T(n)

Tempo di computazione (Running Time) di programmi
Misure del tempo: metodi principali
1. Benchmarking
2. Analisi
Tempo di computazione (Running Time) di programmi
Misure del tempo: metodi principali
1. Benchmarking
2. Analisi
Benchmarking: usato per confrontare programmi.
Si cerca una collezione di input che sia rappresentativa
dell’insieme dei possibili dati reali. Il giudizio di
confronto viene espresso sugli input scelti.
Tempo di computazione (Running Time) di programmi
Misure del tempo: metodi principali
1. Benchmarking
2. Analisi
Benchmarking: usato per confrontare programmi.
Si cerca una collezione di input che sia rappresentativa
dell’insieme dei possibili dati reali. Il giudizio di
confronto viene espresso sugli input scelti.
Es.
•
•
•
per algoritmi di sorting si può scegliere la collezione:
prime 20 cifre p
codici postali italiani
numeri telefonici di Roma
Tempo di computazione (Running Time) di programmi
ANALISI: analizza il r.t. di un dato programma
Si raggruppano input per dimensione
(es. ordinamento: dimensione = numero elementi da ordinare,
sistema di n equazioni in n incognite: dimensione = n)
Tempo di computazione (Running Time) di programmi
ANALISI: analizza il r.t. di un dato programma
Si raggruppano input per dimensione
(es. ordinamento: dimensione= numero elementi da ordinare,
sisteme di n equazioni in n incognite: dimensione=n)
Running time: funzione T(n), con n = (dimensione input),
che rappresenta il numero di “unità di tempo” usate
dall’algoritmo
Tempo di computazione (Running Time) di programmi
ANALISI: analizza il r.t. di un dato programma
Si raggruppano input per dimensione
(es. ordinamento: dimensione= numero elementi da ordinare,
sisteme di n equazioni in n incognite: dimensione=n)
Running time: funzione T(n), con n=dimensione input,
che rappresenta il numero di “unità di tempo” usate
dall’algoritmo
Unità di tempo varia: es. numero di istruzioni semplici in
linguaggio usato (C).
Tempo effettivo dipende da vari paramentri: velocità del
processore usato, compilatore,….
Tempo di computazione (Running Time) di programmi
Worst case (caso peggiore): su diversi input di stessa
dimensione n si possono avere r.t. differenti
Tempo di computazione (Running Time) di programmi
Worst case (caso peggiore): su diversi input di stessa
dimensione n si possono avere r.t. differenti
T(n)=worst case r.t.
= max tempo su qualsiasi input di dimentsione n
Tempo di computazione (Running Time) di programmi
Worst case (caso peggiore): su diversi input di stessa
dimensione n si possono avere r.t. differenti
T(n)=worst case r.t.
= max tempo su qualsiasi input di dimentsione n
Es. cerca min A[0..n-1] (dimensione=n)
1. small=0;
2. for(j=1; j<n; j++)
3.
if(A[j]<A[small])
4.
small=j;
Tempo di computazione (Running Time) di programmi
Worst case (caso peggiore): su diversi input di stessa
dimensione n si possono avere r.t. differenti
T(n)=worst case r.t.
= max tempo su qualsiasi input di dimentsione n
Es. cerca min A[0..n-1] (dimensione=n)
1. small=0;
2. for(j=1; j<n; j++)
3.
if(A[j]<A[small])
4.
small=j;
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Linea
1.
2.
3.
4.
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Numero operazioni
1
1 + n + (n-1) =2n
n-1
n-1 (worst case)
TOTALE: 1+2n+2(n-1)=4n-1  T(n)=4n-1
Tempo di computazione (Running Time) di programmi
Confronto di r.t. Dato un problema consideriamo 2
algoritmi A e B con r.t. T’(n) e T’’(n)
T’(n)=100n
T’’(n)=2n2
T’’(n)
T’(n)
n
n<50,
T’’(n) < T’(n)
n>50,
T’’(n) > T’(n)
n=100,
T’’(n) = 2 T’(n)
