Istituto Comprensivo “F. Jovine” - Scuola Secondaria di I grado
A.S. 2012-2013
Classi Prime
Disciplina: Geometria
Realizzato dal prof. Aurelio Nardelli
I primi elementi della
geometria
Gli enti geometrici fondamentali
La geometria (dal greco antico
γεωμετρία (geometria), composto
da γεω, geo = "terra" e μετρία,
metria = "misura", tradotto quindi
letteralmente come misurazione
della terra.
È quella parte della matematica
che si occupa della forma e
dell’estensione delle figure e delle
relazioni e trasformazioni che le
caratterizzano.
Gli enti geometrici fondamentali
La geometria che si studia
nelle scuole medie è opera
degli studi dei geometri e
filosofi greci, alessandrini
(egiziani) e della Magna
Grecia.
Si chiama euclidea perché
Euclide
scrisse
gli
“Elementi” in 13 libri che
riassumevano
le
conoscenze
geometriche
del tempo.
Gli enti geometrici fondamentali
Gli enti geometrici
fondamentali della
geometria euclidea
sono punto,
linea, piano e spazio
Gli enti geometrici fondamentali
Il punto è il primo degli enti geometrici fondamentali ed è privo
di dimensioni.
Il modo migliore per rappresentare il punto (modello) e quello di
poggiare leggermente una matita appuntita su un foglio.
Per convenzione i punti vengono indicati con una lettera in
stampatello maiuscolo.
Gli enti geometrici fondamentali
La linea è il secondo ente geometrico fondamentale ed ha una sola
dimensione: la lunghezza.
Le linee si possono classificare in: aperta, chiusa, semplice, intrecciata
Linea aperta semplice
Linea chiusa semplice
Linea aperta intrecciata
Linea chiusa intrecciata
Per convenzione la linea viene indicata con una lettera minuscola: a,
b, c..... Se tutti i punti appartenenti ad una stessa linea sono
disposti secondo una stessa direzione otteniamo una linea retta o
retta.
Gli enti geometrici fondamentali
Il piano è il terzo ente geometrico fondamentale ed è dotato di
due dimensioni: larghezza e lunghezza.
In generale il piano si indica con una lettera minuscola
dell'alfabeto greco: α, β, δ.... e si rappresenta graficamente
come segue:
β
Gli enti geometrici fondamentali
Lo spazio è il quarto ente geometrico fondamentale ed è dotato
di tre dimensioni: larghezza, lunghezza e altezza.
Gli enti geometrici fondamentali
Il rapporto tra gli enti geometrici fondamentali
Un punto può:
- appartenere ad una retta o ad un piano (A)
- non appartenere ad una retta o ad un piano (B)
.A
r
. B
Rispetto ad un piano una retta può:
- giaciere
- essere parallela
- intersecare
Due rette complanari (che appartengono ad uno stesso piano) possono essere:
coincidenti; incidenti e parallele.
Gli assiomi della geometria
1 - Per un punto passano infinite rette
2 – Per due punti distinti passa una sola retta
3 – Se una retta ha in comune con un piano due punti
allora giace tutta sul piano
Gli assiomi della geometria
4 – Per una retta passano infiniti piani
5 – Per tre punti distinti non appartenenti ad una stessa retta
passa uno e un solo piano
.A
ε
.C
.B
5a – Per una retta ed un punto fuori di essa passa un solo piano
.A
ε
r
t
5b – Per due rette incidenti passa un solo piano
ε
r
La semiretta e il segmento
La semiretta è ciascuna delle due parti, infinite, in cui una retta
è divisa da un suo punto. Tale punto è detto origine delle due
semirette.
Il segmento è la parte di retta compresa tra due suoi punti.
I punti A e B si dicono estremi del segmento.
Gli angoli
Consideriamo un piano α e due semirette a e b aventi un’origine
in comune B.
Si definisce angolo
ciascuna delle parti
in cui il piano risulta
suddiviso dalle due
semirette.
Elementi di un angolo
Consideriamo l’angolo
mostrato in figura
Definiamo vertice il punto
di origine delle due
semirette
a e b sono i lati dell’angolo
α è l’ampiezza dell’angolo ed è l’unica dimensione
che lo caratterizza
Angoli concavi e convessi
Dalla definizione di piano emerge
chiaramente che 2 semirette
aventi un origine in comune
formano 2 angoli perché il piano
viene diviso in due parti
Definiamo convesso l’angolo
che
non
contiene
il
prolungamento dei sui lati
Definiamo
concavo
l’angolo che contiene il
prolungamento dei sui lati
Angoli consecutivi
L’italiano
ci
dovrebbe
venire in soccorso quando
parliamo
di
angoli
consecutivi
Cosa significa consecutivo?
