Il Pendolo semplice
Galileo Galilei intuì la caratteristica essenziale dei moti pendolari
nel 1583, probabilmente osservando l'oscillazione di un
lampadario nel duomo di Pisa: la durata di quelle lente oscillazioni,
che misurò con il battito del polso, rimaneva immutata, nonostante
la loro ampiezza diminuisse sempre di più. Gli esperimenti al
riguardo lo condussero a formulare il principio dell'isocronismo
delle piccole oscillazioni del pendolo: se il pendolo viene
spostato (al massimo) di qualche grado dalla verticale,
l'oscillazione è indipendente dall'ampiezza.
Si definisce pendolo semplice (o pendolo matematico), un sottile filo
inestensibile e di massa trascurabile, vincolato all’estremità superiore ad
un supporto fisso e recante a quella inferiore una massa puntiforme. Se il
corpo che realizza la "massa puntiforme" ha dimensioni estese, il
baricentro del sistema coincide col baricentro del corpo. Spostando il
corpo dalla posizione di equilibrio e poi abbandonandolo, il suo baricentro
oscillerà lungo una traiettoria che è un arco di circonferenza di raggio l,
detta lunghezza del pendolo. Se l’angolo descritto dal filo nello
spostamento iniziale è molto piccolo, non superiore ai 3 gradi, le
oscillazioni sono armoniche. Il loro periodo T dipende soltanto dalla
lunghezza l, e dalla accelerazione di gravità g, secondo la relazione:
Modello di un pendolo semplice
La forza che genera il moto e' :
mgsen mg mg
x
F
l
ponendo:
mg
k F kx
l
Si evince così che il moto di un pendolo e' un moto armonico con periodo
T 2
m
2
k
m
2
mg
l
l
g
La nostra esperienza
La nostra esperienza si prefigge lo scopo
di convalidare la legge del pendolo
descritta nelle diapositive precedenti.
L’apparato realizzato è visibile nella foto a
lato. Come si può notare sono stati usati
materiali presenti nel laboratorio per
realizzare il pendolo, in modo che
oscillasse su un piano fisso, e uno smart
timer per la misura del periodo. Sono state
effettuate 120 rilevazioni del periodo.
L’analisi delle misure è riportata nel foglio
excel periodo.xls, dove è riportata anche
la misura del periodo in funzione della
lunghezza. Come si nota è stata anche
rilevata la Gaussiana relativa a questa
prima esperienza, confermando così la
natura casuale degli errori e la validità
della misura effettuata. Diamo ora una
breve descrizione della curva di Gauss.
La curva Gaussiana corrisponde a una funzione matematica di tipo
esponenziale, nota come funzione di Gauss, la cui forma è
Dove σ è la deviazione standard
Curva di Gauss
La curva di Gauss ottenuta nella nostra
esperienza.
La Gaussiana rilevata nella nostra
esperienza
Gaussiana
1400
1200
1000
800
Gaussiana
600
400
200
0
1,291
1,2915
1,292
1,2925
1,293
La misura di g
Dai dati ottenuti abbiamo
quindi calcolato l’accelerazione
di gravità g, ottenendo un
valore di g = 9,8133 m/s2.
Valore più che accettabile, con
un errore di Dg=0,029 m/s2
circa.
Periodo in funzione della lunghezza
L’ultima esperienza ha riguardato la
verifica della variazione del periodo
del pendolo con la lunghezza. I
risultati ottenuti sono visibili nel
foglio pendolo.xls, dove è riportato il
grafico e la retta di regressione
lineare per validare l’esperienza.
Anche stavolta i risultati ottenuti
sono più che soddisfacenti. Di
seguito alcuni cenni sul metodo dei
mini quadrati.
Supponiamo di avere rilevato una serie di misure che mettano in
corrispondenza una variabile dipendente (y) con una variabile
indipendente (x) e supponiamo inoltre che le tra le due variabili
esista una relazione di dipendenza lineare:
y=mx+q
Poniamo:
D : N i xi ( i xi ) 2
2
Si può dimostrare allora che i valori di m e q che rendono minima la
somma dei quadrati degli scarti sono dati rispettivamente da:
m
N i xi yi i xi i y i
D
x y
q
2
i i
i
i
ixi ixi y i
D
Le incertezze dei parametri:
y
s
i
N 2
m y
q y
2
i
N
D
x
i
D
2
i
Progetto di fisica laboratoriale a cura
del professore Marcello Falciglia