n=1000,
T’’(n) = 20 T’(n)
Tempo di computazione (Running Time) di programmi
T’(n)=100n
T’’(n)=2n2
Unità di tempo= 1ms (millisec)  1000 operazioni/sec
sec (1000ms) | max n per A
| (100n=1000*sec)
1
10
100
1000
|
|
|
|
10
100
1000
10000
| max n per B
|
|
|
|
|
|
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|
|
| ( 2n2=1000*sec)
22
70
223
707
|
Tempo di computazione (Running Time) di programmi
T’(n)=100n
T’’(n)=2n2
Unità di tempo= 1ms (millisec)  1000 operazioni/sec
sec (1000ms) | max n per A
| (100n=1000*sec)
1
10
100
1000
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10
100
1000
10000
| max n per B
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|
| ( 2n2=1000*sec)
22
70
223
707
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Se calcolatori diventano 100 volte più veloci
(unità di tempo =1/100 di ms  100.000 operazioni/sec)
In 10 sec
A passa da n=100 ad n=10000 (*100)
B passa da n=70
ad n=707
(*10)
Notazione O-grande e r.t. approssimato
Dato un programma ed un input, r.t. dipende ancora da
1. Calcolatore usato (velocità di esecuzione istruzioni)
2. Compilatore (numero istruzioni macchina/istruzione C)
Quindi non ha senso parlare di tempo in sec per analizzare
un algoritmo.
Notazione O-grande e r.t. approssimato
Dato un programma ed un input r.t. dipende ancora da
1. Calcolatore usato (velocità di esecuzione istruzioni)
2. Compilatore (numero istruzioni macchina/istruzione C)
Quindi non ha senso parlare di tempo in sec per analizzare
un algoritmo.
Per nascondere effetti di 1. e 2. si usa la notazione
O-grande (big-Oh) che ignora le costanti
Es. 4m-1=O(m) (ignorando la costante moltiplicativa 4
e quella additiva 1)
Notazione O-grande e r.t. approssimato
Un r.t. T(n) si assume essre definito solo per n>0 e
che T(n)>0 per ogni n.
Definizione Dati il r.t. T(n) ed una funzione f(n),
definita per ogni intero n>0,
T(n)=O(f(n))
 Esistono n0>0 e c>0 tali che
per ogni n>n0 risulta T(n)< c f(n)
Notazione O-grande e r.t. approssimato
Un r.t. T(n) si assume essre definito solo per n>0 e
che T(n)>0 per ogni n.
Definizione Dati il r.t. T(n) ed una funzione f(n),
definita per ogni intero n>0,
T(n)=O(f(n))
 Esistono n0>0 e c>0 tali che
per ogni n>n0 risulta T(n)<cf(n)
Es. Dato T(0)=0 e T(n)=(n+1)*(n+2), n>0
mostriamo che T(n)= O(n2). (cioè f(n)=n2)
Notazione O-grande e r.t. approssimato
Un r.t. T(n) si assume essre definito solo per n>0 e
che T(n)>0 per ogni n.
Definizione Dati il r.t. T(n) ed una funzione f(n),
definita per ogni intero n>0,
T(n)=O(f(n))
 Esistono n0>0 e c>0 tali che
per ogni n>n0 risulta T(n)<cf(n)
Es. Dato T(0)=0 e T(n)=(n+1)*(n+2), n>0
mostriamo che T(n)= O(n2). (cioè f(n)=n2)
Prendiamo n0=1, c=6:
T(n) =(n+1)(n+2)=n2+3n+2
<n2+3n2+2n2 (per n>1, n0=1<n<n2)
=6n2=c n2= c f(n)
Notazione O-grande e r.t. approssimato
Costanti non hanno valore
T(n)=O(d T(n)), per ogni costante d
Infatti: siano n0=0, c=1/d. Si ha
T(n)=(1/d) d T(n)= c (d T(n))
Notazione O-grande e r.t. approssimato
Low-order terms non hanno valore Dato il polinomio
T(n)=aknk+ak-1nk-1+…+a1n+a0, con ak>0
risulta
T(n)=O(nk)
Notazione O-grande e r.t. approssimato
Low-order terms non hanno valore Dato il polinomio
T(n)=aknk+ak-1nk-1+…+a1n+a0, con ak>0
risulta
T(n)=O(nk)
Siano n0  1,
c
k
a
i  0 , ai  0
i
(nota ai  c per ogni 0  i  k )
Notazione O-grande e r.t. approssimato
Low-order terms non hanno valore Dato il polinomio
T(n)=aknk+ak-1nk-1+…+a1n+a0, con ak>0
risulta
T(n)=O(nk)
Siano n0  1,
k
a
c
i  0 , ai  0
i
k
Si ha
(nota ai  c per ogni 0  i  k )
T (n)   ai n i 
i 0

