I poligoni e la circonferenza
Poligoni inscritti e circoscritti
Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono
punti della circonferenza; la circonferenza si dice circoscritta al poligono.
Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono
tangenti alla circonferenza; si dice anche che la circonferenza è inscritta nel
poligono e il raggio si chiama apotema del poligono.
Condizione necessaria e sufficiente perché un poligono sia:
• inscrittibile in una circonferenza è che gli assi dei suoi lati si intersechino
nello stesso punto che è il centro della circonferenza
• circoscrittibile ad una circonferenza è che le bisettrici dei suoi angoli si
intersechino nello stesso punto che è il centro della circonferenza.
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I poligoni e la circonferenza
Caso dei quadrilateri
Nel caso particolare dei quadrilateri oltre alle precedenti condizioni valgono le seguenti:
un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza se e solo se ha due angoli opposti supplementari
A+D = π
E+B = π
un quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è
congruente alla somma degli altri due.
AB + DE ≅ AE + BD
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I poligoni e la circonferenza
Caso dei quadrilateri
Conseguenze:
un parallelogramma generico non è inscrittibile in una circonferenza perché i suoi angoli opposti sono
congruenti ma non supplementari e non è nemmeno circoscrittibile perché la somma di due lati opposti
non è congruente alla somma degli altri due
un rettangolo invece è sempre inscrittibile in una circonferenza perché i suoi
angoli opposti, essendo retti, sono supplementari; non è invece circoscrittibile
un rombo è sempre circoscrittibile ad una circonferenza perché, essendo i
lati congruenti, la somma di due lati opposti è congruente alla somma
degli altri due; non è invece inscrittibile perché gli angoli opposti non sono
supplementari
un quadrato è sempre sia inscrittibile che circoscrittibile ad una circonferenza
perché si comporta come un rettangolo (quindi è inscrittibile) e come un rombo
(quindi è circoscrittibile)
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I poligoni e la circonferenza
Poligoni regolari
Un poligono che ha tutti i lati e tutti gli angoli fra loro congruenti si dice regolare.
Se un poligono è regolare allora:
• ha tanti assi di simmetria quanti sono i suoi lati
• ha un centro di simmetria solo se ha un numero pari di lati
• è sempre inscrittibile e circoscrittibile a una circonferenza e le due circonferenze inscritta e circoscritta
hanno lo stesso centro
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I poligoni e la circonferenza
Poligoni regolari
Inoltre:
i punti di una circonferenza che la dividono in n archi
congruenti sono i vertici di un poligono regolare
le rette tangenti ad una circonferenza condotte per i punti
che la dividono in n parti congruenti, intersecandosi, formano
un poligono regolare di n lati
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I poligoni e la circonferenza
Punti notevoli dei triangoli
Punti notevoli di un triangolo:
• gli assi dei lati si incontrano in uno stesso punto, detto circocentro,
centro della circonferenza circoscritta al triangolo
• le bisettrici degli angoli interni si incontrano in uno stesso punto, detto
incentro, centro della circonferenza inscritta
• le altezze relative ai lati si incontrano in uno stesso punto, detto ortocentro
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I poligoni e la circonferenza
Punti notevoli dei triangoli
• le mediane si incontrano in uno stesso punto, detto baricentro;
il baricentro divide ciascuna mediana in due parti delle quali
quella che contiene il vertice è doppia dell’altra
AO ≅ 2ON
BO ≅ 2OS
CO ≅ 2OM
Un triangolo è sia inscrittibile che circoscrittibile a un
circonferenza; i centri delle due circonferenze coincidono solo nel
caso del triangolo equilatero.
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