Diapositiva 1 - profmatcarolina

Prof.ssa Carolina Sementa
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Gli ANGOLI
Prendiamo DUE SEMIRETTE a e b che abbiano la stessa STESSA ORIGINE O,
che non siano appartenenti alla stessa retta e che giacciano su uno
STESSO PIANO. Avremo:
Possiamo notare che le due semirette dividono il piano in due parti: una
l'abbiamo colorata in ARANCIO e l'altra in MARRONE.
Ognuna di queste due parti, nelle quali risulta diviso il piano, prende il nome
di ANGOLO.
Quindi possiamo dire che l'ANGOLO è la PARTE DI PIANO LIMITATA da DUE
SEMIRETTE aventi la STESSA ORIGINE.
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Le due SEMIRETTE a e b rappresentano i due LATI dell'angolo.
L'ORIGINE delle due SEMIRETTE, O, è il VERTICE dell'angolo.
La PARTE DI PIANO contenute nell'angolo è detta AMPIEZZA DELL'ANGOLO.
Per indicare l'angolo che abbiamo disegnato si indica:
prima la lettera a che indica una semiretta;
poi la lettera O che indica il vertice. Il vertice viene contraddistinto da
un accento circonflesso Ô;
poi la lettera b che indica l'altra semiretta.
Il nostro angolo si scriverà:
aÔb.
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In questo caso indicheremo l'angolo formato
dalle due semirette in questo modo:
la prima lettera indica un punto sulla prima
semiretta, sarà dunque la lettera A;
la seconda lettera O indica il vertice dell'angolo
e lo indichiamo sempre con un accento
circonflesso Ô;
la terza lettera indica un punto sull'altra
semiretta e sarà la lettera B.
Il nostro angolo si scriverà:
AÔB
Quando non c'è nessuna possibilità di equivoco
l'angolo può essere indicato anche solamente con la
lettera che rappresenta il vertice, ovvero:
Ô.
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ANGOLI CONVESSI
Nell'immagine sottostante abbiamo disegnato un angolo e lo
abbiamo evidenziato con il colore ARANCIO.
Ora disegniamo i prolungamenti dei lati dell'angolo, ovvero
i PROLUNGAMENTI di a e b e chiamiamo tali prolungamenti a' e b':
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Osserviamo che le semirette a' e b' non sono contenute
nell'angolo aÔb per questa ragione tale angolo si dice CONVESSO:
Quindi, possiamo affermare che un ANGOLO si
dice CONVESSO quando NON CONTIENE i PROLUNGAMENTI dei
suoi LATI.
Quando si parla genericamente di ANGOLO si
intende un ANGOLO CONVESSO
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ANGOLI CONCAVI
Le due semirette a e b formano due angoli,
uno evidenziato con il colore ARANCIO e,
l'altro che evidenzieremo con
colore MARRONE:
Ora ci concentriamo su quest'ultimo angolo,
quello indicato nella figura in MARRONE:
Disegniamo i prolungamenti dei lati dell'angolo,
ovvero i PROLUNGAMENTI di a e b e chiamiamo tali
prolungamenti a' e b':
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Osserviamo che le semirette a' e b' sono contenute nell'angolo disegnato. Per
questa ragione tale angolo si dice CONCAVO:
Quindi possiamo affermare che, un ANGOLO si
dice CONCAVO quando CONTIENE i PROLUNGAMENTI dei suoi LATI.
Il nostro ANGOLO CONCAVO viene indicato così:
aǑb;
AǑB.
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ANGOLO PIATTO, ANGOLO GIRO
Disegniamo un ANGOLO i cui LATI siano due SEMIRETTE OPPOSTE:
L'angolo così formato:
aÔb
prende il nome di ANGOLO PIATTO e misura 180°.
Ora disegniamo un ANGOLO i cui LATI COINCIDONO
L'angolo così formato:
aÔb
prende il nome di ANGOLO GIRO
e misura 360°.
