Divisione di un angolo retto in tre angoli uguali

Divisione di un angolo retto in tre
angoli uguali
Mediante il programma Geogebra
verrà effettuata la costruzione di
come dividere un angolo retto in
tre angoli uguali.
Si disegna un angolo retto i cui lati sono le
semirette b e d.
Con centro nel vertice A dell’angolo retto si
traccia un arco di circonferenza f con raggio,
R, qualsiasi. Tale raggio deve essere il più
grande possibile.
Con centro nel punto H si tracci l’arco h il cui
raggio è ancora R.
Con centro nel punto I si tracci l’arco p il cui
raggio è ancora R.
I due archi, h e p, intersecano il primo arco f
nei punti L e O.
Dal vertice A dell’angolo retto si traccino le
semirette i e j che passano per i punti O e L.
In seguito alla costruzione, le semirette i e j
dividono l’angolo retto in tre angoli, α, , . Questi
angoli sono tutti uguali, pertanto l’angolo retto è
stato suddiviso in tre angoli uguali.
Perché i tre angoli, α, ,  sono uguali?
Dimostrazione: Si collega il punto I con il punto O.
si forma il triangolo [AOI].
Il triangolo [AIO] è equilatero. Infatti il lato [AI] è uguale al
raggio R. Il lato [AO] è uguale al raggio R (i punti I e O sono
entrambi punti dello stesso arco di circonferenza f.)
Il lato [IO] è il
raggio dell’arco h,
il cui raggio, per
costruzione, è
uguale al raggio, R,
dell’arco f.
Quindi:
[AI]=[AO]=[IO]
Il triangolo [AOI], essendo equilatero, ha gli angoli interni tutti
uguali; ognuno di essi vale:

 60
3
Pertanto:

     60
3
da cui si ricavano
le seguenti
relazioni:

  
3
 60   

  
3
 60   
Seconda parte della dimostrazione.
Si collega il punto L con il punto H. Si forma il
triangolo [ALH].
Il triangolo [ALH] è equilatero. Infatti il lato [AL] è uguale al
raggio R. Il lato [AH] è uguale al raggio R (i punti L e H sono
entrambi punti dello stesso arco di circonferenza f.)
Il lato [LH] è il
raggio dell’arco h,
il cui raggio, per
costruzione, è
uguale al raggio, R,
dell’arco f.
Quindi:
[AL]=[AH]=[LH]
Il triangolo [ALH], essendo equilatero, ha gli angoli interni tutti
uguali; ognuno di essi vale:

 60
3
Pertanto:

     60
3
da cui si ricavano
le seguenti
relazioni:

  
3
 60   

  
3
 60   
La somma degli angoli α, ,  è uguale all’angolo retto.

       90
2
Sostituendo nell’espressione i valori degli angoli α e  si ottengono
le seguenti relazioni:



         90
3
3
2
2

    90
3
2
2 
 
3
2
4  3 


6
6
Sostituendo il valore dell’angolo  nelle relazioni degli
altri due angoli α e  si ottengono:

  2   
     

3
3 6
6
6

  2   
     

3
3 6
6
6
Riassumendo: i tre angoli sono uguali a:

       30
6
Quindi l’angolo retto è stato diviso in tre angoli
congruenti, o isometrici, tra di loro. (C.V.D.)
Commento: Nell’antica Grecia erano in circolazione tre
problemi che i matematici non riusciarono a risolvere
utilizzando solo riga e compasso.
I tre problemi erano:
1. Quadratura del cerchio: Costruire un quadrato la cui
superficie sia equivalente ad un cerchio.
2. Duplicazione del cubo: Dato un cubo di lato L e di
volume V, costruire un secondo cubo il cui volume sia
doppio del primo cubo.
3. Trisezione di un angolo: Dato un angolo arbitrario,
costruire un angolo la cui ampiezza sia la terza parte del
primo.
La trisezione dell’angolo riguarda un angolo di ampiezza
qualsiasi. Però un angolo lo si può dividere in tre parti solo
se l’angolo è un angolo particolare, come nel caso di un
angolo retto.