k
k
a
n
 i
k
i
a
n
 i
i  0 , ai  0
(essendo 1  n)
i  0 , ai  0
 nk
k
k
k
a

n
c

cn
.
 i
i  0 , ai  0
Notazione O-grande e r.t. approssimato
Low-order terms non hanno valore Dato il polinomio
T(n)=aknk+ak-1nk-1+…+a1n+a0, con ak>0
risulta
T(n)=O(nk)
Es. T(n)  10 n 5  3n 3 - 2n 2  1
n0  1,
c
k
a
i  0 , ai  0
i
 10  3  1  14
T(n)  10 n 5  3n 3 - 2n 2  1  10 n 5  3n 3  1
 10 n 5  3n 5  n 5  14n 5  cn 5
Notazione O-grande e r.t. approssimato
La funzione g(n) cresce più rapidament e di h(n) se
h ( n)
lim
0
n  g ( n )
Tasso di crescita Ha valore solo il termine che cresce
più rapidamente. Se g(n) cresce più rap. di h(n)
g(n)+h(n)=O(g(n))
Notazione O-grande e r.t. approssimato
La funzione g(n) cresce più rapidament e di h(n) se
h( n)
lim
0
n  g ( n )
Tasso di crescita Ha valore solo il termine che cresce
più rapidamente. Se g(n) cresce più rap. di h(n)
g(n)+h(n)=O(g(n))
Es. T(n) = 2n+n3 = O(2n), infatti
3
n
lim n  0
n  2
Notazione O-grande e r.t. approssimato
La funzione g(n) cresce più rapidament e di h(n) se
h( n)
lim
0
n  g ( n )
Tasso di crescita Ha valore solo il termine che cresce
più rapidamente. Se g(n) cresce più rap. di h(n)
g(n)+h(n)=O(g(n))
Es. T(n)=2n+n3=O(2n), infatti
n3
lim n  0
n  2
Verificarlo in modo diretto esibendo le costanti n0 e c
Notazione O-grande e r.t. approssimato
Transitività
Se f(n)=O(g(n)) e g(n)=O(h(n))
allora f(n)=O(h(n))
Notazione O-grande e r.t. approssimato
Transitività
Se f(n)=O(g(n)) e g(n)=O(h(n))
allora f(n)=O(h(n))
f(n)=O(g(n))

Esistono c’, n’ tali che f(n) < c’ g(n)
per ogni n>n’
g(n)=O(h(n))
 Esistono c’’, n’’ tali che g(n) < c’’ h(n)
per ogni n>n’’
Notazione O-grande e r.t. approssimato
Transitività
Se f(n)=O(g(n)) e g(n)=O(h(n))
allora f(n)=O(h(n))
f(n)=O(g(n))

