Geometria piana 2

GEOMETRIA PIANA
APPROFONDIMENTI
RELAZIONE TRA I LATI DI UN TRIANGOLO
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Come sappiamo in un
qualsiasi POLIGONO, OGNI
LATO è sempre MINORE rispetto
alla SOMMA di TUTTI GLI ALTRI
LATI.
Per i TRIANGOLI, essendo i lati
solamente tre, possiamo dire
che OGNI LATO è
sempre MINOREdella SOMMA
DEGLI ALTRI DUE.
In altre parole, dato il
triangolo ABC possiamo dire che:
BC < AB + AC
AB < BC + AC
AC < AB + BC
POLIGONI INSCRITTI
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Disegniamo un POLIGONO i cui vertici siano A, B,C, D, ed E.
Ora immaginiamo che TUTTI i VERTICI del nostro poligono si
trovino su una CIRCONFERENZA:
Il POLIGONO che abbiamo disegnato si dice INSCRITTO nella
circonferenza.
Mentre la CIRCONFERENZA si dice CIRCOSCRITTA al
poligono.
Dato un poligono, non sempre esiste una circonferenza ad esso
circoscritta: se ciò si verifica il POLIGONO si
dice INSCRITTIBILE.
Disegniamo gli ASSI di tutti i LATI del POLIGONO. Ricordiamo
che per asse del lato di un poligono si intende
la RETTA ad ESSO PERPENDICOLARE passante per il
PUNTO MEDIO del lato considerato.
Notiamo che gli assi di tutti i lati del poligono si incontrano
in un unico punto, che ricordiamo prende il nome
di CIRCOCENTRO. Tale punto non è altro che il centro della
circonferenza.
Quindi possiamo dire che un POLIGONO si
può INSCRIVERE in una CIRCONFERENZA se gli ASSI dei
suoi lati si INCONTRANO TUTTI in un UNICO PUNTO che è
anche il CENTRO DELLA CIRCONFERENZA.
Se un POLIGONO è INSCRITTO in una circonferenza di
centro O e raggio r, il centro O è il CIRCOCENTRO del poligono
e il raggio r si dice RAGGIO DEL POLIGONO.
TRIANGOLI INSCRITTI
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Ora ipotizziamo che il poligono che vogliamo
inscrivere in una circonferenza sia
un TRIANGOLO. Dallo studio dei triangoli
sappiamo che gli ASSI DEL TRIANGOLO si
incontrano tutti in UNO STESSO
PUNTO detto CIRCOCENTRO del triangolo.
Essendo il CIRCOCENTRO del triangolo unico è
evidente che è SEMPRE POSSIBILE
INSCRIVERE il triangolo in una circonferenza:
Osserviamo, ora la distanza dei vertici A, B e C dal
circocentro O (che poi è anche il centro della
circonferenza)
I segmenti OA, OB e OC sono tutti della stessa
lunghezza. Quindi possiamo costruire una
circonferenza, avente centro in O il cui raggio è
pari ad OA (e quindi anche ad OB e ad OC) e che
passa per i tre vertici del triangolo.
Quindi, possiamo dire che OGNI TRIANGOLO è
un poligono INSCRITTIBILE.
QUADRILATERI INSCRITTI
• Un QUADRILATERO può essere INSCRITTO in
una circonferenza se gli ANGOLI
OPPOSTI sono SUPPLEMENTARI, cioè se la loro
somma è pari a 180°. Vediamo allora, tra i
quadrilateri, quali sono inscrittibili.
• Può essere inscritto in una circonferenza
il RETTANGOLO: E' evidente, infatti che, poiché
gli ANGOLI del rettangolo sono tutti RETTI, cioè
misurano tutti 90°, la SOMMA degli ANGOLI
OPPOSTI è pari a 180°.
• Può essere inscritto in una circonferenza
il QUADRATO: Anche gli ANGOLI del quadrato
sono tutti RETTI, cioè misurano tutti 90°, pertanto
la SOMMA degli ANGOLI OPPOSTI è pari
a 180°.
