La sezione Aurea

Classe 5a
Liceo Scientifico Collegio Sant’Antonio
La sezione Aurea
Livia Spolverini
La sezione Aurea
Tesina di Maturità - 2007
Classe 5a – Liceo Scientifico Collegio Sant’Antonio
Livia Spolverini
Sezione Aurea
2

Matematica
 Geometria:
 La costruzione con riga e compasso
 Il decagono: un poligono d’oro
 Seno, coseno e tangente di alcuni angoli: 36°, 18°, 9°, 1°
 Aritmetica
 Frazioni Continue
 Radici nidificate

Arte
 La sezione aurea nell’arte classica, nell’arte rinascimentale e moderna
 Piet Mondrian e l sezione aurea

Astronomia
 Keplero: il legame tra sezione aurea e successione di Fibonacci
 Le galassie a spirale: la sezione aurea dell’universo

Filosofia: Thomas Kuhn e il ruolo di Keplero nella rivoluzione copernicana
La sezione Aurea
Esame di Stato 2007
Classe 5a – Liceo Scientifico Collegio Sant’Antonio
Livia Spolverini
Geometria: la costruzione con riga e compasso
 La sezione aurea di un segmento è la sua divisione in 2 parti in modo che il
rapporto tra l’intero segmento e la parte più lunga sia pari al rapporto tra la parte
più lunga e la parte più corta:
 : 1  1 :   1
1      1
AB : AC = AC : CB
 2   1
 Costruzione con riga e compasso:
Dato il segmento, trovare la sua sezione aurea
Data la sezione aurea, trovare il segmento
1
3
2
1
3
2
4
4
3
La sezione Aurea
Esame di Stato 2007
Classe 5a – Liceo Scientifico Collegio Sant’Antonio
Livia Spolverini
Geometria: il decagono, poligono d’oro
Dimostriamo che il lato del decagono inscritto in una circonferenza
è la sezione aurea del raggio della circonferenza, ovvero che
risulta:
AC : BC = BC : (AC – BC)
Tracciata la bisettrice dell’angolo alla base B, otteniamo il triangolo
ABD che è isoscele per avere 2 angoli congruenti ABD  DAB. Ne
segue che BD  AD.
Anche il triangolo CBD è d’altra parte isoscele per avere congruenti
due angoli BDC  BCD. Ne segue che BD  BC
Mostriamo ora che i triangoli BAC e CBD sono simili:

l’angolo DBC  BAC poiché entrambe misurano 36°;

l’angolo CDB  ACB poiché entrambe misurano 180° (36° + 72°) = 72°;

l’angolo in C è comune;
I 2 triangoli sono pertanto simili.
Possiamo pertanto impostare la proporzione seguente: AB :
BC = BC : DC
Sostituendo a DC = AC – AD = AC –BD = AC - BC, si ottiene:
5 1
l10 
r
2
 5 1  5  1 r  r  r
2   5  1
1 5 
AB : BC = BC : (AC – BC)
r : l10 = l10 : (r - l10)
l102 = r·(r - l10)
l102 + r·l10 – r2 = 0
2
4
La sezione Aurea
Esame di Stato 2007
Classe 5a – Liceo Scientifico Collegio Sant’Antonio
Livia Spolverini
Geometria: seno, coseno e tangente di alcuni angoli

Dal teorema di Carnot applicato al triangolo ABC: l102 = 2r2(1 – cos36°).
Poiché sappiamo che l102 = 1/φ2, si ottiene che:
1
cos 36  1  2
2

Dalla trigonometria si ricava poi:
1
sen 36  2  4 2  1
2
sen 18 
1
2
4 2  1
1
sen 9 
2
2

5
La sezione Aurea
4 2  1
tan 36 
2 2  1
tan 18 
tan 9 
1
4 2  1
2  4 2  1
2  4 2  1
cos 36  1 
cos18 
cos 9 
1
2 2
4 2  1
2
4 2  1
1
2
2

Esame di Stato 2007
Classe 5a – Liceo Scientifico Collegio Sant’Antonio
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Geometria: il decagono, poligono d’oro
Determiniamo ora il valore di cos 1°. A questo scopo ricordiamo che:
cos 3  cos2     cos 2  cos   sen 2  sen 
2 cos
2
  1 cos   2sen 2 cos   2 cos3   cos   2(1  cos 2  ) cos 
cos 3  4 cos 3   3 cos 
Scegliendo α = 1°, si ottiene:
cos 3  4 cos3 1  3 cos1
Poichè 1° è un angolo piccolo dovrà risultare cos1° circa pari a 1. Per ottenere un’approssimazione del
valore preciso scriviamo cos1° = 1 - , con  ≈ 0. Sostituendo nella equazione, si ricava:
cos 3  41     31   
3
cos 3  1  9  12 2  4 3
Essendo  ≈ 0, 3 sarà ancora più piccolo e dunque si può trascurare:
12 2  9  1  cos 3  0

9  33  48 cos 3
24
cos1  1 
6
9  33  48 cos 3 1 
11  16 cos 3 

  5 

24
8
3

La sezione Aurea
Esame di Stato 2007
Classe 5a – Liceo Scientifico Collegio Sant’Antonio
Livia Spolverini
Aritmetica: frazioni continue

La sezione aurea è un numero davvero magico !

