Funzione di sfuocamento Impulso T Segnale vero Segnale sfuocato Operatore di sfuocamento La matrice che opera lo sfuocamento è 1 2 3 5 12 17 20 17 12 5 3 2 1 1 2 3 5 12 17 20 17 12 5 3 2 1 1 T 100 1 2 3 5 12 17 20 17 12 5 3 2 1 1 2 3 5 12 17 20 17 12 5 3 2 1 Notazione stencil: [0.01, 0.02, 0.03, 0.05, 0.12, 0.17, 0.2, 0.17, 0.12, 0.05, 0.03, 0.02, 0.01] Prodotto matrice-vettore y : A x, a1,1 a1,2 a1,n a 2,1 , A a a n,n n,1 y1 a1,1 x1 a1,2 x2 y a x a x 2,1 1 2,2 2 y 2 yn an,1 x1 an,2 x2 x1 x x 2 xn a1,n xn a2,n xn an,n xn (n-1 somme + n prodotti) x n = 2n2-n operazioni Casi speciali ma importanti … In molte applicazioni: • TAC • Immagini astronomiche • Simulazioni numeriche la matrice T ha una struttura ben definita: • Circolanti • Toeplitz •… La struttura deve essere sfruttata per definire algoritmi più veloci! Matrici Circolanti t1 tm1 t0 t t t m 2 A m1 0 FDG, t t t m 1 0 1 d 0 D d n 1 F e G matrici di Fourier Divide et impera prodotto matrice- vettore in cmlog2m operazioni z:=Gx, d:=Ft, y Ax FDGx m F(d z) Prodotto matrice-vettore con circolanti in 3cmlog2m operazioni Matrici di Toeplitz Ricostruzione di segnali → matrici di Toeplitz t0 t1 tm1 t t 0 A 1 t t t 1 0 m1 Elementi costanti lungo le diagonali. T C Circolante t0 t1 t t Esempio: C 1 0 t2 t1 t t 1 2 t2 t1 t0 t1 t1 t2 t1 t0 Prodotto matrice-vettore Soluzione: si utilizza C! x1 Tx xn C 0 0 spazza -tura Sfuocamento di un’immagine Impulso (stella) 1 2 1 1 T 2 4 2 16 1 2 1 Funzione di sfuocamento T Immagine vera Immagine sfuocata Ricostruzione di Immagini … T(Immagine vera) = Immagine sfuocata T-1 T Imaging Astronomico Applicazioni Imaging Medico Militari Criminologia Il ruolo di un piccolo rumore … ~ T (Immagine vera) = Immagine sfuocata + rumore = Immagine osservata +µ T regolarizzazione Problema: µ (il rumore) è piccolo ma T-1(µ) è grande. Soluzione: regolarizzazione (Tikhonov, Wavelets, ...). T-1 Regolarizzazione Iterativa Il problema può essere formalizzato dal sistema lineare Af g dove g rappresenta l’immagine osservata, f quella originale e A l’operatore di sfuocamento. Un metodo iterativo costruisce una successione di approssimazioni f0, f1, f2, … tale che lim fn f . n Poiché f = A-1g è inutilizzabile a causa del rumore bisogna arrestare il metodo iterativo dopo pochi passi senza raggiungere la convergenza. Errore di Ricostruzione L’errore di ricostruzione e’ la differenza fra l’immagine vera e quella calcolata. Un metodo iterativo nei primi passi lavora dove “vive” l’immagine e l’errore di ricostruzione si riduce, poi passa a lavorare dove “vive” il rumore e l’errore di ricostruzione cresce. Immagini ricostruite R i c o s t r u z i o n e Immagine vera Sfuocamento di un punto 5 iterazioni 15 iterazioni Immagine sfuocata + rumore = 1% 50 iterazioni Altri Esempi … Immagini Vere Immagini Osservate Immagini Ricostruite Ricerche veloci su Internet … l’esempio di Google I criteri della ricerca Criteri di base: • Non fa distinzione fra maiuscole e minuscole • Ignora gli accenti e le parole “comuni” (e, per, …) • Ricerca tutti i termini richiesti Ordinamento dei risultati: • Non si limita al numero di occorrenze dei termini ricercati • Esamina tutti gli aspetti del contenuto della pagina e delle pagine ad essa correlate • Assegna una priorità in base alla “vicinanza” dei termini ricercati • PageRank: importanza e qualità di una pagina nel Web Il Ranking delle Pagine Web: I • ω{1, ..., N=1010}, ω indicizza le pagine • I(ω) = “importanza della pagina ω” a) I(ω) cresce se c’è un link (una connessione) da α a ω α ω Web b) I(ω) cresce di più se I(α) è alto c) I(ω) cresce di meno se α ha molti link Il Ranking delle Pagine Web: II • I(ω) = • I( ) numero di link di I = [I(1), I(2), …, I(N)] • 1 se A = [A(ω, α)], A(ω, α) = numero di link di 0 altrimenti I AI I autovettore rispetto all’autovalore 1 di A ≥ 0 • Def.: x autovettore relativo all’autovalore λ se Ax=λx, x≠0. • Un Esempio Web A A 0 B 1 C 0 D 0 A B C D B C D 1 12 12 0 0 12 0 0 0 1 0 2 0 C Num. Iter. A B C D 0.99 1925 0.4972 0.4966 0.0025 0.0037 0.95 377 0.4861 0.4830 0.0125 0.0184 0.85 119 0.4588 0.4502 0.0375 0.0534 0.75 68 0.4325 0.4191 0.0625 0.0859 Web e Algebra Lineare Numerica • Un problema di Algebra Lineare Numerica di dimensione 1010 … (ed in continua crescita!). • Relazioni con l’elegante Teoria delle Matrici non negative di Perron e Frobenius. • Tecniche di estrapolazione vettoriale, partizionamento a blocchi (ricerche di struttura). Quale Matematica? • Matematica pura? • Matematica applicata? Il confine tra ciò che è profondo e ciò che è superficiale è più significativo del confine (del tutto arbitrario) tra Matematica pura e Matematica applicata. La Matematica applicata non esiste … esistono invece le applicazioni della Matematica (parafrasando Pasteur sulla scienza).
