POLIGONI CONVESSI

fine
POLIGONI (CONVESSI)
Che cosa è un poligono?
Che cosa è un insieme convesso?
fine
POLIGONI (CONVESSI)
Che cosa è un insieme convesso?
fine
CONVESSI
NON CONVESSI
fine
CONVESSI
NON CONVESSI
fine
CONVESSI
NON CONVESSI
fine
CONVESSI
NON CONVESSI
fine
CONVESSI
NON CONVESSI
fine
CONVESSI
NON CONVESSI
fine
CONVESSO
fine
CONVESSO
Un insieme X di punti del piano
(dello spazio)
con la seguente proprietà:
se A e B sono punti qualsiasi di X
il segmento AB è tutto contenuto in X
fine
NON CONVESSO
fine
NON CONVESSO
Un insieme X di punti del piano
(dello spazio)
con la seguente proprietà:
ci sono almeno due punti A e B di X
per i quali il segmento AB
non è tutto contenuto in X
fine
Teorema
L’intersezione di due insiemi convessi è un insieme
convesso.
Dimostrazione
Ipotesi:
1) X è un insieme convesso
2) Y è un insieme convesso
Tesi
X  Y è un insieme convesso
N. B. X  Y è l’insieme dei punti che stanno
contemporaneamente in X e Y
fine
Teorema
L’intersezione di due insiemi convessi è un insieme
convesso.
Dimostrazione
Ipotesi:
1) X è un insieme convesso
2) Y è un insieme convesso
Tesi
X  Y è un insieme convesso
N. B. X  Y è l’insieme dei punti che stanno
contemporaneamente in X e Y
X Y
X
Y
Prendiamo due punti A e B in X Y e costruiamo il segmento AB.
fine
Teorema
L’intersezione di due insiemi convessi è un insieme
convesso.
Dimostrazione
Ipotesi:
1)X è un insieme convesso
2)Y è un insieme convesso
Tesi
X  Y è un insieme convesso
N. B. X  Y è l’insieme dei punti che stanno
contemporaneamente in X e Y
X
A
B
Y
Prendiamo due punti A e B in X Y e costruiamo il segmento AB.
Poiché X è convesso, AB è tutto contenuto in X.
Poiché Y è convesso, AB è tutto contenuto in Y.
Allora AB è tutto contenuto in X Y .
fine
POLIGONI (CONVESSI)
Partiamo da:
ANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA)
DI DUE SEMIPIANI CON RETTE
ORIGINE NON PARALLELE
fine
Questo (modello di) foglio
rappresenta il piano della geometria di Euclide
fine
fine
piano
fine
fine
retta
fine
fine
fine
fine
Semipiano 1
Semipiano 2
fine
Semipiano 1
Semipiano 2
I semipiani sono insiemi convessi
fine
fine
fine
angolo
fine
POLIGONI (CONVESSI)
ANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA)
DI DUE SEMIPIANI CON RETTE
ORIGINE NON PARALLELE
fine
POLIGONI (CONVESSI)
ANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA)
DI DUE SEMIPIANI CON RETTE
ORIGINE NON PARALLELE
Gli angoli (così definiti) sono
insiemi convessi (Teorema)
fine
POLIGONI (CONVESSI)
TRIANGOLO
INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI TRE
SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON
PARALLELE
dati A, B, C, si scelgono
S(A) semipiano di origine BC contenente A
S(B) semipiano di origine AC contenente B
S(C) semipiano di origine AB contenente C
fine
POLIGONI (CONVESSI)
TRIANGOLO
INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI TRE
SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON
PARALLELE
dati A, B, C, si scelgono
S(A) semipiano di origine BC contenente A
S(B) semipiano di origine AC contenente B
S(C) semipiano di origine AB contenente C
I triangoli sono insiemi convessi
(Teorema)
fine
fine
triangolo
fine
POLIGONI (CONVESSI)
QUADRANGOLO (CONVESSO) ABCD
(nell’ordine)
INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI QUATTRO
SEMIPIANI
A B C D sono scelti in modo che
AB sono nello stesso semipiano di origine CD
BC sono nello stesso semipiano di origine AD
CD sono nello stesso semipiano di origine AB
DA sono nello stesso semipiano di origine BC
fine
POLIGONI (CONVESSI)
QUADRANGOLO (CONVESSO) ABCD
(nell’ordine)
INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI QUATTRO
SEMIPIANI
A B C D sono scelti in modo che
AB sono nello stesso semipiano di origine CD
BC sono nello stesso semipiano di origine AD
CD sono nello stesso semipiano di origine AB
DA sono nello stesso semipiano di origine BC
