Ottica geometrica
Specchi e lenti
Immagini reali e virtuali
• La prima legge della riflessione ci dice che: ”Il raggio di incidenza,
la normale alla superficie nel punto di incidenza e il raggio riflesso
sono complanari”.
• La seconda legge della riflessione dice che: “l’angolo di incidenza è
uguale all’angolo di riflessione”.
• I raggi che riflettono su una specchio piano
divergono formando un angolo definito dal
punto sorgente, dalle dimensioni dell’occhio e
dalla lunghezza del cammino ottico.
• Lo specchio crea un’immagine virtuale dietro la superficie riflettente.
• In realtà cambia l’anteriore con il posteriore.
• I riflettori a triedro sono tre specchi ad angolo retto che ci riflettono
una immagine come se fosse vista da una osservatore diverso da noi
stessi
Immagini estese
Uno specchio piano non altera le dimensioni
dell’immagini, mentre uno specchio curvo può alterarle
anche considerevolmente.
• Uno specchio curvo è caratterizzato dal suo raggio
di curvatura. Lo specchio piano ha raggio infinito
• Si possono avere specchi concavi e convessi
• nel caso concavo il centro di curvatura è di fronte
alla superficie riflettente, in quello convesso è sul
retro della superficie riflettente.
• Il campo visivo è ridotto nel caso concavo ed è più
esteso nel caso dello specchio convesso.
• L’immagine si avvicina per gli specchi concavi e si
allontana per quelli convessi.
• Si ha ingrandimento negli specchi concavi e
riduzione negli specchi convessi
Specchi sferici
Elementi essenziali di uno specchio sferico concavo:
1. Il centro di curvatura è di fronte alla superficie riflettente e definisce
la curvatura dello specchio.
2. L’asse dello specchio è la linea che passa per il centro di curvatura
ed intercetta il centro dello specchio.
3. Un fascio di raggi paralleli riflessi da una superficie riflettente curva
si incontrano in un punto dell’asse detto fuoco.
Per uno specchio sferico covesso:
Il centro di curvatura è dietro la
superficie riflettente, l’asse dello
specchio è identico a quello
concavo ed il fuoco è il luogo da cui
partono tutti i raggi che provenienti
parallelamente all’asse vengono
riflessi all’esterno
In entrambi i casi il fuoco è f = ½ r, anche se per specchi concavi, r > 0
Immagini reali e immagini virtuali
Gli specchi concavi formano immagini reali, gli specchi convessi formano
immagini virtuali.
i. Se l’oggetto è tra il fuoco e il vertice dello specchio,
dopo la riflessione i raggi divergono come se
provenissero da una immagine posta dietro lo
specchio.
ii. Se l’oggetto si trova sulla posizione del fuoco
l’immagine non si forma perché i raggi dopo la
riflessione sono paralleli fra loro.
iii. Se l’oggetto è oltre il fuoco allora l’immagine sarà
reale capovolta e di ampiezza ingrandita.
Per angoli di incidenza piccoli (ottica di parallasse)
1 1 1
p i f
Si chiama ingrandimento il
rapporto fra l’ampiezza della
immagine h’ e l’ampiezza dello
oggetto h
h’/h = |m| = - i/p
Lo specchio sferico
La relazione fra la posizione dell’oggetto
e la posizione dell’immagine si ricava
osservando la figura 1. Ricordando che:
“l’angolo esterno ad un triangolo è
uguale alla somma degli angoli interni
opposti” possiamo studiare i triangoli
OaC e OaI, quindi b a q e g a 2q
da cui a g 2b
ac ac
a
cO
p
ac ac
b
cC
r
ac ac
g
cI
i
Fig. 1
E nel caso di raggi sono parassiali avremo:
ac ac 2ac 2ac
p
i
r
2f
1 1 1
p i f
Ray-tracing
Si può ricostruire l’immagine di
un oggetto lavorando con due
dei quattro raggi importanti.
1.
Il raggio parte dall’oggetto,
parallelo all’asse ottico e
dopo la riflessione passerà
per il fuoco.
2.
Il raggio passa per il centro
dello specchi curvo e torna su
se stesso
3. Il raggio passa per il fuoco e poi riflette parallelo all’asse
4. Il raggio passa per il centro dello specchio e si riflette con lo
stesso angolo di incidenza
Inoltre dal teorema dei triangoli simili
de cd
ab ca
cd i
i
m
p
ca p
Lenti sottili
Una lente di materiale rifrangente n di spessore trascurabile con
raggi di curvatura r1 e r2 differenti e con asse ottico coincidente
costituisce una “lente sottile”.