Quindi possiamo dire che l'ANGOLO GIRO è DOPPIO dell'ANGOLO PIATTO o
anche che l'ANGOLO PIATTO è la META' dell'ANGOLO GIRO.
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ANGOLI CONSECUTIVI e ANGOLI ADIACENTI
Osserviamo l'immagine sottostante:
Osserviamo che i due angoli hanno lo stesso vertice O e che
uno dei lati (il lato b) è comune ad entrambi gli angoli, mentre
gli altri due lati (a e c) si trovano dalla parte opposta rispetto al
lato comune (b).
I due ANGOLI si dicono CONSECUTIVI.
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Ora osserviamo quest'altra immagine:
Osserviamo che i due angoli hanno lo stesso vertice O, che uno dei
lati (il lato e) è comune ad entrambi gli angoli, mentre gli altri due
lati (d e f) si trovano dalla parte opposta rispetto al lato comune (e).
Quindi i due ANGOLI sono CONSECUTIVI. Però notiamo anche che i
due lati non comuni (d e f) APPARTENGONO AD UNA STESSA
RETTA.
In questo caso i due ANGOLI si dicono ADIACENTI.
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CONFRONTO di due ANGOLI
Supponiamo di avere DUE ANGOLI:
l'angolo aÔb;
l'angolo a'Ô'b'.
Ora vogliamo CONFRONTARE i due ANGOLI per vedere se essi
sono uguali o, in caso contrario, quale dei due è maggiore
rispetto all'altro.
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Per CONFRONTARE i due angoli TRASPORTIAMO uno di essi in modo
da far COINCIDERE i rispettivi VERTICI e UN LATO di ciascuno dei due
angoli
Nel nostro esempio TRASPORTIAMO l'angolo a'Ô'b' in modo tale
che:
il punto O' coincida con il punto O;
il lato O'a' coincida con il lato Oa.
A questo punto si possono verificare tre casi
diversi:
1.Anche il lato O'b' e il lato Ob coincidono.
In questo caso i due angoli coincidono
perfettamente. Essi hanno la STESSA
AMPIEZZA. Pertanto si dice che i
due ANGOLI sono CONGRUENTI e si scrive:
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2.Il lato O'b' e il lato Ob non coincidono. I due
angoli NON SONO UGUALI.
In particolare notiamo che il lato O'b' si trova
all'esterno rispetto all'angolo aÔb . Questo significa
che l'angolo a'Ô'b' ha un'ampiezza
maggiore dell'angolo aÔb. Quindi possiamo
scrivere:
a'Ô'b' > aÔb.
3.Il lato O'b' e il lato Ob non coincidono. I
due angoli NON SONO UGUALI.
In particolare notiamo che il lato O'b' si
trova all'interno rispetto all'angolo aÔb .
Questo significa che l'angolo a'Ô'b' ha
un'ampiezza minore dell'angolo aÔb.
Quindi possiamo scrivere:
a'Ô'b' < aÔb.
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SOMMA di due ANGOLI
Supponiamo di avere DUE ANGOLI:
l'angolo aÔb;
l'angolo cÔ'd.
Ora vogliamo SOMMARE i due ANGOLI.
Per prima cosa dobbiamo TRASPORTARLI uno di seguito all'altro in modo da
renderli CONSECUTIVI. Ricordiamo che due angoli sono CONSECUTIV Iquando
hanno lo stesso vertice O e uno dei lati è comune ad entrambi gli angoli,
mentre gli altri due lati si trovano dalla parte opposta rispetto al lato comune.
Effettuiamo il trasporto e avremo:
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La SOMMA dei due ANGOLI aÔb e cÔ'd è l'angolo aÔd:
Quindi possiamo scrivere:
aÔb + cÔ'd = aÔd.
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In altre parole per SOMMARE due ANGOLI occorre:
DISPORLI CONSECUTIVAMENTE uno all'altro.