Esistono c’, n’ tali che f(n) < c’ g(n)
per ogni n>n’
g(n)=O(h(n))
 Esistono c’’, n’’ tali che g(n) < c’’ h(n)
per ogni n>n’’
Quindi, prendiamo n0=max { n’,n’’ } e c=c’c’’
Per n>n0
f(n) < c’ g(n) < c’ (c’’ h(n)) = c h(n)
Notazione O-grande e r.t. approssimato
Si vuole come O-grande la funzione con il minimo tasso
di crescita!!!
Es. f(n)=12n +3, si ha f(n)=O(n)
risulta anche f(n)=O(n2), f(n)=O(n3), f(n)=O(2n), ….
ma non è quello che vogliamo.
Notazione O-grande e r.t. approssimato
Esercizio.Mostrare che g(n)+f(n)=O(max{f(n),g(n)})
Esercizio.Mostrare che se T(n)=O(f(n)) e S(n)=O(g(n))
allora T(n)S(n)=O(f(n)g(n))
Running Time di programmi
Trova f(n) tale che T(n)=O(f(n))
Running Time di programmi
Trova f(n) tale che T(n)=O(f(n))
Istruzioni semplici (assegnamento, confronto,…)
tempo costante O(1)
Running Time di programmi
Trova f(n) tale che T(n)=O(f(n))
Istruzioni semplici (assegnamento, confronto,…)
tempo costante O(1)
Cicli for: for (i=1,i<=n,i++) I
1. se I=operazione semplice risulta O(n)
2. Se I ha r.t. O(f(n)) risulta O(nf(n))
es. for(i=1,i<=n,i++) A[i]=1
 T(n)=O(n)
for(i=1,i<=n,i++)
for(j=1,j<=n,i++) A[i]=A[i]+A[j]
 T(n)=O(n*n) =O(n2)
Running Time di programmi
If (C) I else I’: (normalmente C è O(1))
1. se I,I’ sono istruzioni semplici  O(1)
2. se I ha r.t. O(f(n)) e I’ ha r.t. O(g(n))
 O(max (f(n), g(n))
Running Time di programmi
If (C) I else I’: (normalmente C è O(1))
1. se I,I’ sono istruzioni semplici  O(1)
2. se I ha r.t. O(f(n)) e I’ ha r.t. O(g(n))
 O(max (f(n), g(n))
es. if (A[0]=0) for(i=1,i<=n,i++) A[i]=1;
else for(i=1,i<=n,i++)
for(j=1,j<=n,i++) A[i]=A[i]+A[j]
 T(n)=O(max (n, n2)) =O(n2)
Running Time di programmi
Cicli while e do while: simili al ciclo for
(non conosciamo esplicitamente il numero di iterazioni)
es. Dato un array A di n elementi
i=0;
while (x<>A[i] && i<n) i=i+1;
(caso peggiore: n iterazioni)  T(n)=nO(1)=O(n)
Running Time di programmi
Sequenze di istruzioni: si devono sommare i tempi
delle singole istruzioni. Si usa la regola della somma.
Date
{I1;
I2;
.
.
.
Im;}
con
O(f1)
O(f2)
.
.
.
O(fm)
Risulta
O(f1(n)) + O(f2(n))+…+ O(fm(n))= O(fi(n))
fj(n)=O(fi(n)) per ogni j diverso da i.
Running Time di programmi
Chiamate a funzioni: si deve sommare il tempo
della funzione chiamata.
(se A chiama B: si calcola il r.t. di B e si somma al
r.t. delle altre istruzioni di A)
Running Time di programmi
Chiamate a funzioni: si deve sommare il tempo
della funzione chiamata.
(se A chiama B: si calcola il r.t. di B e si somma al
r.t. delle altre istruzioni di A)
Chiamate ricorsive: determiniamo T(n) in modo induttivo
1. Tempo di una chiamata che non usa ricorsione = t
(=O(1))
2. Si esprime T(n) in termini del tempo T(n’) della
chiamata ricorsiva
Running Time di programmi
Chiamate ricorsive: determiniamo T(n) in modo induttivo
1. Tempo di una chiamata che non usa ricorsione=t
(=O(1))
2. Si esprime T(n) in termini del tempo T(n’) della
chiamata ricorsiva
Running Time di programmi
Chiamate ricorsive: determiniamo T(n) in modo induttivo
1. Tempo di una chiamata che non usa ricorsione=t
(=O(1))
2. Si esprime T(n) in termini del tempo T(n’) della
chiamata ricorsiva
Es. int fact(int n)
{ if (n<=1) return 1;
else return n*fact(n-1)}
T(1)=t
T(n)=T(n-1)+c
Running Time di programmi
Es. int fact(int n)
{ if (n<=1) return 1;
else return n*fact(n-1)}
T(1)=t
T(n)=c+ T(n-1)
Vogliamo il valore di T(n) (non dipendente da T(n’))
Abbiamo T(n)=c+ T(n-1)
=c+ c+ T(n-2)= 2c +T(n-2)
Running Time di programmi
Es. int fact(int n)
{ if (n<=1) return 1;
else return n*fact(n-1)}
T(1)=t
T(n)=c+ T(n-1)
Abbiamo T(n)=c+T(n-1)
=c+ c+ T(n-2)= 2c +T(n-2)
=2c +c +T(n-3)=3c +T(n-3)
Running Time di programmi
Es. int fact(int n)
{ if (n<=1) return 1;
else return n*fact(n-1)}
T(1)=t
T(n)=c+ T(n-1)
Abbiamo T(n)=c+T(n-1)
=c+ c+ T(n-2)= 2c +T(n-2)
=2c +c +T(n-3)=3c +T(n-3)
…
=ic +T(n-i)
Running Time di programmi
Es. int fact(int n)
{ if (n<=1) return 1;
else return n*fact(n-1)}
T(1)=t
T(n)=c+ T(n-1)
Abbiamo T(n)=c+T(n-1)