Se i raggi ottici siano parassiali il fuoco della “lente sottile” dipende
da i due raggi di curvatura secondo l’equazione del costruttore di
lenti:
1 1
1
n 1
f
r1 r2
Formazione delle immagini
La figura mostra come si ricostruiscono le immagini conoscendo
la posizione degli oggetti rispetto la lente e la posizione del fuoco
per ciascun lato della lente. Siccome la lente è sottile si fa
riferimento solo alla posizione della lente senza considerarne lo
spessore. Tre sono i fasci importanti:
1.Fascio parallelo all’asse ottico che attraversa la lente e passa
per il fuoco F2 (della superficie di sinistra)
2.Un raggio che passa per il fuoco della lente F1 e poi prosegue
parallelo all’asse ottico
3.Fascio che passa per il centro della lente e non viene rifratto
Sistemi a più lenti
Per calcolare la posizione dell’immagine di un oggetto posto di fronte
ad un sistema di più lenti si procede per passi, individuando
l’immagine dell’oggetto dopo la prima lente come se le altre non ci
fossero. Tale immagine costituirà l’oggetto (virtuale) della seconda
lente e così via.
Esercizio:
Se le due lenti hanno fuochi f1 = 24 e f2 = 9 e sono poste alla
distanza di 10 cm l’un l’altra. Dove si trova l’immagine di un
seme posto a 6? cm dalla prima lente?
Lente 1.
1/p1+1/i1=1/f1 ovvero 1/6 + 1/i1= 1/24 i1 = -8.0
(l’immagine è virtuale, poiché l’oggetto sta tra il fuoco e la lente
vedi Fig. 1b)
Lente 2.
ignorando la lente 1 l’oggetto sarà a p2=10+|i1|= p2 = 18
e l’immagine dopo la seconda lente sarà 1/p2 + 1/i2 = 1/f2.
Ovvero 1/18 + 1/i2 = 1/9 i2 = 18 (positiva e capovolta)
Fig.1
Lente di ingrandimento
Nell’occhio umano esiste un punto prossimo Pp al
di qua del quale gli oggetti risultano sfocate.
La risoluzione dei dettagli dipende dall’ampiezza
dell’angolo q quindi bisogna trovare un dispositivo
che permetta di vedere un oggetto oltre il Pp con
un angolo ampio.
Una lente convergente può combinare queste
condizioni.
Se l’oggetto si trova tra lente e fuoco, ma vicino al
fuoco, l’immagine apparirà come immagine
virtuale
L’angolo q’ che si realizza sarà maggiore dell’angolo massimo che si
può realizzare osservando, senza lente, l’oggetto nel punto prossimo.
Quindi mq = q’q è l’ingrandimento angolare ovvero il rapporto fra
l’angolo dell’immagine virtuale e l’angolo del punto prossimo q ≈ h/25 e
q’ ≈ h/f
mq = 25/f
Microscopio
Il microscopio ottico ha due lenti. La lente obiettivo e la lente oculare
L’oggetto reale viene posto appena oltre il fuoco fob dell’obiettivo,
così che la sua distanza p1 si confonda con il fuoco F1, l’immagine
reale si formerà, un po’ ingrandita e capovolta, in un punto P1 . Se
questo punto è fra il fuoco della lente oculare (F1’ ) e la posizione
della lente oculare, costituirà l’oggetto della 2° lente.
Questa posizione si può ottenere operando sul tiraggio S, ovvero
modificando la distanza che separa i due fuochi delle lenti.
Quando un oggetto sta tra fuoco e posizione della lente avrà un
immagine virtuale, e quindi alla pupilla dell’osservatore arriverà una
immagine virtuale molto ingrandita.
S
Ray-tracing del microscopio
L’osservatore, vede l’oggetto reale come se guardasse con una lente di
ingrandimento, ma capovolto.
L’ingrandimento dell’immagine reale è m = - i/p = - s/fob .
L’ingrandimento complessivo è dato da
M = mmq = - (s/fob)25/foc
La serie di Balmer
1 1
RH 2 2
2 n
1
RH = 11 x 106 m-1
n = 3, 4, 5, …
Una ampolla contenente H
posta davanti ad uno
spettrometro e portata ad
alta temperatura mostra uno
spettro a righe invece di uno
spettro continuo come
ipotizzato.
La prima interpretazione fu
fatta da Balmer che trovò la
relazione matematica e
predisse anche la posizione
di altre righe. Bisognerà
invece aspettare la Fisica
quantistica dei Bohr per la
definitiva interpretazione di
queste righe.
Corpo nero
Lo spettro emesso da un corpo nero è una distribuzione a campana
e sottende una area che cresce con l’aumentare della temperatura.
Inoltre la lunghezza d’onda m, corrispondente al massimo di
ciascuna campana, moltiplicata per la temperatura assoluta del
corpo nero T, è una costante. m T = 2,9 103 mm K
Il tutto si risolverà nell’affermare che l’Energia delle particelle non
deve ha una distribuzione continua, ma quantizzata pari a E = nhn
