Il grande geometra
PITAGORA
Sfogliando un vecchio libro di geometria per la scuola media di mio
cugino Arturo tra le sue pagine scopro un' immagine raffigurante il
busto del grande matematico Pitagora: (Roma, Museo Capitolino,
Sala Dei Filosofi) l'immagine mi attira, quindi immagino e
intraprendo con la fantasia un dialogo per conoscere aspetti della
sua vita e dei suoi studi nel campo dell' aritmetica e della geometria.
Particolarmente sul teorema che porta il suo nome: il teorema di Pitagora.
Salve, mi fa piacere conoscerla signor Pitagora.
P:-Tu chi sei? Cosa fai qui?
Io:-Mi chiamo Ilaria, sono una studentessa iscritta in Scienze della
Formazione Primaria all’Università Cattolica e mi trovo a “passeggiare”
tra le pagine di questo libro. Mi racconti qualcosa della tua vita?
Sono nato nell' isola di Samo intorno al 570 a.C.. Da giovane ho
viaggiato in parecchi paesi bagnati dal Mediterraneo e in
particolare in Egitto. Poi, dopo un lungo peregrinaggio, mi sono
stabilito a Crotone città dell'Italia Meridionale, dove ho creato la
“Scuola Italica”. Secondo alcuni, più che una scuola, si tratta di
una comunità a carattere scientifico, religioso e politico.
Io:-Cosa mi racconta delle sue scoperte nel campo dell'aritmetica e
della geometria?
P:-Al sottoscritto si devono parecchie scoperte nel campo della
aritmetica e della geometria, tra esse la più importante è
certamente il teorema che porta il mio nome, anche se alcuni
studiosi lo attribuiscono alla mia scuola.
Io:-Continui.
P:- Per la verità sapevano già che per ottenere un angolo retto era
sufficiente costruire un triangolo i cui lati avevano lunghezze
proporzionate ai numeri 3, 4 e 5
(5²= 3²+4²).
Anche gli Indiani conoscevano i triangoli rettangoli particolari, ad
esempio quelli cui lati hanno lunghezze proporzionali ai numeri:
5,12 e 13 (13²= 5²+12²)
Io:-Allora cosa ha scoperto?
P:- A me sembra che spetti comunque il merito di aver dimostrato
che la proprietà espressa dal teorema che porta il mio nome è
caratteristica dei triangoli rettangoli.
Io:- Il Teorema se ricordo bene, così recita “in un triangolo rettangolo il
quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati
costruiti sui cateti”. Vero?
P:Ricordi bene! Seguimi, cercherò di essere chiaro. Disegna un
triangolo rettangolo ABC con i cateti lunghi 3 cm e 4 cm. Ti sarà
facile constatare che l’ipotenusa misura 5 cm.
Osserva: 5² = 3²+ 4²;
infatti: 5² = 25 e 3²+ 4²= 9 + 16=25
Disegna un triangolo rettangolo MNP con i cateti lunghi 2,4 cm e
3,2cm; trova l' ipotenusa che misura 4 cm.
Anche in questo caso, come puoi osservare vale una relazione
analoga alla precedente cioè:
4² = 2,4² + 3,2²
infatti 4²= 16 e 2,4²+ 3,2²= 5,76+10,24=16
Tu perverrai ad un analogo risultato considerando un qualsiasi
triangolo rettangolo. Precisamente se individui con (a) la miura
della ipotenusa, con b e c le misure dei cateti di un triangolo
rettangolo puoi scrivere: a²=b²+c².
E
insieme
possiamo
concludere,
come
ricordavi
precedentemente, che “in un triangolo rettangolo il quadrato
costruito sull' ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati
costruiti sui cateti”.
Io:- Recuperando in memoria, comincio a ricordare anche come si
estrae la radice quadrata di un numero.
P:- Ti voglio mettere alla prova.
Risolvi questi due problemi.
Problema.
Calcola la misura dell' ipotenusa di untriangolo rettangolo i cui cateti
misurano 8,4 cm e 18,7 cm.
IO:- Prima cosa, rappresento col disegno.
Dati
ABC=triangolo rettangolo
AC= 18,7 cm
(cateto maggiore)
AB= 8,4 CM (cateto minore) ;
CB= incognita
Risolvo
AB²= BC²+CA²
CB =AB²+ CA²
CB =√8,4²+ 18,7²cm = √ 70,56+349,69cm = √420,25cm = 20,5cm
P:- Bene, bene! Adesso andiamo all'altro problema. Ricorda che il
quadrato costruito su un cateto è equivalente alla differenza dei
quadrati costruiti sull’ipotenusa e sull’altro cateto. Usando i
simboli precedenti puoi scrivere:
b²=a²-c² e con lo stesso ragionamento puoi dedurre che b=√a²-c²
PROBLEMA
In un triangolo rettangolo le misure dell' ipotenusa e di un cateto sono
rispettivamente 26,9 m e 6,9 m. Calcola la misura dell' altro cateto.
DATI
ABC= triangolo rettangolo
AB= 6,9 m ( catato minore)
BC= 26,9 m ( ipotenusa)
AC= incognita
Risolvo
AC²=BC²-AB²
AC=√BC² - AB²
AC=√26,9² – 6,9²m= √723,61-47,61 m= √676= 26m.
P:-Ilaria,sai sono contento di averti conosciuto e ti auguro un bel
futuro matematico. Addio!
Io: - Addio!