• Infine può essere inscritto in una circonferenza
il TRAPEZIO ISOSCELE: Ritagliamo l'angolo con
vertice in A e andiamo ad affiancarlo
all'ANGOLO OPPOSTO, avente il vertice in C: i
due angoli sono SUPPLEMENTARI.
Poligoni regolari inscritti in una circonferenza
• Dato un qualsiasi poligono regolare e'
sempre possibile inscriverlo in una
circonferenza
Inoltre avremo che
All'aumentare del numero dei lati la misura
del perimetro di un poligono regolare
inscritto in una circonferenza aumenta
avvicinandosi alla misura della lunghezza
della circonferenza stessa
POLIGONI CIRCOSCRITTI
• Ora immaginiamo che TUTTI i LATI del nostro
poligono siano TANGENTI ad
una CIRCONFERENZA di centro O.
• Il POLIGONO che abbiamo disegnato si
dice CIRCOSCRITTO alla circonferenza.
• Mentre la CIRCONFERENZA si dice INSCRITTA
nel poligono.
• Dato un poligono, non sempre si può inscrivere in
esso una circonferenza: se ciò si verifica
il POLIGONO si dice CIRCOSCRITTIBILE.
• Disegniamo ora le DISTANZE DEI LATI del
poligono dal centro della circonferenza.
Nell'immagine che segue le abbiamo indicate
in verde:
• Ovviamente i
segmenti OQ, OK, OP, ON, OH sono CONGRUE
NTI essendo i RAGGI della CIRCONFERENZA.
Quindi i lati del poligono sono tutti equidistanti dal
centro della circonferenza.
POLIGONI CIRCOSCRITTI
• Ora, dallo studio dei triangoli abbiamo appreso che
l'INCENTRO è EQUIDISTANTE DAI LATI.
• Ricordiamo che l'INCENTRO è il PUNTO in cui si
INCONTRANO le BISETTRICI di un poligono e che
per BISETTRICE di un angolo si intende
la SEMIRETTA che ha per ORIGINE il VERTICE
dell'angolo e che divide l'angolo in DUE PARTI
UGUALI.
• Quindi, nel nostro poligono circoscritto l'incentro,
che è il punto equidistante dai lati del poligono,
coincide con il centro della circonferenza.
• Per evidenziare il concetto, disegniamo, in viola,
anche le bisettrici degli angoli del poligono:
• Esse si incontrano nel punto O che rappresenta
l'incentro, ma che è anche il centro della
circonferenza.
• Quindi possiamo dire che un POLIGONO si
può CIRCOSCRIVERE a
una CIRCONFERENZA se le BISETTRICI di tutti i
suoi angoli si INCONTRANO TUTTE in un UNICO
PUNTO che è anche il CENTRO DELLA
CIRCONFERENZA.
TRIANGOLI CIRCOSCRITTI
• Ora ipotizziamo che il poligono che
vogliamo circoscrivere ad una
circonferenza sia un TRIANGOLO. Dallo
studio dei triangoli sappiamo che
le BISETTRICI DEL TRIANGOLO si
incontrano tutte in UNO STESSO
PUNTO detto INCENTRO del triangolo.
• Essendo l'INCENTRO del
triangolo unico è evidente che è SEMPRE
POSSIBILE CIRCOSCRIVERE il
triangolo ad una circonferenza:
• Osserviamo, le bisettrici di tutti gli angoli
del triangolo si incontrano in un unico
punto che è l'incentro del triangolo, ma
anche il centro della circonferenza.
• Quindi, possiamo dire che OGNI
TRIANGOLO è un
poligono CIRCOSCRITTIBILE.
QUADRILATERI CIRCOSCRITTIBILI
• Un QUADRILATERO può
essere CIRCOSCRITTOad una
circonferenza se la SOMMA DEI LATI
OPPOSTI è UGUALE. Se questa
condizione si verifica esiste un
unico incentro.