Una cosa è consecutiva ad
un’altra quando la segue,
quando viene dopo, quando
abbiamo elementi che si
susseguono l'un l'altro.
Da ciò si deduce che anche
gli
angoli
debbono
susseguirsi; ma come può
avvenire questo?
Due angoli sono consecutivi quando hanno un vertice ed un lato
in comune
Angoli adiacenti
Si dicono adiacenti due angoli consecutivi e i cui lati non
comuni giacciono sulla stessa retta
Angoli opposti al vertice
Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno il vertice in
comune e se i suoi lati si trovano uno sul prolungamento dell’altro.
Due angoli opposti al vertice sono congruenti
Bisettrice
Definiamo bisettrice la semiretta che partendo dal suo vertice
B divide l’angolo in due parti uguali
Bisettrice
Tipi di angoli
Possiamo individuare 5 tipi di angoli di cui 3 notevoli
(una cosa è notevole quando ha qualcosa di speciale o
particolare).
1 - Angolo giro
2 - Angolo piatto
3 - Angolo retto
4 - Angolo acuto
5 - Angolo ottuso
ANGOLO GIRO
Cosa succede se i due lati dell’angolo coincidono?
L’angolo convesso sarà nullo e quello concavo avrà
ampiezza massima.
Chiamiamo questo angolo angolo giro.
ANGOLO PIATTO
Definiamo piatto l’angolo formato da due semirette
che sono una il prolungamento dell’altra, cioè che
giacciono sulla stessa retta.
La sua ampiezza è la metà dell’angolo giro.
ANGOLO RETTO
Prendiamo un angolo piatto e tracciamo la sua bisettrice,
tale bisettrice divide l’angolo in due parti uguali.
Definiamo retto ciascuno di questi angoli aventi ampiezza
pari alla metà dell’angolo piatto.
ANGOLO ACUTO
Un angolo si dice acuto se la sua ampiezza è minore di
quella di un angolo retto.
ANGOLO OTTUSO
Un angolo si dice ottuso se la sua ampiezza è maggiore
di un angolo retto.
Differenza di angoli
Dati due angoli AOB e CKD
Per fare la somma di due
angoli faccio coincidere i
lati non omologhi e i due
vertici.
Lati non omologhi: sono
lati che non occupano
la
stessa
posizione
(colore diverso).
AOD è la somma fra l’angolo AOB
e l’angolo CKD
AOB + CKD = AOD
γ=α+β
B
A
O
D
K
C
Sottomultipli di un angolo
Prendiamo
l’angolo
AOB
e
dividiamolo in tre parti uguali.
Com’è l’angolo AOC rispetto
all’angolo AOB?
Sapendo che per definizione
l’angolo AOC è contenuto 3 volte
in AOB come sarà questo angolo?
Se AOC è contenuto 3 volte in
AOB sarà un suo sottomultiplo.
Quando un angolo è sottomultiplo di
un altro?
Un angolo è sottomultiplo di un altro quando
vi è contenuto un numero intero di volte.
Multipli di un angolo
Quante volte AOB contiene AOC?
Tre volte per definizione (perché
ho fatto l’operazione di dividere
l’angolo in tre parti uguali e quindi
l’ho definito in partenza)
Come sarà AOB rispetto ad AOC?
Sarà un suo multiplo.
Quando un angolo è multiplo di un
altro?
Un angolo è multiplo di un altro quando lo contiene un numero
intero di volte.
Angoli complementari
Consideriamo due angoli
AOB e CKD e proviamo a
sommare questi due angoli
Dalla somma è uscito un
angolo retto
Due angoli si dicono complementari se la loro somma è un
angolo retto.
Angoli supplementari
Consideriamo due angoli
AOB e CKD e proviamo a
sommare
questi
due
angoli
Dalla somma è uscito
un angolo piatto
Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è un
angolo piatto.
Angoli esplementari
Consideriamo due angoli AOB e CKD e proviamo a sommare questi due angoli
Dalla somma è uscito un angolo giro
Due Angoli si dicono
esplementari se la
loro somma è un
angolo giro.
Fine