I quadrangoli così definiti sono
insiemi convessi (Teorema)
fine
fine
convessi
non
convessi
fine
convessi
non
convessi
fine
convessi
non
convessi
fine
convessi
non
convessi
fine
convessi
non
convessi
fine
convessi
non
convessi
fine
convessi
non
convessi
fine
convessi
non
convessi
fine
POLIGONI (CONVESSI)
PENTAGONO(CONVESSO) ABCDE
(nell’ordine)
INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI CINQUE
SEMIPIANI
A B C D E sono scelti in modo che
ABC sono nello stesso semip. di origine DE
BCD sono nello stesso semip. di origine AE
CDE sono nello stesso semip. di origine AB
DEA sono nello stesso semip. di origine BC
EAB sono nello stesso semip. di origine CD
fine
POLIGONI (CONVESSI)
PENTAGONO(CONVESSO) ABCDE
(nell’ordine)
INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI CINQUE
SEMIPIANI
A B C D E sono scelti in modo che
ABC sono nello stesso semip. di origine DE
BCD sono nello stesso semip. di origine AE
CDE sono nello stesso semip. di origine AB
DEA sono nello stesso semip. di origine BC
EAB sono nello stesso semip. di origine CD
I pentagoni così definiti sono
insiemi convessi (Teorema)
fine
convessi
non
convessi
fine
convessi
non
convessi
fine
convessi
non
convessi
fine
convessi
non
convessi
fine
convessi
non
convessi
fine
convessi
non
convessi
fine
convessi
non
convessi
fine
convessi
non
convessi
fine
POLIGONI (CONVESSI)
DATI n VERTICI (in un dato ordine)
A1 A2 ……….An-1 An
diciamo che i vertici Ak e Ak+1sono adiacenti
(diciamo che anche A1 e An sono adiacenti).
Per costruire un poligono convesso, considero
n punti con la proprietà seguente:
ogni retta che contiene due vertici adiacenti
non separa gli altri vertici,
cioè li lascia tutti nello stesso semipiano
fine
fine
E ripeto per tutti i vertici!
fine
E ripeto per tutti i vertici!
fine
E ripeto per tutti i vertici!
Ho trovato 2 vertici che
separano!
fine
POLIGONI (CONVESSI)
DATI n VERTICI (in un dato ordine)
A1 A2 ……….An-1 An
diciamo che i vertici Ak e Ak+1sono adiacenti
(diciamo che anche A1 e An sono adiacenti).
Per costruire un poligono convesso, considero
n punti con la proprietà seguente:
ogni retta che contiene due vertici adiacenti
non separa gli altri vertici,
cioè li lascia tutti nello stesso semipiano
fine
POLIGONI (CONVESSI)
DATI n VERTICI (in un dato ordine)
A1 A2 ……….An-1 An
diciamo che i vertici Ak e Ak+1sono adiacenti
(diciamo che anche A1 e An sono adiacenti).
Per costruire un poligono convesso, considero
n punti con la proprietà seguente:
ogni retta che contiene due vertici adiacenti
non separa gli altri vertici,
cioè li lascia tutti nello stesso semipiano
il poligono convesso A1 A2 ……….An-1 An
è costituito dall’intersezione di tutti i
semipiani che hanno le seguenti proprietà:
1) hanno come origine la retta per due vertici
adiacenti;
2) contengono tutti gli altri vertici.
fine
fine
POLIGONI (CONVESSI)
Lato del poligono:
ogni segmento che congiunge
due vertici adiacenti
Diagonale del poligono:
ogni segmento che congiunge
due vertici non adiacenti
Le rette per i lati non
separano i vertici.
Le rette per le diagonali
separano i vertici.
Classificazione di alcuni insiemi
di poligoni convessi
acutangolo
rettangolo
scaleno
isoscele
Triangoli
ottusangolo
fine
Classificazione di alcuni insiemi
di poligoni convessi
acutangolo
rettangolo
scaleno
isoscele
equilatero
Triangoli
ottusangolo
fine
Classificazione di alcuni insiemi
di poligoni convessi
Trapezi: quadrangoli con (almeno) due lati paralleli;
Parallelogrammi: Quadrangoli con due coppie di
lati paralleli.
Rettangoli: Parallelogrammi con 4 angoli
congruenti (retti)
Rombi: Parallelogrammi con 4 lati
congruenti
Quadrati: Parallelogrammi con
4 angoli congruenti (retti) e
4 lati congruenti
Quadrangoli
fine
Classificazione di alcuni insiemi
di poligoni convessi
trapezi
rettangoli
parallelogrammi
quadrati
Quadrangoli
rombi
fine