• Quindi, tornando alla domanda iniziale
possiamo dire che non tutti i quadrilateri
sono circoscrittibili.
QUADRILATERI CIRCOSCRITTIBILI
• Vediamo allora, tra i quadrilateri, quali sono
circoscrittibili.
• Può essere circoscritto ad una
circonferenza il QUADRATO:
E' evidente, infatti che, poiché i LATI del
quadrato sono tutti CONGRUENTI, la
somma dei lati opposti è uguale, ovvero:
AB + DC = AD + BC.
• Può essere circoscritto alla circonferenza
anche il ROMBO:
Anche i LATI del rombo sono
tutti CONGRUENTI, e quindi la somma dei
lati opposti è uguale, ovvero:
AB + DC = AD + BC.
Poligoni regolari circoscritti ad una circonferenza
• Dato un qualsiasi poligono regolare e'
sempre possibile circoscriverlo ad una
circonferenza
• Inoltre avremo che
All'aumentare del numero dei lati la misura
del perimetro di un poligono regolare
circoscritto ad una circonferenza diminuisce
avvicinandosi alla misura della lunghezza
della circonferenza stessa
NUMERO DIAGONALI POLIGONI
Quante diagonali ha un poligono?
Per rispondere a questa domanda dobbiamo sapere che
esiste una formula per conoscere in modo rapido quante
diagonali ha un poligono.
Chiamiamo con n il numero di lati del poligono. Ovvero:
n = numero di lati del poligono. Avremo:
numero diagonali = [n· (n-3)]/ 2.
Ad esempio, vogliamo sapere qual è il numero delle
diagonali di un esagono.
Dato che l'esagono ha 6 lati avremo: n = 6
numero diagonali = [6 · (6-3)]/ 2 =
= (6 · 3)/2 = 18/2 = 9.
L'esagono ha nove diagonali.
Verifichiamolo provando a disegnare le diagonali
dell'esagono:
NUMERO DIAGONALI POLIGONI
Vediamo come si può arrivare allo stesso risultato, e a capire anche il senso di
questa formula, con un ragionamento. L'esagono ha 6 lati e, quindi, 6 vertici.
Prendiamo uno di questi vertici: il vertice A.
Ora disegniamo tutte le diagonali che partono da A:
Il vertice A si collega con i restanti vertici tranne i due consecutivi.
Poiché nell'esagono ci sono 6 vertici, il vertice A si collega con altri 3 vertici,
ovvero:
6 vertici - se stesso - 2 vertici consecutivi ad A.
Allo stesso modo il vertice B si collega con altri 3 vertici, ovvero:
6 vertici - se stesso - 2 vertici consecutivi a B.
Quindi possiamo dire che ogni vertice si collega con i tutti i vertici del poligono,
meno se stesso e meno i due consecutivi.
In altre parole ogni vertice si collega con altri (6 - 3) vertici. Quindi da ogni vertice
partono 3 diagonali.
Se da un vertice partono 3 diagonali, da 6 vertici partono 18 diagonali ( 6 x 3).
Però teniamo presente che la diagonale che collega, ad esempio, il vertice A al
vertice E è la stessa che collega il vertice E al vertice A, quindi devo dividere le
18 diagonali per 2 ottenendo 9 diagonali.
Generalizzando, se ho n vertici, ogni vertice si collega con i restanti, tranne i due
consecutivi. Quindi, essendo i vertici n, se ne prendo uno (e dunque
considero i restanti n-1) esso si collega con n-3 (cioè n vertici meno se stesso
e meno i due vertici consecutivi).
Se da un vertice partono n-3 diagonali, da n vertici partono [n · (n-3)] diagonali.
Tenendo conto che ogni diagonale è stata disegnata due volte, doppiamo dividere
il risultato ottenuto per 2.
Poligoni simili
• Due poligoni sono simili se hanno gli
angoli corrispondenti congruenti e i lati
corrispondenti in proporzione.