=c+ c+ T(n-2)= 2c +T(n-2)
=2c +c +T(n-3)=3c +T(n-3)
…
=ic +T(n-i)
(per i=n-1)
=(n-1)c+T(1)
=(n-1)c+t= O(n)
Running Time di programmi
Esercizio. Dimostrare per induzione su n che la
relazione di ricorrenza
T(1)=t
T(n)=c+ T(n-1)
ha come soluzione T(n)=(n-1)c + t
Running Time di programmi
Esercizio. Dimostrare per induzione su n che la
relazione di ricorrenza
T(1)=t
T(n)=c+ T(n-1)
ha come soluzione T(n)=(n-1)c + t
Base n=1. T(1)=t=(1-1)c+t. OK.
Running Time di programmi
Esercizio. Dimostrare per induzione su n che la
relazione di ricorrenza
T(1)=t
T(n)=c+ T(n-1)
ha come soluzione T(n)=(n-1)c + t
Base n=1. T(1)=t=(1-1)c+t. OK.
Passo. Sia n> 1. Assumiamo T(n)=(n-1)c + t.
Consideriamo T(n+1)
Running Time di programmi
Esercizio. Dimostrare per induzione su n che la
relazione di ricorrenza
T(1)=t
T(n)=c+ T(n-1)
ha come soluzione T(n)=(n-1)c + t
Base n=1. T(1)=t=(1-1)c+t. OK.
Passo. Sia n> 1. Assumiamo T(n)=(n-1)c + t.
Consideriamo T(n+1)
T(n+1)=c + T(n) (per definizione)
=c + (n-1)c + t (per i.i.)
= nc +t
Running Time di programmi
Esercizio. Considerare la relazione di ricorrenza
T(0)=T(1)= 1
T(n)=2 T(n-2)
1. Determinare T(2), T(3), T(4), T(5):
2. Determinare T(n) in termini di T(n-4):
3. Determinare T(n) in termini di T(n-6):
4. Determinare T(n) in termini di T(n-2i):
5. Determinare T(n):
Running Time di programmi
Esercizio. Considerare la relazione di ricorrenza
T(0)=T(1)= 1
T(n)=2 T(n-2)
1. Determinare T(2), T(3), T(4), T(5):
T(2)=2, T(3)=2, T(4)=4, T(5)=4
1. Determinare T(n) in termini di T(n-4):
2. Determinare T(n) in termini di T(n-6):
3. Determinare T(n) in termini di T(n-2i):
4. Determinare T(n):
Running Time di programmi
Esercizio. Considerare la relazione di ricorrenza
T(0)=T(1)= 1
T(n)=2 T(n-2)
1. Determinare T(2), T(3), T(4), T(5):
T(2)=2, T(3)=2, T(4)=4, T(5)=4
1. Determinare T(n) in termini di T(n-4):
T(n)=2T(n-2)=4 T(n-4)
1. Determinare T(n) in termini di T(n-6):
2. Determinare T(n) in termini di T(n-2i):
3. Determinare T(n):
Running Time di programmi
Esercizio. Considerare la relazione di ricorrenza
T(0)=T(1)= 1
T(n)=2 T(n-2)
1. Determinare T(2), T(3), T(4), T(5):
T(2)=2, T(3)=2, T(4)=4, T(5)=4
1. Determinare T(n) in termini di T(n-4): T(n)=4 T(n-4)
2. Determinare T(n) in termini di T(n-6):
T(n)=4 T(n-4)= 8 T(n-6)
1. Determinare T(n) in termini di T(n-2i):
2. Determinare T(n):
Running Time di programmi
Esercizio. Considerare la relazione di ricorrenza
T(0)=T(1)= 1
T(n)=2 T(n-2)
1. Determinare T(2), T(3), T(4), T(5):
T(2)=2, T(3)=2, T(4)=4, T(5)=4
1. Determinare T(n) in termini di T(n-4): T(n)=4 T(n-4)
2. Determinare T(n) in termini di T(n-6): T(n)=8 T(n-6)
3. Determinare T(n) in termini di T(n-2i): T(n)=2i T(n-2i)
4. Determinare T(n):
Running Time di programmi
Esercizio. Considerare la relazione di ricorrenza
T(0)=T(1)= 1
T(n)=2 T(n-2)
1. Determinare T(2), T(3), T(4), T(5):
T(2)=2, T(3)=2, T(4)=4, T(5)=4
1. Determinare T(n) in termini di T(n-4): T(n)=4 T(n-4)
2. Determinare T(n) in termini di T(n-6): T(n)=8 T(n-6)
3.
4.
se
se
Determinare T(n) in termini di T(n-2i): T(n)=2i T(n-2i)
Determinare T(n):
n pari,
i=n/2, T(n-2i)=T(0) T(n)=2n/2T(0)=2n/2
n disp., i=(n-1)/2, T(n-2i)=T(1) T(n)=2(n-1)/2T(1) =2(n-1)/2
Soluzioni Relazioni di ricorrenza
1. T(1)=a
T(n)= b+T(n-1), n>1
 T(n)=(n-1)b+a=O(n)
Soluzioni Relazioni di ricorrenza
1. T(1)=a
T(n)= b+T(n-1), n>1
2. T(k)=a
T(n)=T(n-1)+g(n)
 T(n)=O(n)
 T(n)=a + g(k+1)+…+g(n)
T(n) = g(n)+T(n-1)
= g(n)+g(n-1)+T(n-2)=…
Soluzioni Relazioni di ricorrenza
1. T(1)=a
T(n)= b+T(n-1), n>1
2. T(k)=a
T(n)=T(n-1)+g(n)
 T(n)=O(n)
 T(n)=a + g(k+1)+…+g(n)
T(n) = g(n)+T(n-1)
= g(n)+g(n-1)+T(n-2)=…
…
= g(n)+g(n-1)+…+g(k+1)+T(k)
Soluzioni Relazioni di ricorrenza
1. T(1)=a
T(n)= b+T(n-1), n>1
2. T(k)=a
T(n)=T(n-1)+g(n)
 T(n)=(n-1)b+a
 T(n)=a + g(k+1)+…+g(n)
T(n) = g(n)+T(n-1)
= g(n)+g(n-1)+T(n-2)=…
…
= g(n)+g(n-1)+…+g(k+1)+T(k)
3. T(1)=1
T(n)=T(n-1)+n
 (g(i)=i) T(n)=1 + 2+…+n=n(n+1)/2
Soluzioni Relazioni di ricorrenza
4. T(1)=a
T(n)=2T(n/2)+g(n)

