Alcune Applicazioni della
Matematica
Stefano Serra Capizzano
e-mail: [email protected]
La matematica a Como
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Sfuocamento di un segnale
T(segnale vero) = segnale sfuocato
T [ 14 , 12 , 14 ]
Funzione di sfuocamento
Impulso
T
Segnale vero
Segnale sfuocato
Formulazione algebrica
La funzione di sfuocamento T è un’applicazione lineare!
Siano
• f il vettore contenente i campionamenti del segnale vero
• g il vettore contenente i campionamenti del segnale sfuocato
• T la matrice costruita a partire dallo sfuocamento di un impulso
Il vettore g è ottenuto mediante
g = T*f
La matrice T dell’esempio è
1 2 1
1 2 1
1
T
4
1
2
1
1 2 1
Una PSF più realistica
T
Funzione di sfuocamento
Impulso
T
Segnale vero
Segnale sfuocato
Operatore di sfuocamento
La matrice che opera lo sfuocamento è
1 2 3 5 12 17 20 17 12 5 3 2 1
1 2 3 5 12 17 20 17 12 5 3 2 1
1
T
100
1
2
3
5
12
17
20
17
12
5
3
2
1
1 2 3 5 12 17 20 17 12 5 3 2 1
Notazione stencil:
[0.01, 0.02, 0.03, 0.05, 0.12, 0.17, 0.2, 0.17, 0.12, 0.05, 0.03, 0.02, 0.01]
Prodotto matrice-vettore
y : A x,
a1,1 a1,2 a1,n
a
2,1
,
A
a
a
n,n
n,1
y1 a1,1 x1 a1,2 x2
y a x a x
2,1 1
2,2 2
y 2
yn an,1 x1 an,2 x2
x1
x
x 2
xn
a1,n xn
a2,n xn
an,n xn
(n-1 somme + n prodotti) x n = 2n2-n operazioni
Casi speciali ma importanti …
In molte applicazioni:
• TAC
• Immagini astronomiche
• Simulazioni numeriche
la matrice T ha una struttura ben definita:
• Circolanti
• Toeplitz
•…
La struttura deve essere sfruttata
per definire algoritmi più veloci!
Matrici Circolanti
t1 tm1
t0
t
t
t
m 2
A m1 0
FDG,
t
t
t
m 1
0
1
d 0
D
d n 1
F e G matrici di Fourier
Divide et impera
prodotto matrice- vettore
in cmlog2m operazioni
z:=Gx, d:=Ft, y Ax FDGx m F(d z)
Prodotto matrice-vettore con circolanti in 3cmlog2m operazioni
Matrici di Toeplitz
Ricostruzione di segnali → matrici di Toeplitz
t0 t1 tm1
t
t
0
A 1
t
t
t
1
0
m1
Elementi costanti lungo le diagonali.
T
C
Circolante
t0 t1
t t
Esempio: C 1 0
t2 t1
t t
1 2
t2
t1
t0
t1
t1
t2
t1
t0
Prodotto matrice-vettore
Soluzione: si utilizza C!
x1
Tx
xn
C
0
0
spazza
-tura
Sfuocamento di un’immagine
Impulso (stella)
1 2 1
1
T 2 4 2
16
1 2 1
Funzione di sfuocamento
T
Immagine vera
Immagine sfuocata
Ricostruzione di Immagini …
T(Immagine vera) = Immagine sfuocata
T-1
T
Imaging Astronomico
Applicazioni
Imaging Medico
Militari
Criminologia
Il ruolo di un piccolo rumore …
~
T (Immagine vera) = Immagine sfuocata + rumore
= Immagine osservata
+µ
T
regolarizzazione
Problema: µ (il rumore) è
piccolo ma T-1(µ) è grande.
Soluzione: regolarizzazione
(Tikhonov, Wavelets, ...).
T-1
Regolarizzazione Iterativa
Il problema può essere formalizzato dal sistema lineare
Af g
dove g rappresenta l’immagine osservata, f quella originale e A
l’operatore di sfuocamento.
Un metodo iterativo costruisce una successione di
approssimazioni f0, f1, f2, … tale che
lim fn f .
n
Poiché f = A-1g è inutilizzabile a causa del rumore bisogna
arrestare il metodo iterativo dopo pochi passi senza
raggiungere la convergenza.
Errore di Ricostruzione
L’errore di ricostruzione e’ la differenza fra l’immagine
vera e quella calcolata.
Un metodo
iterativo nei primi
passi lavora dove
“vive” l’immagine e
l’errore di
ricostruzione si
riduce, poi passa a
lavorare dove
“vive” il rumore e
l’errore di
ricostruzione
cresce.
Immagini ricostruite
R
i
c
o
s
t
r
u
z
i
o
n
e
Immagine vera
Sfuocamento di un punto
5 iterazioni
15 iterazioni
Immagine sfuocata
+ rumore = 1%
50 iterazioni
Altri Esempi …
Immagini Vere
Immagini Osservate
Immagini Ricostruite
Ricerche veloci su Internet …
l’esempio di Google
I criteri della ricerca
Criteri di base:
• Non fa distinzione fra maiuscole e minuscole
• Ignora gli accenti e le parole “comuni” (e, per, …)
• Ricerca tutti i termini richiesti
Ordinamento dei risultati:
• Non si limita al numero di occorrenze dei termini ricercati
• Esamina tutti gli aspetti del contenuto della pagina e delle
pagine ad essa correlate
• Assegna una priorità in base alla “vicinanza” dei termini ricercati
• PageRank: importanza e qualità di una pagina nel Web
Il Ranking delle Pagine Web: I
• ω{1, ..., N=1010}, ω indicizza le pagine
• I(ω) = “importanza della pagina ω”
a) I(ω) cresce se c’è un link (una connessione) da α a ω
α
ω
Web
b) I(ω) cresce di più se I(α) è alto
c) I(ω) cresce di meno se α ha molti link
Il Ranking delle Pagine Web: II
•
I(ω) =
•
I( )
numero di link di
I = [I(1), I(2), …, I(N)]
•
1
se
A = [A(ω, α)], A(ω, α) = numero di link di
0
altrimenti
I AI
I autovettore rispetto all’autovalore 1 di A ≥ 0
•
Def.: x autovettore relativo all’autovalore λ se Ax=λx, x≠0.
•
Un Esempio
Web
A
A 0
B 1
C 0
D 0
A
B
C
D
B C D
1 12 12
0 0 12
0 0 0
1
0 2 0
C
Num. Iter.
A
B
C
D
0.99
1925
0.4972
0.4966
0.0025
0.0037
0.95
377
0.4861
0.4830
0.0125
0.0184
0.85
119
0.4588
0.4502
0.0375
0.0534
0.75
68
0.4325
0.4191
0.0625
0.0859
Web e Algebra Lineare Numerica
•
Un problema di Algebra Lineare Numerica di
dimensione 1010 … (ed in continua crescita!).
•
Relazioni con l’elegante Teoria delle Matrici non
negative di Perron e Frobenius.
•
Tecniche di estrapolazione vettoriale, partizionamento
a blocchi (ricerche di struttura).
Quale Matematica?
• Matematica pura?
• Matematica applicata?
Il confine tra ciò che è profondo e ciò che è
superficiale è più significativo del confine
(del tutto arbitrario) tra Matematica pura e
Matematica applicata.
La Matematica applicata non esiste … esistono
invece le applicazioni della Matematica
(parafrasando Pasteur sulla scienza).