Esiste infatti una bellissima formula basata su una frazione continua infinita che fornisce esattamente il valore
della sezione aurea utilizzando solo il più semplice dei numeri: 1
 2   1
 1
1

 1


1
1
  1
  1
1
1
1
1
1

1

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La sezione Aurea
1
  1
1
1
1
1
1
1
...
Esame di Stato 2007
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Livia Spolverini
Aritmetica: radici nidificate

La sezione aurea non finisce mai di stupire ! Non solo frazioni continue, ma anche radici nidificate possono
esprimerne il valore !
 2   1
  1 
  1 1 
  1 1 1 
  1  1  1  ...
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La sezione Aurea
Esame di Stato 2007
Classe 5a – Liceo Scientifico Collegio Sant’Antonio
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Arte: sezione aurea nell’arte classica, rinascimentale e moderna
9

Il Partenone è il più celebre monumento dell'architettura Ellenica e contiene molti rettangoli aurei e le stesse
proporzioni auree si riscontrano nelle statue in esso presenti.

La proiezione ortogonale della facciata mostra come essa sia stata concepita ispirandosi ad un rettangolo
aureo, in modo che la larghezza e l'altezza stiano nel rapporto: :1
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Esame di Stato 2007
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Livia Spolverini
Arte: sezione aurea nell’arte classica, rinascimentale e moderna
10

La sezione aurea affascinò pittori come Botticelli (1445-1510) che la rappresentò ne La Venere.

Misurando l’altezza da terra dell’OMBELICO e l’ALTEZZA COMPLESSIVA il loro rapporto risulterà 0.618,
così anche il rapporto tra la distanza tra il COLLO DEL FEMORE e il GINOCCHIO e la lunghezza
dell’INTERA GAMBA o anche il rapporto tra il GOMITO e la PUNTA DEL DITO MEDIO e la lunghezza del
BRACCIO.
La sezione Aurea
Esame di Stato 2007
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Arte: sezione aurea nell’arte classica, rinascimentale e moderna

11
Le immagini di Seurat sono prive di volume, come ritagliate in un composto alternarsi di gruppi,
ordinatamente divisi in sequenze compositive che rispettano le proporzioni della sezione aurea.
La sezione Aurea
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Livia Spolverini
Arte: Piet Mondrian e la sezione aurea

Alcuni artisti moderni come Piet Mondrian (1872-1944) utilizzano il rettangolo aureo nelle loro opere. In
questo quadro è ben visibile l'impostazione artistica di Mondrian che basa l'intero dipinto sull'accostamento di
quadrati e rettangoli aurei.

Anche se in Mondrian si ha il senso aureo della
precisione del calcolo, il pittore non fa matematica, ma
esprime il sentimento della perfezione matematica e
quindi della bellezza.
Cosa voglio esprimere con la mia opera? Niente di
diverso da quello che ogni artista cerca: raggiungere
l'armonia tramite l'equilibrio dei rapporti fra linee, colori
e superfici. Solo in modo più nitido e più forte.
(Piet Mondrian)
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Astronomia: Keplero, sezione aurea e Fibonacci

Il lavoro matematico di Keplero recò notevoli progressi nella teoria del rapporto aureo. Il teso di una lettera
scritta nel 1608 a un professore di Lipsia rivela che egli scoprì il rapporto tra  e i numeri di Fibonacci. Scrive
infatti Keplero
La geometria divina è congeniata in modo tale che i due termini minori di una serie nascente presi insieme formano
il terzo e gli ultimi due addizionati, il termine successivo, e così via indefinitamente, dato che la stessa proporzione
si conserva inalterata..più si va avanti a partire dal numero 1, più l’esempio diventa perfetto.
n
n
1  1  5   1  5   1 n
n
 
 



Fibn 


1


5  2   2  
5



essendo
1    1,

1   n  1
1 n 1

Fibn 1
5
lim
 lim

n  Fib
n 
1
n
n

5
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Astronomia: galassie a spirale

Le galassie in generale seguono la spirale logaritmica ( = 0eb)

Sembra infatti che la spirale logaritmica sia naturalmente associata alle galassie che si comportano come
sistemi parzialmente rigidi, ovvero con una velocità angolare costante per una grande percentuale del raggio.
Rettangoli di Fibonacci
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Spirale logaritmica
Galassia M51
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Filosofia: Thomas Kuhn e ruolo di Keplero nella rivoluzione copernicana
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
“La Geometria ha due grandi tesori: uno è il Teorema di Pitagora; l’altro è
la sezione aurea di un segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un
oggetto d’oro; il secondo lo possiamo definire un prezioso gioiello”

Per esemplificare la sua teoria delle rivoluzioni scientifiche come
progressivo superamento di paradigmi, Thomas Kuhn richiama, nel suo
libro “La rivoluzione Copernicana”, il lavoro di Keplero.

Nella descrizione delle tre leggi che governano i moti planetari è infatti
possibile riconoscere lo sviluppo e l’applicazione del un nuovo paradigma
Copernicano capace di spiegare anche fenomeni non interpretabili alla
luce del precedente paradigma Tolemaico.
La sezione Aurea
Esame di Stato 2007