T ( n) 
log2 n
n )  an
2
g
(
2j

j 0
j
Soluzioni Relazioni di ricorrenza
4. T(1)=a
T(n)=2T(n/2)+g(n)

T ( n) 
log2 n 1
n )  an
2
g
(
2j

j
j 0
T (n)  g (n)  2T (n / 2) 
 g (n)  2 g (n / 2)  4T (n / 4)
...
i 1
i 1
 g (n)  2 g (n / 2)  ...  2 T (n / 2 )  2 T (n / 2 )
i
i
  2 g(
i
j 0

log2 n 1
n
i 1
2i
)  2 T (n / 2 ) [Per i  log n-1, 2
j
n )  an
2
g
(

2j
j 0
i 1
i
i 1
 n]
Soluzioni Relazioni di ricorrenza
4. T(1)=a
T(n)=2T(n/2)+g

T ( n) 
log2 n 1
j
2
 g  an
j 0
g
log2 n 1
2
j
 an
j 0
 g 2log2 n  an
 gn  an  (a  g )n
Soluzioni Relazioni di ricorrenza
4. T(1)=a
T(n)=2T(n/2)+n

T ( n) 
log2 n 1
 2 (n / 2 )  an
j
j 0

log2 n 1
 n  an
j 0
 n(log 2 n)  an
 O(n(log 2 n))
j