L'angolo che ha per LATI i lati NON COMUNI dei due angoli è la
loro SOMMA.
La SOMMA di due ANGOLI ADIACENTI è
un ANGOLO PIATTO.
La SOMMA di due ANGOLI PIATTI è
un ANGOLO GIRO.
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DIFFERENZA di due ANGOLI
Supponiamo di avere DUE ANGOLI:
l'angolo aÔb; l'angolo cÔ'd. Tali che
aÔb > cÔ'd.
Ora vogliamo SOTTRARRE dal primo angolo il secondo.
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Per prima cosa dobbiamo TRASPORTARE il secondo angolo sul primo in maniera
tale che il lato O'c coincida con il lato Oa e che i due angoli si trovino da una stessa
parte rispetto a tale lato:
La DIFFERENZA dei due ANGOLI aÔb e cÔ'd è l'angolo dÔb:
Quindi possiamo scrivere:
aÔb - cÔ'd = dÔb.
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MULTIPLI e SOTTOMULTIPLI di un ANGOLO
Disegniamo l'ANGOLO aÔb :
Ora SOMMIAMO tra loro più angoli uguali ad aÔb, ad esempio
sommiamo tra loro 3 angoli uguali ad aÔb. Avremo:
aÔd è MULTIPLO di aÔb secondo il numero 3
e possiamo scrivere:
aÔd = 3aÔb
che si legge
aOd è uguale a 3 volte aOb.
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Allo stesso modo possiamo dire che aÔb è la 3° parte di aÔd.
Quindi possiamo dire che aÔb è SOTTOMULTIPLO di aÔd secondo il
numero 3 e possiamo scrivere:
aÔb = 1/3aÔd
che si legge
aOb è uguale a 1/3 di aOd.
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BISETTRICE di un ANGOLO
Disegniamo su un foglio di carta l'angolo aÔb:
Ora pieghiamo il foglio di carta in due parti in
modo da sovrapporre il lato a al lato b:
Riaprendo il foglio noteremo che si è formata una piega che equivale ad una
semiretta passante per il vertice O e che divide l'angolo in due parti uguali (l'abbiamo
indicata nell'immagine successiva con la lettera c). Tale semiretta prende il nome
di BISETTRICE DELL'ANGOLO.
Dunque la BISETTRICE DI UN ANGOLO è
la SEMIRETTA che ha per ORIGINE il VERTICE
dell'angolo e che divide l'angolo in DUE PARTI
UGUALI.
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ANGOLI OPPOSTI al VERTICE
Disegniamo le semirette a e b che si incontrano nel punto O:
Le due semirette formano l'angolo aÔb.
Ora disegniamo i prolungamenti delle due
semirette a e b e li chiamiamo a'b'.
Le due semirette a' e b' formano
l'angolo a'Ôb':
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due ANGOLI aÔb e a'Ôb' si dicono ANGOLI OPPOSTI AL
VERTICE.
Quindi due ANGOLI si dicono OPPOSTI AL VERTICE se i LATI
DELL'UNO sono i PROLUNGAMENTI dei lati dell'altro.
Due ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE sono UGUALI tra loro.
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ANGOLO RETTO - ANGOLO ACUTO - ANGOLO OTTUSO
ANGOLO GIRO
misura 360°.
La META' di un angolo giro è un ANGOLO
PIATTO che misura 180°:
La META' di un angolo piatto è un ANGOLO RETTO che misura 90°:
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Un angolo MINORE dell'ANGOLO RETTO si dice ANGOLO ACUTO
Un angolo MAGGIORE dell'ANGOLO RETTO si dice ANGOLO OTTUSO:
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ANGOLI COMPLEMENTARI, SUPPLEMENTARI ed ESPLEMENTARI
Consideriamo due angoli, l'angolo Alfa e
l'angolo Beta:
Ora sommiamo i due angoli e avremo:
Come possiamo osservare la SOMMA dei due angoli dati
è un ANGOLO RETTO.
