L’addizione e la
sottrazione nell'Insieme
N
dei numeri naturali
Proprietà
Struttura in N
Impareremo a …
Conoscere
e comprendere il concetto di
operazione aritmetica
Conoscere e comprendere le operazioni di
addizione e sottrazione
Conoscere e comprendere come esse sono
strutturate nell'insieme N: le loro proprietà, il
"comportamento", gli elementi neutri
Lo 0 nelle due operazioni
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Cos'è un'operazione
aritmetica?
Eseguiamo una piccola operazione
2+3=5
Abbiamo operato su due numeri, 2 e 3, con un
certo procedimento che ci ha permesso di
arrivare a un terzo numero, il 5.
Il procedimento in questo caso è indicato dal
simbolo +
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Diciamo che
L'operazione aritmetica è un procedimento che
ci permette di associare a due numeri dati in
un certo ordine, un terzo numero che rispetti
certe condizioni.
I due numeri dati si dicono termini
dell'operazione, il numero a cui si perviene si
dice risultato dell'operazione.
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Addizione in N
Operazione e termini
Procedimento
Definizione addizione
Operazione interna
Commutativa
Associativa
Dissociativa
Elemento neutro
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Operazione e suoi
termini
Eseguiamo
delle piccole addizioni considerando
elementi appartenenti ad N, cioè numeri naturali
10+5=15
8+8=16 5+2=7
addendi
somma
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Procedimento
Quale procedimento ci permette di ottenere le
somme, cioè i risultati delle addizioni?
Si tratta di porsi, nel primo esempio, la
domanda: dal numero 10 come arriviamo al
numero 15?
Ma, dal 10 si arriva al 15 … contando!
E precisamente dal numero 10 contiamo tante
unità quante sono indicate dal secondo
addendo, il numero 5.
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Definizione di addizione
L’addizione
è dunque l’operazione aritmetica
che ci permette di associare due numeri detti
addendi ad un terzo numero detto somma, al
quale si arriva (o si perviene), contando
successivamente al primo addendo tante unità
quante sono le unità del secondo.
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Operazione interna
Eseguendo un'addizione con numeri naturali qualsiasi,
notiamo che i risultati sono ancora dei numeri naturali,
cioè elementi di N. In generale:
" a, b a+b=c c
Questo ci fa dire che l'addizione è un’operazione
INTERNA ad N. L’insieme N è chiuso rispetto
all’addizione. In un diagramma di Eulero-Venn:
8 + 8 = 16 5 + 2 = 7
N
7 + 4 = 11
4+1=5
15 + 5 = 20 10 + 5 = 15 4 + 4 = 8
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Le proprietà:
l'addizione è
commutativa
5+6=11
6+5=11
In generale, il linguaggio degli insiemi ci
aiuta nella sintesi,
" a, b a+b = b+a
10
l'addizione è
associativa
4+5+3=12
associo il 4 con il 5
(4+5) + 3 =
9 + 3 = 12
È la proprietà associativa
"a,b,c a+b+c = (a+b)+c =
= a+(b+c)
11
Gode della proprietà
dissociativa
3 + 25 = 28
3 + 20+ 5 = 28
ho dissociato l'addendo 25
Questa è la proprietà dissociativa
" a,b,c,d a+b = a+(c+d)
con (c+d)=b
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Ha l'elemento neutro
6+5+0 = 11
6+5 = 11
8+9+5+0= 22
8+9+5 = 22
11+5+4+0+2+3 = 25
11+5+4+2+3 = 25
Noto che quando lo zero appare come addendo,
non modifica il risultato dell’addizione
Lo zero è perciò chiamato elemento neutro
dell’addizione
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La sottrazione
Procediamo come per l’addizione …
10 – 8 = 2
minuendo sottraendo differenza (o resto)
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Procedimento
Quale procedimento ci permette di ottenere le
la differenza, cioè il risultato della sottrazione?
Dal numero 10 come arriviamo al numero 2?
Considera: c’è un legame tra addizione e
sottrazione?
10-8=2 2+8=10 e anche
10-2=8 8+2=10
La sottrazione è l’operazione inversa
dell’addizione e, come tale …
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Definizione della
sottrazione
Il numero 2 dunque è quel numero che
sommato al numero 8 ci fa ottenere il 10!
Perciò:
La sottrazione è l’operazione aritmetica che ci
permette di associare due numeri detti
rispettivamente minuendo e sottraendo, ad un
terzo numero, se esiste (in N), detto differenza o
resto, che addizionato al sottraendo dia
come risultato il minuendo.
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Operazione interna?
Rappresentiamo l’operazione di sottrazione con un
diagramma di Eulero-Venn
N
8 – 8 = 0 5 – 2 = 3 10 – 15 =
7–4=3
15 – 5 = 10 3 – 7 =
?
?
Ci accorgiamo che non sempre è possibile eseguire
l’operazione restando in N.
La sottrazione non è un’operazione INTERNA ad N:
il risultato non sempre appartiene a N. L’insieme N
non è chiuso rispetto alla sottrazione
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Le proprietà: la
sottrazione non è
commutativa
9-6=3
6-9≠3
In generale
" a, b a-b ≠ b-a
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Gode della proprietà invariantiva
Consideriamo la sottrazione
12 – 7 = 5
Operiamo nel seguente modo:
(12+2) – (7+2) = 14 – 9 = 5
E ancora
(12-4) – (7-4) = 8 – 3 = 5
Il risultato di una sottrazione non cambia se al
minuendo e al sottraendo si somma o si sottrae uno
stesso numero: è la proprietà invariantiva
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Brevi considerazioni
Non possiamo dire che la sottrazione ha
l’elemento neutro poiché anche se
5-0=5
Essendo falso: 0-5=5
lo zero non può considerarsi elemento neutro.
La sottrazione, come anche le altre operazioni
inverse, poiché operazione non interna
all’insieme N, ci pone di fronte all’esigenza
dell’ampliamento di N, ci porta a conoscere
nuovi insiemi numerici!
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E ancora …
In generale sulle operazioni:
Le proprietà delle operazioni sono importanti, ai fini del
nostro studio, per il calcolo. Opportunamente utilizzate ci
permettono i calcoli rapidi.
Per le operazioni esaminate abbiamo considerato in questa
presentazione le caratteristiche più generali.
Di particolare interesse è
l’osservazione delle tabelle relative alle due operazioni in cui
possiamo riconoscere le proprietà o notare che l’aspetto
stesso delle tabelle è determinato dalle proprietà delle
operazioni.
Per lo studio delle altre due operazioni fondamentali,
moltiplicazione e divisione, si può procedere attraverso le
stesse considerazioni ...
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