Corso di logica matematica

Corso di logica
matematica
Prima lezione
Introduzione:
Antinomie logiche e semantiche.
Antinomia di Russel.
A è l’insieme di tutti gli insiemi X che non
hanno se stessi come elemento.
A  {X | X  X};
se A  A allora A  A;
se A  A allora A  A
Antinomia semantica
Un uomo dice
“ IO STO MENTENDO”.
Se egli mente dice la verità;
se dice il vero, mente.
La frase scritta
sulla diapositiva
successiva è falsa
La frase scritta
sulla diapositiva
precedente è vera
Uno dei compiti della
logica matematica
è quello di determinare il corretto
uso dei simboli e delle loro
combinazioni per accertare che
cosa si può dimostrare usando
assiomi e regole di inferenza.
Il calcolo proposizionale:
connettivi proposizionali e
Tavole di verità
• Consideriamo solo
combinazioni vero-funzionali ,
nelle quali la verità o la falsità
della nuova proposizione è
determinata dalla verità o falsità
delle proposizioni che
concorrono a formarla.
Negazione
A A
V
F
F
V
Congiunzione
A
V
V
F
F
B AB
V V
F
F
V
F
F
F
Disgiunzione
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
AÚB
V
V
V
F
Condizionale
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
AÉB
V
F
V
V
Bicondizionale
A
V
V
B
V
F
A ºB
V
F
F
F
V
F
F
V
Forme enunciative.
• 1)Tutte le lettere enunciative,
eventualmente con indice numerico,
sono forme enunciative (A, B, C, A1,
B2...);
• 2)SE  e  sono forme enunciative,
allora lo sono anche (), (),
(Ú), (É) e (º).
• Sono forme enunciative solo quelle
espressioni determinate per mezzo
della 1) e della 2).
Ciascuna forma enunciativa
determina una funzione di
verità che può essere
rappresentata graficamente
da una tavola di verità per la
forma enunciativa.
A
V
F
V
F
V
F
V
F
B
V
V
F
F
V
V
F
F
C
V
V
V
V
F
F
F
F
(A) ((A)ÚB)
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
(((A)ÚB)ÉC)
V
V
V
V
F
F
V
F
Tautologie
• Una forma enunciativa è una
tautologia se e solo se la sua
funzione di verità ha solo il
valore V.
• Se É è una tautologia , si dice che 
implica logicamente  oppure che  è una
conseguenza logica di .
• Se º è una tautologia, si dice che  e 
sono logicamente equivalenti.
• Le tavole di verità costituiscono una
procedura effettiva che ci permette di
determinare se una forma enunciativa è una
tautologia.
• Una forma enunciativa è una
contraddizione se la sua funzione di verità
ha solo il valore F.
Proposizione 1.1
• Se  e (É) sono
tautologie, allora anche 
è una tautologia.
Proposizione 1.2
• Se  è una tautologia contenente
come lettere enunciative A1,
A2,...,An, e  si ottiene da  per
sostituzione di A1, A2,...,An con,
rispettivamente, forme enunciative
1, 2,..., n, allora  è una
tautologia
Proposizione 1.3
Se 1 deriva da 1 per sostituzione
di  a una o più occorrenze di ,
allora ((º) É (1º1)) è una
tautologia . Quindi, se  e  sono
logicamente equivalenti, lo sono
anche 1 e 1.
Proposizione 1.4
• Ogni funzione di verità è
generata
da
una
forma
enunciativa in cui occorrono i
connettivi , , Ú.
x1
x2
x3
F(x1,x2,x3)
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
 ABC
 ABC
 ABC
 ABC
(ABC) Ú (ABC) Ú (ABC) Ú (ABC).
Forma normale disgiuntiva
• Una forma enunciativa scritta come
disgiunzioni di congiunzioni di lettere
enunciative o delle loro negazioni è in
forma normale disgiuntiva.
• Da quanto si è visto, ogni forma
enunciativa può essere scritta in forma
normale disgiuntiva