I due angoli Alfa e Beta si dicono, in questo caso, ANGOLI
COMPLEMENTARI
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Consideriamo ora i seguenti angoli:
Ora sommiamo i due angoli e avremo:
Come possiamo osservare la SOMMA dei due
angoli è un ANGOLO PIATTO.
I due angoli Alfa e Beta si dicono, in questo
caso, ANGOLI COMPLEMENTARI.
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Infine consideriamo i seguenti angoli:
Ora sommiamo i due angoli e avremo:
Come possiamo osservare la SOMMA dei due
angoli è un ANGOLO GIRO.
I due angoli Alfa e Beta si dicono, per questa
ragione, ANGOLI ESPLEMENTARI.
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Ricapitolando:
due ANGOLI si dicono COMPLEMENTARI se la loro SOMMA è
un ANGOLO RETTO;
due ANGOLI si dicono SUPPLEMENTARI se la loro SOMMA è
un ANGOLO PIATTO;
due ANGOLI si dicono ESPLEMENTARI se la loro SOMMA è
un ANGOLO GIRO.
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MISURA degli ANGOLI
L'UNITA' DI MISURA scelta per gli ANGOLI è il GRADO
I SOTTOMULTIPLI del grado sono:
il PRIMO pari alla sessantesima parte del grado;
il SECONDO pari alla sessantesima parte del primo.
Quando disegniamo un ANGOLO per poterne misurare
la sua AMPIEZZA possiamo usare un GONIOMETRO:
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La parte del goniometro che noi abbiamo
colorato di rosso è divisa in 180 parti uguali:
essa corrisponde alla suddivisione di un angolo
piatto in 180°.
Per misurare l'ampiezza di un ANGOLO
CONVESSO si procede nel modo seguente:
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Si posiziona il goniometro in modo da far coincidere il
punto O con il vertice V dell'angolo in maniera tale che il
lato b coincida con il bordo dritto del goniometro (quello che noi
abbiamo colorato di giallo).
Sul bordo curvo del goniometro (quello che noi abbiamo colorato
di rosso), nel punto in cui il lato a interseca il goniometro,
andiamo a leggere la misura che indica l'ampiezza dell'angolo:
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PROBLEMI con gli ANGOLI
Esempio 1:
Un angolo misura 30°: qual è l'ampiezza del suo complementare?
Per risolvere un problema di questo tipo è sufficiente sapere che due
ANGOLI si dicono COMPLEMENTARI se la loro SOMMA è
un ANGOLO RETTO.
Chiamiamo l'angolo di cui conosciamo l'ampiezza Alfa e chiamiamo il
suo complementare Beta. Possiamo scrivere:
Alfa + Beta = Angolo Retto.
Ora noi sappiamo che l'angolo Alfa misura 30° e sappiamo anche che
l'angolo retto è un angolo che misura 90°. Quindi possiamo scrivere:
30° + Beta = 90°.
Quindi se noi a 90° togliamo 30° sapremo quanto vale l'angolo Beta:
90° - 30° = 60° - ampiezza dell'angolo complementare.
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Esempio 2:
Un angolo misura 30°: qual è l'ampiezza del suo
supplementare?
Per risolvere un problema di questo tipo è sufficiente
sapere che dueANGOLI si dicono SUPPLEMENTARI se
la loro SOMMA è un ANGOLO PIATTO.
Chiamiamo l'angolo di cui conosciamo l'ampiezza Alfa e
chiamiamo il suo supplementare Gamma. Possiamo
scrivere:
Alfa + Gamma = Angolo Piatto.
Ora noi sappiamo che l'angolo Alfa misura 30° e
sappiamo anche che l'angolo piatto è un angolo che
misura 180°. Quindi possiamo scrivere:
30° + Gamma = 180°.
Quindi se noi a 180° togliamo 30° sapremo quanto vale
l'angoloGamma:
180° - 30° = 150° - ampiezza dell'angolo supplementare.
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